CHAPITRE PREMIER

Propos! lion première.

oii. — Lorsqu'une force consiante en grandeur et en direction sollicite un point matériel, raccëlération est constante.

Soit cp la vitesse acquise par le point matériel au bout de la première unité de temps, je dis que la vitesse acquise sera 2cp au bout de la deuxième unité de temps, 3cp au bout de la troisième, et ainsi de suite; ce qui montrera que Taugmentation de vitesse pendant chaque unité de temps, c'està-dire Taccéléralion, est constante.

En effet, au bout de la première unité de temps, imaginons un autre point matériel à côté du précédent, et doué I. s

lit» la moino viusso c^. — Ca moiivcmenl de translation cp, roiniiiiin au!c doux points, ne devra pas, pendant Tunilé de loiups suivaiilo, all«*rer le mouvement particulier que la foiHv donnée imprimera à celui des deux points qu'elle sollicite ^^iroisième loi fondamentale du mouvement). Donc, ce dernier point acquerra une nouvelle vitesse (y par rapport à raiiliv, qui possèile déjà cette mcmc vitesse. Sa vitesse absolue sera donc "1-^, Ou prouverait de même qu elle sera â(f api'ès le ti^oisième temps, et en général /«cp après n unités de temps.

(V#ijfc<^Mcwccjf. — l'iie force constante en grandeur et en iliivctiou pmduit donc un mouvement rectiligne uniformément varié, dans linpiel, par conséquent, la vitesse acquise croit proportionnellement au temps.

KécipiHHiuement, quand nu mouvement a lieu en ligne diH>ite et d'iuie maaièiv uniformément variée, on peut toujoui's concevoir une foi*ce constante convenable, capable de le produiiv.

Au contraiiv, une fon^e variable ne saurait engendrer un semblable mouvement.

55. —Deux forces constantes en grautleiir et en direction sont entre elles comme les accélérations tiuelles iniprinieraient à un même point matériel.

Suit F une force, o Taccélération qu elle communique à un point matériel : je dis qu une force double f>F imprimera une accélération double 2^, une force ,^F une accélération S'j, et ainsi de suite; ce qui montrera que les accélérations augmentent dans le rapport des forces que Ton choisit.

Prenons en effet deux points matériels égaux, Fun sollicité par la force F, et Faulre par la foixe 2F. On peut cuusî-

dérer ces deux points comme ayant un mouvement commun, celui qui est produit par la force F ; en outre, un de ces points reçoit un mouvement particulier, qui est produit par la deuxième force F à laquelle il est soumis. Ce dernier mouvement s'exercera comme si Fautre n'avait pas lieu : le point recevra donc, en vertu de ce second mouvement, une nouvelle vitesse cp, égale à celle qu'il reçoit déjà en vertu de son mouvement commun. Il recevra* donc finalement, au bout de Tunité de temps , une accélération totale 2cj). On démontrerait de même que , s'il était sollicité par une force 3F , il recevrait une accélération triple , et ainsi de suite.

Conséquence, — La vitesse communiquée par la force F, étant représentée par cp au bout de l'unité de temps, sera égale à (j>^ au bout d'un temps quelconque t^ d'après la première proposition. La vitesse communiquée par une force nY sera, au bout du même temps, nr^t. Ces vitesses (p/ et /tcp^ sont entre elles dans le même rapport que les accélérations ç et wcj>, ou dans le même rapport que les fontes. On peut donc énoncer la proposition ci-dessus en disant que deux forces constantes sont entre elles comme les vitesses qu'elles communiquent à un même point matériel au bout du même temps.

11 ressort également de la démonstration qui précède que les espaces que font parcourir deux forces, au bout du même temps, sont proportionnels à ces forces.

56. — Nous croyons utile de reproduire ici l'artifice, plus ingénieux que solide, employé par M. Poisson pour se dispenser, à cette occasion , de s'appuyer sur la troisième loi expérimentale du mouvement.

Ce savant, après avoir considéré deux forces /"et /*', agissant simultanément sur le point matériel, et capables de communiquer isolément à ce point, pendant le temps trèspetit T, des vitesses respectives w et u'^ énonce que la vitesse

prcMliiih' par riMisrinblo des deux forces sera u-i-»'. Pour le (h'MiKMitirr, il Tait le raisonnement suivant' :

«< 1/augnienlalion de vitesse du mobile ne pourra dé «' pendre que du temps t auquel elle sera proportionnelle^ «• et d«» IVlat de ee point matériel, ou, auti'ement dit, de sa « position et dv sa vil(»sse pendant le même temps t; ee ne « xertitt doue qu\*u influant ttur cet état que ractioii de <( la forée /" pourrait modifier la vitesse qui sera prodaiie « par la forci» /'. Or, pendant le temps t, la distance du mo- « hil(» à un point fixe et sa vitesse ne peuvent varier que de « (piantitf's inliniinent petites, négligeables par rapporta " celle distanee et à eette vitesse elles-mêmes. Par conséu cpMMit, la vit(»sse cpie produira la force /"pendant cet inter- «< valle de tein|)s t, ne saurait être modifiée en aucune ma- <• nière par Taetion simultanée de la force/"; donc, etc., etc.»

Il est innnédialemenl visible que la première phrase de ce raisonnement renferme deux pétitions de principe, que nous avons «'eriies en ilali<pie pour les faire ressortir.

Kn elVei, (piesl-re (|iii montre en premier lieu, à priori ^ (pie la vit<»ssc procluiii» \my les forces combinées /'et /' sera proportionnelle au fempx z? M. Poisson a défini forces vonatantcfi celh's qui donnent des augmentations de vitesse proporlioiinelles au lomps. Les forces /'et f sont supposées éirr individui ll(»menl des forces constantes. Mais qu'est-ce (]ui prouve <pi<» leur enseinbhî constituera aussi une force constante, «/(^st-à-dire, d'après la définition qu'il adopte, eonsiiiuera une force qui produit des augmentations de viless(» proporiionnelles au temps? Il faudrait avoir démontré préalablenienl qu(î deux forces, en se combinant, ne portent pas réciproquement atteinte à hmr manière d'agir. Or, c'est justement là ce qui est en (piestion. En second lieu, qu'est-ce (pii prouve que ce n'est ^j*V;i influant aur la position et la

* Traiié de Mécanique, t. I", pages 213 ci suivante?.

PROPOSITIONS PRÉr.LMlîNAlRES. 85

viiesse du point que la force f pourruilmodifier la vitesse produite par la force f? Aucune considération à priori ne permet d'âfiirmer que les forces /"et /^ n'influenceront pas réciproquement leurs effets, /?cfre^/« seul quelles agissent ensemble. C'est admettre une seconde fois ce qu'il faut démontrer.

Ainsi se trouve vérilié ce que nous avancions au n* 37. Ou voit à quels illogismcs on est forcément entraîné, quand on refuse de prendre franchement lexpérience pour première base des déductions mécaniques.

PropositioD troiii»icme.

57.— La valeur numérique d'une force constante est égale à l'accélération qu'elle communiquerait à l'unité de masse ; on peut dire aussi qu'elle est égale à l'accélération qu'elle communiquerait à une masse quelconque, multipliée par la mesure de cette masse.

Soit F une force constante en grandeur et eu direction, qui agit sur l'unité de masse, et ^ l'accélération qu'elle lui communique. L'unité de force, agissant sur cette même unité de masse, lui communique, d'après la définition (n°17), une accélération égale a l'unité de longueur. En vertu de la proposition qui précède, deux forces sont entre elles comme les accélérations qu'elles communiquent à la même masse. Donc la force F, qui communique une accélération ij> fois plus grande que celle qui correspond à l'unité de force, est égale à ^ fois celte unité de force, ce qui est là précisément la valeur numérique de cette force F. Ainsi, le nombre d'unités de forces représenté par la quantité F est égal au nombre d'unités de longueur représenté par la quantité ^,

Si la force F, au lieu de solliciter l'unité de masse, sollicitait une masse quelconque m, elle lui communiquerait une

acci'lération 9 qui serait m fois moindre ; car les masses étant, par définition, proportionnelles aux forces qui leur impriment la même vitesse, il faudrait une force ?n fois plus grande qvw F pour communiquer à la masse m raccéléralion qui était tout à Tlieure donnée à l'unité de masse. La force F, étant ?n fois moindre que cette force nécessaire, communiquera donc une accélération m fois moindre à cette masse ?n. On doit donc multiplier cj. par m pour reproduire un nombre éîgal à 1, ou, ce qui revientau même, égal à la valeur de F. Ainsi Ton a :

F = 7/1 çp ;

ce (lui (»st la deuxième partie de la proposition annoncée, et la forme sous laquelle on s'en sert le plus ordinairement. Conséquence, — La vitesse V produite par une force constante, au bout d'un temps quelconque /, est égale à cf/. La relation ci-dessus peut, en conséquence, s'écrire

ce qui signifie qu'une force constante en grandeur et en dinMiion, qui sollicite un point matériel, est égale au produit <le la niass<î par la vitesse acquise au bout d'un temps (]u<'lcon(|ue, divisé par ce temps. Le produit mV a reçu le nom (l(^ qnantitd de mouve^nent , expression qui a pour but d'é»vil(»r une réi)érition fastidieuse. D'un autre côté, le produit F/ a r<*(;u, pour le nn^ue motif, le nom d'impulsion de

la \ovvx\ La relation r=— -, qui peui se mettre sous la

forme

Ff = mV,

signifie donc que l'impulsion de la force, au bout d un temps

quelconque, est -égale à la quantité de mouvement acquise par le point matériel.

58. — Des relations analogues peuvent être établies pour les forces d'intensité variable, mais de direction constante.

Soit en effet une force F, dont la grandeur varie à chaque instant. Si cette force gardait pendant Tunité de temps sa valeur actuelle F, sans augmenter ni diminuer, elle communiquerait une accélération (j>, qui, d'après ce qu'on vient de voir, serait liée à la valeur de F par Téquation

Mais cette accélération cp, étant égale au rapport de la vitesse communiquée pendant un temps quelconque, par la force constante, au temps employé à la produire, a pour

AV valeur la limite de -r— ,en désignant par AV raccroissenient

de vitesse qui serait du à la force constante. Or, à la limite, la force constante, qui n'agit avec cette intensité constante que pendant un temps infiniment court, ne se distingue plus de la force variable elle-même agissantpendant cette durée.

AV

Par conséquent aussi, Faccelération limite -r— ne se distingue plus de Taccélération due à la force variable, c'est-àdire de l'accélération du mouvement varié déterminé par la force donnée; or, cette dernière accélération est, comme

AV dY on sait (n° 6), représentée par lim -r— ou --r- , en appelant V la vitesse effective du point matériel. Donc, la relation

F == m cj> subsiste encore, va\ considérant que cf y désigne, non plus une quantité constante, mais une quantité -^ , variable peu-

dant toute la durée de l'action de la force. On laisse ordinairement à ^ cette dernière forme, et on écrit en conséquence

rfV

on peut aussi la transformer en

ÇYdt=imd\ = my,

et énoncer, comme auparavant, que l'impulsion est égale a la quantité de mouvement, en appelant impulsion l'intégrale / Ydty qui, dans le cas delà force constante, se réduit

Il résulte de cette démonstration que tout mouvement rectiligne varié peut être envisagé comme du à une force d'intensité variable et de direction constante. Il suffît, en effet, que la valeur de cette force à chaque instant soit égale ù la masse qui se meut, multipliée par l'accélération, à ce même instant, du mouvement donné.

59. — Les relations que nous venons d'établir, pour les forces constantes et variables

(constante) F = ?ncp = — ,

(variable) F = mcf = -^— ,

impliquent que l'unité de masse est choisie de manière à ce que, sollicitée par l'unité de force pendant l'unité de temps, elle acquière une vitesse égale à l'unité de longueur. C'est la condition sur laquelle nous nous sommes appuyé dans le cours de la démonstration de notre troisième proposition. Peu importe, d'ailleurs, la valeur absolue de chacune des autres unités adoptées.

Si Tunité de masse ne satisfaisait pas à cette condition capitale^ les relations ci-dessus n'auraient plus lieu. La seule chose qu'on pourrait démontrer, indépendamment de toute espèce de choix d'unités, c'est que deux forces sont entre elles comme les produits des masses qu'elles sollicitent par les accélérations qu'elles leur communiquent. C'est ce qui résulte : 1° de ce que deux forces sont proportionnelles aux accélérations qu'elles communiquent à la même masse; 2*» proportionnelles aux masses auxquelles elles donnent la même accélération. Car, soit F et F' deux forces, m et m' les masses sollicitées, cf et cp' les accélérations produites : si l'on prend une troisième force F" telle que, sollicitant la masse m, elle lui donne l'accélération cj)', on aura, entre F et F", la proportion

F : F" : : Cj; : cf ' ; et de même entre F" et F', la proportion

En multipliant terme à terme, il vient

F : F' : : mcy : m'cf' ;

relation indépendante, je le répète, de toute valeur particulière des unitésde force, de masse, de longueur et de temps. Cette proportion peut aussi s'écrire :

ou, ce qui revient au môme :

Tt = -"7TT7 ; OU encore — rr = —rrr, .

mV m V mV m V

jVous voyons par là qu'entre l'impulsion d'une force et la

90 LIVRE II. — POil^T MATÉRIEL.

quaoliu*. de inoiivemeiil c^ommuniquée au bout d*uo temps quelconqne, il y a un rapport numérique constant, le même pour touU^s l(.'s forces. Si nous appelons K ce mpporl, la relation ci-d<^ssus sera exprimée en posant, pour une force quelconque F\

Fr = K. 7mV ;

relation (pii diffère de celle déjà trouvée au n** 57, en ce que le deuxièmes nombre y renferme une quantité constante K, (|ui se reproduit pour toutes les forces que Ton considère.

La pn*sence de cette quantité tient précisément à ce que nous avons laissé les diverses unités de force, de masse, etc., entièrement arbitraires ; et il est visible que, si nous reprenions (X'Ues dont nous sommes convenus de faire effectivement usage, la quantité K disparaîtrait, ou, ce qui est plus exact, deviendrait égale à l;car la relation F /^K^/tV, ayant lieu quelle que soit la force considérée, on peut Tappluiuer à Tunitéde force sollicitant Tunité de masse pendant l'unité de temps. On sait alors, d'après la manière même dont a <';té choisie l'unité de masse, que la vitesse acquise <?st égale à l'unité de longueur. La quantité K devant donc convenir au cas où Ton a à la fois F=l, t=i, m=l, V=l , est elle-même égale à 1 .

Ainsi, pour que K disparaisse delà relation, et pour qu'on retombe sur cc^lle déjà trouvée

Ff = mV ,

il faut que F, ^, V et m puissent être supposés sinuiltanénKînt égaux à l'unité ; ce qui revient à dire que l'unité de niasse doit être choisie de manière à ce que, sollicitée par l'unité de force pendant l'unité de temps, elle acquière une vitcîsse égale à l'unité de longueur. Cette condition nécessaire est d'ailleurs suffisante ; pourvu qu'elle soit remplie, on peut donner telles valeurs qu'on voudra aux imités de force,

de temps et de longueur, la quantité K n'en sera pas moins égale à j .

Ainsi, la convenance de simplifier la formule F/ = KmV et de la ramener à F/=mV, n'introduit que la seule condition de choisir l'unité de masse dans une certaine correspondance des autres unités, prises d'ailleurs arbitrairement. On aurait donc pu, sans cesser de satisfaire à cette condition, choisir les unités autrement qu'on ne l'a fait.

A ce propos, qu'on nous permette une remarque, étrangère d'ailleurs à l'objet direct de ce cours, mais qui n'est pas sans un certain intérêt scientifique. Nous voulons parler des résultats qu'aurait eus le choix d'un mètre différent de notre mètre actuel. Si, au lieu de prendre pour cette unité la dix-millionnième partie du quart du méridien terrestre, on avait pris la vitesse acquise, au bout de l'unité de temps, par un corps tombant librement dans le vide, sous l'action de la pesanteur, on auraitapporlé certaines simplifications aux formules mécaniques. Dans cette hypothèse, l'unité de masse, au lieu d'être égale à la masse d'un corps pesant g kilogrammes, aurait élé celle d'un corps pesant un seul kilogramme. Car un tel corps tombant sous son propre poids acquiert, au bout de l'unité de temps, une vitesse égale à g, ce qui serait précisément alors une vitesse égale à l'imité de longueur. La masse d'un corps quelconque aurait ainsi élé expri-

p mée numériquement par son poids, et la relation mz=z— serait devenue simplement w=P. Par suite, la quantité p aurait disparu des formules où elle figure aujourd'hui perpétuellement.

mV Pour n'en citer qu'un exemple, la relation Fz^—- renferme actuellement le nombre g d'une manière implicite , puisque P étant le

p poids du point matériel, onamrz— , et par conséquent.

Avec la nouvelle unité de longueur dont nous parlons, celte relation aurait eu la forme plus simple

Sdns multiplier les oxomplcs, il est évident que ^ doit, en mécanique, li.^urer implicitement ou explicitement à peu près partout; car ce nombre est lié iné\ilal)lemenl à la masse des corps considérés, masse qui intervient dans la plupart des problèmes de mouvement. On aurait donc gagné une simplification de calculs , en mémo temps ([u'on aurait eu une unité de masse plus naturelle à l'esprit ; car, il faut le reconnaître, on songe plutôt à la masse du corps qui pèse l'unité de poids, qu'à celle d'un corps pesant g fois cette unité.

Il ne semble pas, d'ailleurs, qu'il y ait de motif spécial de choisir le mètre comme on Ta f.iit, plutôt que de l'autre matière. On a mis en avant ces deux considérations :

1° Qu'il importait d'en prendre la valeur dans la nature, afin qu'elle ne fût pas exposée à varier dans la suite des temps; 2** que le mètre actuel a un rapport très-simple avec l'ancienne unité de longueur (la toise vaut sensiblement deux mètres). Mais il est aisé de voir qu'aucune de ces considérations n'est exclusive au mètre actuel. En effe^, la valeur de g^ vitesse acquise au bout de l'unité de temps, est tout aussi (ixe, pour un lieu déterminé, que la dix-millionnième partie de la distance du pôle à Téqpateur. Elle est bien plus facilement mesurable, au moyen du pendule, par exemple, qui fournit, pour un lieu quelconque, la relation