II. Mécanique appliquée

Derniers éelairciMenents sur le preblèmf méeaniqae.

61. —Le problème mécanique consiste, soit à trouver les mouvements quand on connaît les forces, soit à trouver les forces quand on connaît les mouvements.

Cest cette seconde face du problème qui mérite des éclaircissements. Pour cela, nous allons établir quelques définitions dont nous ferons fréquemment usage dans la suite de cet ouvrage.

On dit que deux groupes de forces sont équivalents^ sur un corps ou un système de corps donnés, lorsque ces deux groupes sont susceptibles d'imprimer au système le même mouvement. Lorsqu'une force unique est équivalente à un groupe d'antres forces, on dit qu'elle est la résultante de

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ces dernières; réciproquement, celles-ci sont appelées les composantes de la force unique.

Nous verrons plus tard qu*un groupe de forces n'a pas toujours une résultante, mais qu'il y a toujours une infinité d'autres groupes qui lui sont équivalents.

D'après cela, quand on veut déduire de la connaissance d'un mouvement celles des forces qui peuvent le produire, le problème est indéterminé, puisqu'une infinité de groupes distincts satisfont aux conditions.

Ce qu'on se propose alors de trouver, c'est le groupe h plus simple possible, c'est-à-dire le groupe composé du moindre nombre de forces possible. Quand, par exemple, le mouvement est susceptible d'être produit par une force unique, c'est cette résultante qu'il s'agit de trouver.

Il n'y a d'exception à cette règle que lorsqu'on connaît positivement, à priori, l'existence de certaines forces qui coopèrent au mouvement. On veut alors trouver le moindre nombre possible d'autres forces qui, combinées avec celles qu'on connaît déjà, produisent le mouvement considéré. Soit, par exemple, un corps solide se mouvant dans l'air, d'une manière connue, sous l'action de forces inconnues. Si une force unique pouvait engendrer ce mouvement, ce ne serait pourtant pas cette force qu'il s'agirait de déterminer, parce qu'on sait à l'avance : 1° que le corps est soumis à la pesanteur; 2° qu'il subit la résistance de l'air, qui est une force de sens coiUraire. Ce qu'on demande, c'est le moindre nombre possible d'autres forces qui, s'unissant à la pesanteur et à la résistance de l'air, produiraient le mouvement observé.

On verra qu'une fois l'un des groupes trouvé, tout autre groupe, répondant à la question, se déduit aisément de la connaissance du premier. Il n'y aurait donc aucun intérêt à chercher directement l'un de ces groupes, de préférence au plus simple, tandis qu'il y a au contraire un intérêt très-

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grand à (chercher ce groupe le plus simple ; car il offre le plus de facilités possible à Tesprit pour se rendre compte de Tensemble du phénomène.

L'indétermination n'existe pas (piand on veut passer de la connaissance des forces à celle des mouvements : dès que les forces sont assignées, le mouvement s'ensuit nécessairement.

52. — On dit que des forces ge font équilibre ou gont en équilibre sur un corps ou sur un système de corps, lorsqu'elles sont absolument sans influence sur le mouvement: de sorte que ces forces peuvent être à volonté introduites ou supprimées sans que le mouvement en soit modifié.

Il suilde cette définition que des forces en équilibre, qui se mettent à agir sur un système en repos, laissent ce système en repos. On dit alors qu'il eut en équilibre sous l'action des forces.

Il est visible que les conditions auxquelles un groupe de forces doit satisfaire pour être en équilibre sur un système donné sont plus simples que les conditions relatives à un mouvement déterminé que ces forces devraient communiquer au système ; car, dans ce dernier cas, la valeur des forces doit dépendre de la position des points matériels, du temps écoulé, des masses sollicitées. Dans l'équilibre, au contraire, le temps n'intervient pas, puisque les forces sont supposées ne pas influencer le mouvement, à une époque quelconque. Pour le même motif, la position absolue des divers points du système n'intervient pas non plus : il ne peut s'agir que des situations relatives des points d'application des forces dans l'ensemble du système. Les masses sont également étrangères aux conditions, car, si en modifiant ces masses on détruisait l'équilibre, réciproquement en repassant des nouvelles masses aux anciennes, on rétablirait l'équilibre : or des changements de masses ne peuvent avoir pour résultat que d'accélérer ou de ralentir un mouvement,

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et non de faire iiailre une résistance déterminée qui empêche le mouvement produit par des forces.

Ainsi, les conditions d'équilibre d'un groupe de forces ne dépendent que de la valeur et de la direction de ces forces, ainsi que des positions relatives de leurs points d'application.

C'est pour cette raison que dans plusieurs ouvrages on recherche directement ces conditions d'équilibre, préalablement à toute considération de mouvement, et on en présente la théorie sous le nom de Statique, L'étude des phénomènes de mouvement proprement dits constitue alors la Dynamique.

5d. — Une telle méthode nous semble peu satisfaisante pour l'esprit ; car il est bien évident cpie l'équilibre n'est qu'un cas particulier du mouvement, et qu'en général un groupe de forces donné ne se fait pas équilibre sur un système. Il est donc bien plus logique d'établir les relations qui existent, dmis tous les cas^ entre un groupe de forces quelconque, et d'exprimer ensuite, dans le cas particulier de l'équilibre, que le mouvement qui correspond aux fondes en équilibre est nul, puisque le mouvement général ne se ressent pas de la présence de ces forces. De cette façon les diverses propositions de la statique sont déduites au fur et à mesure des résultats mécaniques. D'ailleurs la méthode que nous repoussons n'offre aucune supériorité au point de vue de la facilité des démonstrations, car ce qu'on évite en stiUique, on le retrouve plus tard en mécanique; et finalement, en envisageant l'ensemble de la science, on a toutes les difflcultés inhérentes à la théorie du mouvement, après s'être donné la peine d'employer des artifices spéciaux pour constituer directement celle de l'équilibre.

Nous dirons enfin que les théorèmes de l'équilibre ne sont vraiment rigoureux que lorsqu'on les déduit des lois du mouvement. Quand on essaie de les ramener à une pure géo-

7A U\Uh I. — V/TMj^^ ll.*!IDA]IE3rTALE5.

mrtm, on nuiDqoe d'one tiase salfiuiiter ainsi que nous le Uffisateron^ plui^ Uird : car la théorie de Téqulibre, anssi bW-n qne c^Ue du niouvement, repose sur les lois fondanientaif^ fonroies par l'obsenratioDy auxquelles on ne peutsuppi#^*r par aucun artifice de la logique.

Il ne nous parait pas que ces inconvénients soient rachetés, au point de vue didactique, par des avantages positifs, et que la considération des forces en statique prépare mieux Tesprit aux phénomènes de la dynamique. Loin delà: on éprouve au contraire une sorte de surprise à associer désorniaih la notion de la force à la pensée du mouvement, et a tenir rompte de la masse des corps, dont Féquilibre avait déshahitij<*. On s<; trouve subitement introduit dans un ordre d1(li*es si différent qu'on est tenté de se demander si ces forcreh, qu'on considère aujourd'hui, sont bien les mêmes qu'on considérait auparavant, et si la notion qu'on avait re<;ue n'a pas besoin d'être complète^, maintenant qu'on abor(h; <h;s phénomènes bien plus généraux.