DIVISIONS NATURELLES DE LA MÉCAMQLTE

»38. — Nous avons défini, an n**23,le but général de la mécanique. Il s'agît maintenant d'indiquer les divisions principales (ïu'on a été conduit à établir dans son exposition dogmatique, divisions qui sont nettement caractérisées, soit par la nature même du sujet qu'on y traite, soit par la méthode qu'on y emploie.

Ainsi que nous l'avons énoncé dans le numéro précité, la mécanique est divisée immédiatement en deux grandes branches :

L'une, qu'on nomme mécanique rationnelle, et qui serait beaucoup plus convenablement nommée mécanique théorique ;

L'autre est la ^nécanique appliquée ou pratique.

39. — La première a pour caractère fondamental de s'appuyer uniquement sur les lois que nous avons présentées. Ces lois consliluent les seules données expérimentales auxquelles elle ail recours, et tous les résultais en sont déduits à l'aide du raisouuement mathématique. De là, la qualification de rationnelle affectée à celte partie de la science.

DlVlSlOxNS DE LA MÉCANIQLE. 61

Pour plus d'éclaircissements, nous ajouterons qu'on ne s*y préoccupe jamais de la consiitutiou effective des corps ni des forces qui les sollicitent réellement dans la nature. Les problèmes qu'on y résoud sont purement théoriques, c'està-dire qu'on opère sur des corps conçus à priori comme constitués d'une façon déterminée, et que les forces sont mathématiquement assignées en grandeur et en direction ; les uns et les autres pouvant, d'ailleurs, n'avoir aucune analogie avec les corps et les forces du monde extérieur. Mais ces forces et ces corps abstraits sont, dans tous les cas, en parfaite conformité des lois fondamantales ; c'est là, en effet, la condition indispensable pour que les déductions puissent jamais devenir effectivement applicables aux phénomènes de l'univers. Ainsi, quelle que soit la conformation idéale du corps qu'il nous plaira d'envisager, quelle que soit la nature des liaisons qui l'uniront à d'autres corps, quelles que soient les valeurs et le mode de variations des forces fictives qui seront censées les solliciter, on raisonnera toujours dans l'hypothèse que la loi d'inertie, celle de réaction et celle d'indépendance sont pleinement vérifiées.

La mécanique rationnelle est donc à la fois expérimentale et mathématique: expérimentale quanta ses bases, obtenues forcément par l'observation de la nature; mathématique quant à ses déductions, qui se rattachent au point de départ par un enchaînement logique, où l'expérience directe n'a plus à intervenir.

Pour comprendre la haute utilité que peut offrir un tel travail théorique, au point de vue de l'étude ultérieure des phénomènes réels, il est nécessaire d'entrer dans quelques développements qui feront connaître en même temps les sous-divisions de cette première branche de la mécanique.

&2 MVKK I. — NOTIONS POMDAIIENTALES.

Mécanique dn paint matériel.

/lO.— On noiniiie;>om/ matériel une partie matérielled'ais- ^ M'i |K>tiU's (liineusions pour qu'on ait le droit de considérer toutes les traj(.'cloires de ses divers points mathématiques cominr se confondant en une seule, qui est dite la trajectoire du point matériel lui-même. Sur un tel corps, le point d'apptieatiofi d(î la forc><î ne se distingue pas de la trajectoire ; il nVst autre que Tendroit précis où le point matériel se trouve tiur celle tiîijectoirc à Tinstant considéré.

Toutes les forces qui sollicitent le mobile passent ainsi par un nu'inc point; c'est le cas des forces dites coticour-

Nous envisagerons un point matériel parfaitement libre, et un point assujelti à certaines conditions de liaisons, telles que de rester attaché à l'extrémité d'une tige rigide et invariable, ou de se mouvoir constamment sur une courbe ou une surface donnée d'où il ne peut s'échapper, quelles que soient l'intensité et la direction des forces qui agissent sur lui.

Cette étude complète constituera le livre II de notre ouvrage.

iHécanlque des systèmes quelconques de points matériels.

^1. — On nomme système de points matériels un groupe de points qui sont dans une certaine dépendance les uns des autres, de telle sorte qu'aucun d'eux ne peut changer de position sans que les autres s en ressentent plus ou moins directement.

La dépendance est supposée établie, soit au moyen de liens

tels que des tiges rigides ou des fils flexibles de longueur invariable, soit au moyen de forces qui s'exercent entre les points matériels deux à deux, et dont l'intensité varie avec l'écartemerît des points.

On considère des systèmes libres, c'est-à-dire dans lesquels un point quelconque peut prendre toute espèce de position dans l'espace, sous l'action de forces convenables, et des systèmes assujettis à certaines conditions spéciales, c'est-à-dire dans lesquels un ou plusieurs points ne peuvent quitter des courbes ou des surfaces données à priori ou l'extrémité de liens fixés par l'autre cxirémité.

Les forces y ont alors toutes sortes de directions ; elles sont concourrantes en chaque point individuellement, mais celles d'un point ne se rencontrent pas avec celles d'un autre point.

Les liens ou les forces de liaisons peuvent avoir des valeurs absolument arbitraires. La seule condition générale à laquelle elles satisfont, c'est que l'action est toujours égale à la réaction, ou, ce qui revient au même, que les forces intérieures développées entre les points sont toujours égales deux à deux et opposées. Les autres lois fondamentales sont également satisfaites, tant au point de vue de la conservation que de l'indépendance des mouvements.

Il est clair qu'une telle théorie embrasse à l'avance tous les cas réels possibles ; car un corps, de nature quelconque, peut être considéré comme formé d'un certain nombre de points matériels unis entre eux d'une certaine façon. Ainsi, les corps conçus comme absolument solides répondent à l'hypothèse de liens rigides et invariables entre tous les points; les corps gazeux répondent au cas de forces intérieures répulsives ou agissant pour écarter les points les uns des autres; et ainsi de suite pour tout autre corps, qui peut être conçu comme correspondant à un certain mode de liaisons. De même, des corps divers réunis entre eux sont

64 u\RE i. —"Notions fondamentales.

représentés par autant de systèmes convenablement conslimés, entre lesquels existeraient des liaisons qui représenteraient précisément c(»lles qu'on suppose exister entre les corps considérés.

/i2. — Une telle étude est donc la plus générale qu'on puisse entreprendre sur la matière ; en sorte que réunie à celle du point matériel unique, sur laquelle elle s'appuie forcément, elle mérite le nom de mécanique générale que nous lui donnerons dans notre travail. Elle nous fournit ainsi des méthodes, au moyen des(]nelles les équations d'un problème particulier quelconque peuvent toujours être obtenues. La seule difficulté consistera, pour chacun de ces problèmes, à déterminer exactement les points matériels et les liaisons auxquels on a réellement affaire; genic de recherches préalables qui, bien souvent, est inabordable, mais qui ne laisse pas moins subsister la possibilité philosophique de la solution dans tous les cas.

La mécanique générale, en même temps qu'elle fournit à l'esprit cette plénitude théorique satisfaisante, offre en outre le précieux avantage de faire connaître un certain nombre de propriétés communes à tous les mouvements possibles, et indépendantes, soit de la valeur des forces, soil de la consiitution particulière du système, indépendantes par conséquent de la nature quelconque du corps qu'on aura ultérieurement à envisager. En un mot, on sera sûr d'avance que tous les corps et toutes les forces de la nature vérifient les propriétés générales dont nous parlons, puisque ces propriétés sont exclusivement déduites des trois lois fondamentales, et que tout phénomène réel de mouvement s'accomplit dans le cercle de ces lois.

Cette partie de la science ne serait pas complète si on n'y consacrait pas une subdivision spéciale à l'étude des ?nouvements relatifs. En effet, on commence par supposer, dans les livres précédents, que les repères auxquels on rapporte

les mouvements considérés sont absolument fixes dans IVspace; mais ces repères peuvent eux-mêmes changer de position avec le temps, ainsi que cela a lieu, par exemple, pour tous ceux qu'on choisirait sur le globe terrestre. Le double mouvement de notre planète ne permet pas d'y prendre des points de comparaison immobiles. 11 est donc essentiel de savoir passer de Fétude du mouvement des systèmes, rapporté à des repères supposés fixes, à ce mouvement modifié et transformé par la mobilité de ces repères eux-mêmes, et qui a reçu le nom d<» mouvement relatif. C'est à cela que sera consacré le quatrième livre de notre ouvrage ; et nous aurons dès lors constitué la mécanique théorique dans sa plus grande généralité.

US. — Mais par cela seul que cette mécanique Qstgeneralej et que ses déductions s'appliquent à une infinité de cas distincts, elle ne permet pas de descendre profondément dans l'examen des circonstances caractéristiques de chaque mouvement individuel. Si donc on voulait passer immédiatement de cette science aux applications du monde-extérieur, on se trouverait en présence d'un inconvénient grave, consistant eu ce que, outre la difficulté de déterminer les données réelles relatives à chaque problème, on aurait encore, une fois ces données reconnues, à effectuer tout le travail analytique qui a dû échapper nécessairement à une pure théorie d'ensemble. On peut même ajouter que les vérités fournies parla mécanique générale seraient presque toujours stériles, en ce sens que l'observation directe ne nous donne que des faits trop particuliers pour que leur connexion avec ces vérités générales puisse être convenablement saisie.

De là, la nécessité d'une deuxième partie de la Mécanique rationnelle^ que nous nommerons Mécanique spéciale, par opposition à la mécanique générale, et dont le but est précisément de combler l'immense lacune dont nous parlons, et de servir d'intermédiaire entre la premièn.» partie de la

science et les applicalions à la nature. Elle traite à fond uà certain nombre de cas théoriques particuliers, dont les conséquences offrent des rapports pi us OU moins saisissables avec le monde extérieur, et elle fournit ainsi des types d'assUnihtiou aux cas réels les plus fréquents.

Nous allons indiquer les subdivisions de la mécanique spéciale.

Hfécaniqne de» solides {z^éométrlqaes.

f\U. — On nomme corys aolides géométriques ou simplement solides des systèmes dans lesquels les points matériels sont supposés maintenus à des distances invariables les uns des autres.

Le fait capital qui caractérise ces systèmes, c'est qu'on peut se dispenser d'y considérer directement le mouvement individuel de chaque point matériel. Le mouvement d'un quelconque de ces points est susceptible, en effet, d'être décomposé en deux mouvements simples : l'un de translation, commun à tous les points, l'autre de rotation, également commun, et s*effectuant à chaque instant autour d'une Cfirtaine droite. Il en résulte que l'étude du mouvement total d'un système solide se ramène à celle d'un seul mouvement de translation et d'un seul mouvement de rotation.

Toutes les conséquences qui concernent ces systèmes sont applicables aux corps solides physiques, c'est-à-dire aux corps dans lesquels les particules constitutives ne peuvent prendre que de très-faibles déplacements, les unes par rapport aux autres. On démontrera en effet que les principaux résultats des solides géométriques subsistent encore sans erreur sensible, lorsque les points matériels, au lieu de garder des positions relatives absolument invariables, peuvent se rapprocher ou s'éloigner très-peu les uns des autres.

Plusieurs auteurs placent l'étude des solides immédiatement après celle du point matériel, et ce n'est qu'à la fin de leur exposition qu'ils, considèrent les systèmes les plus généraux possibles.

Il nous semble que cette méthode a l'inconvénient db rompre l'enchaînement scientifique. Comme l'esprit entrevoit immédiatement que de tels systèmes ne sont qu'un cas très-particulier, non-seulement parmi tons les corps qu'on peut concevoir, mais même parmi ceux qu'offre réellement la nature, on est en droit d'augurer, dans une telle classification, que la mécanique n'est qu'une série indéfinie d'artifices spéciaux pour chacun des problèmes qui se présentent. Tandis qu'au contraire l'examen préalable des systèmes quelconques permet de dégager une méthode de solution générale, qui, dans la plupart des cas réels, peut être effectivement inapplicable, mais qui n'en a pas moins uu caractère philosophique satisfaisant. En outre, il est bon de constater dès le commencement que, parmi toutes les propriétés qui concernent les solides, il en est un certain nombre qui ne leur appartiennent pas exclusivement, mais qui conviennent en même temps à tous les corps de l'univers. Il est bien plus logique, ce nous semble, d'envisager, quand on le peut, l'ensemble de la science, afin de mieux apprécier Timportance et la destination de chaque théorie particulière. Disons enfin, à l'appui de notre manière de procéder, que l'étude générale des systèmes est plus facile que celle des mouvements de rotation, et que, par conséquent, avant d'aborder cette dernière, il est désirable que l'esprit soit mieux préparé.

68 LIVRE I. — NOTIONS FONDAMEJSTALES.

Mécanique det^ eorpii» fluides.

65. — Les fluides théoriques destinés à servir de types tfassimilalion aux fluides réels sont des syslèines de poiiils matériels de deux catégories :

Daus la première, ou suppose que le système est incompressible y c'est-à-dire que les points matériels ue peuveul être rapprochés davantage les uns des autres sous Taction de telles forces que ce soit. Ils peuvent d'ailleurs être séparés par Teffort le plus minime. Il n'y a plus à proprement parler de systèmey et Ton peut admettre que les points matériels sont simplement au contact, sans développer entre eux aucune action à distance.

Dans la seconde catégorie, il existe au contraire une action réciproque entre tous les points, action qui a pour effet de les écarter indéfîniment les uns des autres, tant qu'aucun obstacle n'empêche cet éloignement, désigné sous le nom d'expansion. Les points matériels peuvent d'ailleurs être rapprochés,ou le système peut être comprimé autant qu'on le veut, sous l'influence de forces convenablement choisies. Outre les trois lois fondamentales naturelles auxquelles ces fluides théoriques, comme tous les autres corps, sont supposés satisfaire pleinement, on admet qu'ils sont soumis a une quatrième loi spéciale connue sous le nom de loi d'égalité de transmission des pressions. Celle propiiété, que paraissent posséder effectivement les fluides léels, n'est très-certaiuement qu'une conséquence nécessaire de la loi de réaction; mais la difficulté qu'on a éprouvée jusqu'ici à l'en faire découler logiquement a déterminé à l'admettre comme une loi distincte, manifestée directement par l'expérience.

Dans les fluides, on ne se propose pas de déterminer les mouvements individuels des points; ce qui, sans parler de l'impossibilité absolue, n'offrirait aucun intérêt vérilable. On

m VISIONS DE LA MÉCAMOUE. f)9

étudie seulement les changements de figure qu Vprouve Tensenible du système sous Faction des forces qui le sollicitent, ou les lois qui en régissent l'écoulement à travers des orifices, second problème qui rentre en réalité dans le premier, conçu avec une suffisante généralité.

Ces fluides théoriques fournissent des types d'assimilation aux fluides réels : la première catégorie correspond aux liquides et la seconde aux gaz ot aux rapeurx. Cette subdivision de la mécanique est souvent désignée sous le nom d'hydrodynamique. Son étude approfondie comporte des développements très-considérables, qui ont donné lieu à des traités spéciaux. Nous nous restreindrons naturellement aux résultats principaux.

MoflYenieiits spéciaux et maehlnes théorique».

/i6. — L'objet de cette dernière subdivision de la mécanique rationnelle est de constituer des types théoriques d'assimilation a un certiûn nombre de phénomènes réels.

Nous étudierons spécialement :

1° Le mouvement d'un solide géométrique doué d'une vitesse initiale et sohmis à deux forces, dont l'une est constante et l'autre proportionnelle au carré de la vitesse. C'est à ce type que peut être rapport(» le mouvement d'un solide physique réel, qui tombe dans l'air sous l'action de la pesanteur, ou qui est lancé dans une direction quelconque, comme dans le tir des projectiles ;

2° Le mouvement d'un solide assujetti à demeurer sur une courbe donnée, et sollicité par une force alternative qui, après avoir agi pour accélérer le mouvement sur une certaine partie de la courbe, agit ensuite en sens contraire pour le retarder. C'est le type des mouvements oscillatoires qu'on rencontre dans la nature. Le cas le plus intéressant est celui

OÙ la courbe est un cercle et où la force est constante en grandeur et en direction. C'est le type du mouvement du pendule sous l'action de la pesanteur ;

3° Le mouvement d'un corps sollicité par une force qui passe constamment par un centre unique, et qui varie en raison inverse du carré de la distance ; c'est, ainsi qu'on a déjà eu occasion de le dire, le type des mouvements planétaires.

Nous ferons aussi la théorie de certains systèmes dits funiculaires, qui consistent essentiellement en liens flexibles et invariables le long desquels sont distribuées des forces en nombre quelconque. On en trouve la réalisation, notamment, dans la chaînette et dans la courbe des ponts suspendus.

Nous terminerons par quelques considérations sur cette catégorie si importante de systèmes qu on désigne sous le nom de machines. L'étude n'en est vraiment intéressante que dans la mécanique appliquée, où l'on peut compléter la théorie par les résultats de l'expérience. Aussi nous bornerons-nous à envisager les plus simples de ces appareils et à exposer les principes généraux qui forment la base de la partie pratique.

47. — Tout ce qui concerne les systèmes funiculaires el les machines simples est ordinairement présenté comme un chapitre de la statique. Nous expliquerons plus loin ce qu'où entend par ce mot, ainsi que les motifs qui nous ont fait adopter une coordination différente. ^

Considérations sur la mécanique appliquée.

48. — Cette seconde grande branche de la mécanique a pour but de résoudre les problèmes de mouvement effecti* vement présentés par la nature.

MVmCMfS D£ LA VÉC%^[<>CE. 71

Sa méthode consiste à reconnaitre, par vi>ie d'obisenrutioa directe, à quel type théorique peut être aseûmile le vas réel qu'on a sous les yeux. L'assiinîlatioQ une fois établie, le pn>blême se résont comme un problème purement rationnel ; le plus ou moins de concordance qu offrent les résultats avec les phénomènes effectifs dépend du plus ou moins d exactitude de l'assimilation elle-même.

La principale difficulté réside dans le passage de Va bâfrait au concret. Ainsi, tandis que dans la mécanique ratioun(^lle on considère des systèmes conçus à priori dans ceriaines conditions, où toutes les forces, tant intérieures qu exh*rieures, sont déterminées sans pi*éoccupation au(;un(; du inonde extérieur; dans la mécaiiiiiue api)li(|née, au couti^aire, on se trouve en présence de corps effernifii^ cV'-»t-adire en présence d*nne matière incessamment acii^i-, ou U'b forces développées entre les molécules ne hoiit pah t-AMi^h qu'on pourrait supposer arbitrairement, main oui 'U'b s'4' leurs actuelles, difficiles à bien apprécier. \a*\ Vmh^m^ 4k tout genre, considérées théoriquement, ne v/ut j^m^U <^/ui plétement réalisées; les tiges ne sont [i^iiiil ïusM-uW-y . l«v fils flexibles, les points supposés fixes Miut Um'y^un j/iu.* vu moins ébranlés, ainsi que les couii>et> ou t>uf1»o-: nu* U*, quelles certains points sont assujettit^ « d^-uM-uf^'» Kn un mot, les circonstances naturelles iWh j/fi«'iioui«-ii«*: î-'-ftit ;#.sm-/ compliquées pour que rassiuiilation puibv' u Ht « ^^Uk^u Ap solument rigoureuse.

Un exemple éclaircira notre peiibwr ;

Rien de plus simple, en Û^m^i. qu<r <iH ^u*nuiu*'i U mouvement d'un corps soumis u (leu^ i'jftjfh ^j/uWàin-t , l'une constante et l'autre vaiiaut eu i-aiv^u difo^- 'Ju r'^rr^ de la vitesse. Si maintenant ou \*nit fv^jiM'l*!*» 1* ifj'^uw ment effectif d'un corps touiliaut WUi^'UèhuX 6'4U- Uir, ou commence par éprouver de grande*' olffi'ult'*^ «xj^ rim»'i« taies pour apprécier «M^mouveut^iut. ^fur <i Vhu \ifjii 4* l><^t

72 LIVRE î. — NOTIONS FONDAMENTALES.

de los vaincre, et qu'on évalue exactement les positions du mobile aux différentes époques de sa chute, ou reconnaît que ce mouvement est assez voisin du mouvement théorique calculé, mais ne lui est jamais rigoureusement identique. Kn sorte que jusqu'ici Ton n'est pas parvenu à assigner la valeur précise d'une force équivalente à la résistance de l'air; d'où il ressort nettement :

1° Que l'observation expérimentale sur laquelle doit se baser l'assimilation peut donner lieu à des difficultés pratiques très-considérables ;

2"* Que, malgré les soins les plus délicats, il arrive souvent qu'on ne puisse pas faire une assimilation complètement exacte.

En mécanique appliquée, toutes les erreui*s des résultats obtenus sont uniquement dues aux erreurs commises dans les observations préliminaires^ Aussi doit-on toujours, autant que possible, contrôler ces résultats, c'est-à-dire examiner s'ils sont conformes ou non aux faits naturels. Cette vérification montre jusqu'à quel point était légitime l'assimilation qu'on avait cru pouvoir établir.

1x9 — .La seule force naturelle dont on ait su jusqu'ici tenir exactement compte est la gravitation universelle , dont la pesanteur n'est qu'un cas particulier. L'observation a prouvé que la cause inconnue en vertu de laquelle les astres de notre système effectuent leurs mouvements est absolument équivalente à une force d'attraction qui varierait en raison inverse du carré de la distance. Si la pesanteur paraît être une force constante, cela tient à ce que les divers corps pour lesquels nous l'estimons ne subissent, par rapport au centre de la terre, que des variations de distance qui sont insensibles et conséquemment sans influence sur la valeur observée de la force.

Toutes les autres causes naturelles se sont dérobées jusqu'ici à une évaluation exacte, c'est-à-dire qu'il est impos-

sible d'assigner aucune force théorique qui soit exactement équivalente à la cause considérée. Aussi faut-il multiplier les observations et moditier les résultats du calcul au moyen de ce qu'on nomme des coefficienU de correction. On peut dire que la mécanique appliquée, sauf la partie astronomique, est caractérisée par Tintroduction de ces coefficients dans toutes les formules théoriques.

L'assimilation des corps réels avec des types abstraits offre souvent de si grandes difficultés qu'il est préférable de chercher directement, au moyen d'expériences, un certain nombre de lois secondaires qui dispensent de ramener le problème à celui d'un système conçu à priori. C'est ainsi, par exemple, que la loi reconnue de Végalité de transmission des pressions permet d'établir tout de suite certaines équations sur les fluides, sans essayer de voir en eux des systèmes de points matériels assemblés d'une certaine façon abstraite. Nous pensons même que, vu l'extrême ignorance où nous sommes de l'état réel de la plupart des corps, la méthode la plus efficace consisterait à accepter dans chaque question, comme bases des calculs, un certain nombre de fiiits spéciaux établis par une expérimentation directe. Ce serait probablement plus fécond que de s'efTorcer, au moyen d'une analyse laborieuse, de resserrer la chaîne des phéno- , mènes au point de les faire rentrer dans un petit nombre de lois générales. La plupart du temps, la nature échappe à ce lien mathématique et nous oblige, pour l'y ramener, à recourir à des coefficients de correction qui sont presque, par leur importance, une négation véritable des formules.

L'astronomie, autrement appelée mécanique céleste, appartient naturellement à la mécanique appliquée. Toutefois, vu l'exactitude avec laquelle on a pu tenir compte delà gravitation et se dispenser ainsi de tout coefficient de correction, on est dans l'usage d'exposer ses principaux résultats dans la mécanique spéciale.

50. — Eo résumé, la coordination adoptée dans notre ouvrage est la suivante :

Notions fondamentales livre i.

1" PARTIE. — Mécanique générale.

Point matériel livre ii.

Systèmes quelconques de points matériels . . livre lii. Mouvement relatif livre iv.

2* PARTIE. — Mécanique spéciale.

Solides géométriques livre v.

Fluides théoriques livre vi.

Mouvements spéciaux ; machines théoriques. . livre vu.