VJ

en appelant T la durée totale de n oscillations et l la longueur du pen dule. On en déduit

i — IÎ.

- représente justement la mesure de la longueur du pendule, évaluée

en nouveaux mètres égaux à g. Par conséquent, le nombre abstrait

-3-;t désigne la fraction du nouveau mètre que représente la lon-

gueur effective de ce pendule; ce qui permet, à un moment quelconque, de retrouver le nouveau mètre en fonction de la longueur du pendule qui sert à l'expérience. Ce mètre varierait naturellement d'un lieu à un autre, puisqu'il est lié au nombre d'oscillations obser» vées, lequel, pour une même longueur de pendule, dépend du lieu (lue l'on a choisi. Ces différences entre les mètres, ainsi calculés pour

es divers parallèles du globe, ont leurs analogues dans les mètres actuels mesurés sur les méridiens, puisqu'on sait que tous les méridiens n'ont pas la même longueur. Les mèlres de deux lioux différents, calculés avec un même pendule, seraient d'ailleurs entre eux dans le rapport inverse des carrés des nombres d'oscillations effectuées dans un même temps. Ce rapport est beaucoup plus aisé k obtenir que lorsqu'il faut recourir à la mesure directe des deux méridiens.

Quant à la seconde consi.iéralion, nous répondrons que le nouveau

décimètre, égal à--- , ou, pour Paris, à 0,9808 du mètre actuel, aurait offert avec la toise sensiblement l'ancien rapport^. A vrai dire, nous croyons qu'il vaudrait mieux encore que ce raj)port simple n'existât pas, car il contribue à perpétuer le fâcheux usage des anciennes mesures. On ne saurait tirer une objection de ce que, dans ce nouveau système, l'unité habituelle aurait été inévitablement, non pas le mètre, mais le décimètre. C'est ce qui a lieu aujourd'hui pour une foule de mesures: ainsi, le kilogramme, l'hectare, le kilomètre, le millimètre, sont devenus, pour l'esprit, des quantités aussi simples que leurs unités correspondantes. Le nouveau décimètre aurait eu un rôle analogue.

Proposilion quatrième.

60. — Lorsqu'un point ixiatériel est animé sîinulianément âe deux mouvements rectilïgnes quelconques, la position au bout d'un temps donnée que prend le mobile sous l'influence combinée de ces deux mouvements, est silu('e à l'extrémitc* du parallélogramme dont les côtés représentent respectivement les longueurs qui auraient été parcourues sous l'influence de chacun des deux mouvements, considéré comme s'exerçant seul.

Soit le point M, animé de deux mouvements: l'un suivant M A, qui lui ferait parcourir la longueur MM', s'il agissait seul, pendant un certain temps ; l'autre suivant MC, qui, au bout du même temps, luiferaitparcourirlalongueur MP'; je dis que la position qu'occupera ce mobile, en vertu des deux

94 f ÏVRE II. — pomr MATÉRIEL.

mouvemenls, sera en M„ extrémité du parallélogramme construit sur M M' et MP'.

Imaginons en effet un second point N, se mouvant suivant N B d'un mouvement N N' égal et parallèle à celui qui a lieu

suivant M A. Les deux points M etN, ayant ainsi une translation commune, le premier de ces points, en vertu de son mouvement particulier suivant M C, prendra par rapport à Tautre la position qu'il (^ aurait prise si le mouve-

Pig, 3, ment commun n'avait pas

ou lieu. Il occupera donc la position M^, obtenue en menant M'M,, égal et parallèle à M P'.

Pour toute autre époque du mouvement, la position du mobile s'obtiendra en faisant une construction analogue ; (^\^st-à-dire en traçant toujours le parallélogramme dont les deux côtés représentent les deux longueurs parcourues, en vertu de chacun des deux mouvements individuels, pendant le temps considéré. La série des points Mj, ainsi déterminés, unis par un trait continu, représente la trajectoire effective du mobile sous l'influence de son double mouvement recti ligne.

Cette trajectoire seia en général une ligne courbe. Pour que ce fût une ligne droite, il faudrait que la diagonale M M^ d'un de ces parallélogrammes fut en même temps la diagonale de tous les autres, ou que tous les parallélogrammes M M'MjP', Mm'm^p', construits pour les diverses époques du mouvement, fussent semblables entre eux. Cela reviendrait à dire que les longueurs parcourues, au bout du même temps, sur chacune des droites MA, MC, sont dans un rapport constant. Par conséquent, * = f(t) étant

a loi d'un des deux mouvements rectilignes, et a = cp (0 étant la loi de Tautre, on aurait j»= k ^, ou bien

En d'autres termes, l'une des fonctions serait égale à l'autre multipliée par un nombre canstaut. Sauf ce cas particulier, le mouvement effectif ne sera pas rectiligno comme les mouvements partiels.

Remarque, — La même démonstration s'appliquerait encore, si Fundes mouvements, le mouvement suivant MC, par exemple, au lieu d'être reclililigne, s'effectuait suivant une courbe quelconque M S. En efTet la 3" loi fondamentale, sur laquelle nous nous sommes appuyé, n'exige pas que le

mouvement particulier qui s'exerce concurremment au mouvement commun, soit dirige suivant une ligne droite. La position M^ se détermine alors en menant par le point M' un arc de Fig. ft. courbe M' 0' M^, égal et

parallèle à l'arc MO F qui serait décrit en vertu du mouvement particulier s'exerçant seul. Cette position M^ dépend donc encore de la même construction que préccHlemment : seulement on doit entendre que le côté du paralhMogramme, correspondant au second mouvement, n'est point la droite parcourue dans ce mouvement, mais la corde meni'o du point de départ au point Y de la traj(M;toir(îM S, où se trouve le mobile au bout du temps considéré. Le mouvement curviligne n'a pas besoin d'ailleurs d être contenu dans un même plan.

Conséquences.

1° Deux mouvements rectilignes quelconques se com-

binent on un mouvement curviligne, qui a lieu dans le même plan.

Réciproquement, un mouvement curviligne qui s'effectue dans un même plan peut toujours être remplacé par deux mouvements rectilignes.

2° Supposons que le mobile ait trois mouvements rectilignes dans des directions quelconques. On peut remplacer deux d'entre eux par un mouvement curviligne de même plan, tel que la position est à chaque instant déterminée par la construction parallélogrammique précédente. Le troisième mouvement rectiligne peut être combiné avec ce mouvement curviligne, et donne ainsi un mouvement curviligne tel que la position à chaque instant est également déterminée par une construction parallélogrammique. Les deux constructions consécutives, qui donnent la position due à la combinaison des trois mouvements rectilignes, reviennent évidemment à une seule construction, qui serait celle d'un parallélipipède dont les trois cAtés sei*aient les trois longueurs de droites parcourues en vertu des trois mouvements, considérés comme s'exerçant isolément.

Réciproquement, un mouvement curviligne qui a lieu d'une manière quelconque dans l'espace peut toujours être remplacé par trois mouvements dirigés suivant des droites quelconques.

3° En général, la position d'un mobile, déterminée par autant de mouvements rectilignes qu'on le voudra, s'obtiendra toujours par la construction polygonale suivante :

On prend une première longueur égale ù celle qui est parcourue, au bout du temps considéré, en vertu du seul premier mouvement.

Par l'extrémité de celte droite, on mène une seconde droite égale et paiallèle à la longueur parcourue en vertu du second mouvement;

Par l'extrémité de cette seconde droite, on mène une tpoi-

sième droite égale et parallèle à la longueur parcourue eu vertu du troisième mouvement ; et ainsi de suite pour chacun des autres mouvements.

L'extrémité de la dernière droite ainsi menée représente la position occupée par le mobile sous Tinfluence de tou& ses mouvements rectilignes combinés.

Réciproquement, un mouvement curviligne quelconque peut toujours être remplacé par autant de mouvements rectilignes qu'on voudra, s'exerçant suivant des droites quelconques.

6° Pour que la trajectoire provenant de la série des constructions polygonales soit une droite, il faut, comme dans le cas de deux mouvements, que tous les polygones successifs soient semblables entre eux, ou que toutes les fonctions du temps, qui représentent respectivement la loi des divers mouvements rectilignes, soient entre elles dans des rapports constants.

Remarque. — Les mouvements rectilignes dont la combinaison équivaut à un seul mouvement curviligne sont nommés mouvements composaniSy et le mouvement curviligne est nommé mouvement renuliant. Les propriétés précédentes sont alors désignées collectivement sous le titre de lois de la composition et de la décomposition des mour vem,ents.

Autres conséquences.

61. — Nous allons déduire d'autres conséquences fort importantes, relatives aux vitesses.

Nous avons vu plus haut que le mouvement résultant est rectil igné lorsque les fonctions du temps, correspondant aux divers mouvements rectilignes composants, sont entre elles dans des rapports constants.

Il est visible que, réciproquement, si le mouvement résultant est rectiligne, les divers mouvements composants

sont tels que les fonctions ont entre elles des rapports constants : ce qui revient à dire que tout mouvement rectiligne peut être décomposé en autant de mouvements rectilignes qu'on le voudra, lesquels sont tous liés entre eux. et au mouvement donné par cette propriété que les fonctions du temps n'y diffèrent que par la valeur d'un multiplicateur constant.

Cela posé, voici les résultats qui en découlent :

1° Si tous les mouvements rectilignes composants sont uniformes, c'est-à-dire si le mobile est animé de diverses vitesses constantes dans des directions quelconques, les fonctions du temps satisfont à la condition susdite, puisqu'elles sont toutes de la forme 9 = V^. Donc le mouvement résultant est rectiligne et uniforme ;

T Si l'on prend des droites qui représentent en grandeur et en direction les vitesses des mouvements composants, et qu'on fasse avec ces droites la construction polygonale qu'on a déjà vue, la vitesse du mouvement résultant sera représentée en grandeur et en direction par la droite menée de l'origine du polygone à l'extrémité du dernier côté ; ou , en d'autres termes, sera représentée par la droite qui achève de fermer le polygone.

3° Réciproquement, une vitesse peut être remplacée par autant de vitesses qu'on le voudra, s'exerçant dans des directions quelconques.

N, B, On nomme vitesaes composantes celles des mouvements composants, et vitesse résultante celle du mouvement résultant. Les conséquences qu'on vient de voir sont connues sous le nom de lois de la composition et de la décompositio7i des vitesses.

li° Si les vitesses considérées sont variables, les lois précédentes ne s'appliquent pas moins intégralement. Car on sait que tout mouvement, quel qu'il soit, peut être remplîUîé par un mouvement uniforme, pendant un temps infiniment petit (no /i), ce qui revient à dire qu'on peut, pendant un

moment, considérer chacune des vitesses comme constante. Or alors les lois de la composition et de la décomposition sont applicables. Donc des vitesses variables ont à tout instant pour résultante une vitesse représentée par le dei nier côté du polygone construit avec les valeurs actuelles d<î ces vitesses, et réciproquement. Seulement, dans ce cas, la vitesse résultante varie d'un Moment à Fautro.

Nous ajouterons quelques détails pour les cas de composition et de décomposition qui se présentent le plus fréquemment.

1** La résultante de deux vitesses est égale à la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vitesses, et la résultante de trois vitesses est égale à la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois vitesses.

Etant donné les valeurs des vitesses composantes et les angles qu'elles forment entre elles, il est facile d'en déduire, par les théorèmes connus de la géométrie, la valeur de la vitesse résultante et les angles qu'elle forme avec ses composantes.

Réciproquement, étant donné la vitesse qu'on veut décomposer, ainsi que. les angles formés avec elle par les droites suivant lesquelles on veut la décomposer, on obtient les valeurs des vitesses composantes.

2° Les cas les plus intéressants sont ceux où le parallélogramme et le parallélîpipède sont rectangles.

Soient alors V une vitesse résultante, v^ u, et w les 3 vitesses composantes, a, b eic les 3 angles formés par V avec ses composantes. Les relations dont nous parlons deviennent ;

'=Jv^-hu'

-f-tV^, COSa = -, ces = rr, COSC=— .

On sait d'ailleurs qu'entre a, h, r, existe la relation trigonoinétrique

cos'rt 4- cos^ft 4- cos'c = 1 ;

relation qui est évidemment satisfaite dans les formules cidessus, puisqu'on a :

cos^a-j-cos^fr -Hcos'c=^j-|-^+Yi= yâ =y2=*'

Proposition oinquléme.

62. — La résultante de deux forces constantes, qui sollicitent simultanément un point matériel, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme dont les deux côtés représentent en grandeur et en direction les deux forces données.

Soit M un point matériel, sollicité simultanément par

deux forces constantes P et Q, qui sont représentées en

1^ p 5 ]^' -g grandeur et en 'direction

"~ par les deux longueurs MB et MA. Je dis qu'une force unique R, représentée en grandeur et en direction par la diagonale Fig. 5. MC du parallélogramme

M R(i A, communiquera au point matériel le même mouvement que rensemble des deux forces P et Q ; de telle sorte c|ue, si ces dernières l'amènent au bout d'un certain temps en M|, la foice U, agissant seule, l'y amènera aussi au bout du môme temps.

La position M^ se détermine, comme on sait, en construisant le parallélogramme dont les deux côtés MM' et MH représentent respectivement les longueurs que chacune des forces, agissant seule, ferait parcourir au mobile pendant le temps considéré. C'est là, en effet, une application de la pro-

PROPOSITIONS PRÊLIMINAIBES. lOl

position IV% puisque chacune des deux forces P et Q, étant constante en grandeur et en direction, communiquerait un certain mouvement rectiligne ; d*où il suit que le mouvement dû à la combinaison des deux forces est précisément ce que nous avons nommé mouvement résultant de deux mouvements reclilignes.

Je dis, en prem ier lieu, que cette position M^ est sur le prolongement de la diagonale MC, ou que les côtés du parallélogramme MM' Ml H sont proportionnels aux côtés du parallélogramme MBCA. C'est ce qui ressort de la démonstration donnée au u° 55, où Ton a vu que les forces constantes sont proportionnelles aux espaces qu'elles font parcourir à un même point matériel pendant le même temps : donc les longueurs MM' et MH sont proportionnelles aux forces P et Q, et, par suite, aux longueurs MB et MA qui représentent ces forces.

Cela posé, nous devons prouver que la force R, agissant seule, amènerait le mobile au même point M|. En effet, une force constante, capable de ce mouvement, devrait : 1° être dirigée suivant MM,; 2° avoir, avec les forces P et Q, le même rapport qui existe entre MM^, MM' et MH, puisque ces trois longueurs sont celles que font parcourir respectivement trois forces constantes au bout du même temps. La force en question aurait donc aussi, avec les forces P et Q, le même rapport qui existe entre MC, MB et MA. Donc enfin cette force en question est précisément celle qui est représentée en grandeur et en direction par la diagonale MC du parallélogramme MBCA.

Retnarque . — Il ressort de la même démonstration que le mouvement résultant de l'action des deux forces P et Q est un mouvement rectiligne, comme chacun des mouvements composants.

Autre remarque . —Cette démonstration s'appliquerait encore si le point M, en même temps qu'il est sollicité par les

deux forces, était en outre animé d'une certaine vitesse dans une direction quelcpnque. Car on sait, d'après la S*" loi fondamentale, qu'une translation quelconque est sans influence sur les mouvements particuliers. On pourrait donc imaginer un second point matériel, à côté du premier, et animé de la même vitesse que lui. Le mouvement que le point donné prendrait par rapport à l'autre, et qui serait du uniquement à l'action des deux forces, ne serait pas influencé par cette vitesse commune. On recourrait alors à la démonstration précédente, et on pourrait remplacer les deux forces par la diagonale de leur parallélogramme. Quant à la trajectoire efiective de ce point matériel, elle ne serait plus rectiligne, puisqu'elle serait déterminée, non-seulement par la force résultante, mais aussi par une certaine vitesse. Le mouvement particulier du à la résultante est bien rectiligne, mais le mouvement qui provient de sa combinaison avec celui qui est dû à la vitesse est curviligne; cette trajectoire est d'ailleurs nécessairement contenue dans un même plan, d'après ce qui a été dit à ce sujet au n® 60.

Conséquences,

1° Deux forces constantes peuvent toujours être remplacées par une seule, située dans le même plan. Réciproquement, une force constante peut toujours être remplacée par deux autres, situées dans le même plan.

T Supposons que le point matériel soit sollicité par trois forces constantes, dans des directions quelconques. On peut remplacer deux d'entre elles par leur résultante, et cette résultante, avec la troisième, peuvent également être remplacées par une nouvelle résultante, laquelle n'est autre, d'après ces deux constructions successives, que la diagonale du pa-. rallélipipède qu'on aurait tout d'abord construit sur les trois forces données.

Réciproquement, une force constante peut toujours être

remplacée par trois autres dirigées d'une manière quelconque dans Tespace.

Z° En général, la résultante d'autant de forces constantes qu'on le voudra s'obtiendra toujours par la construction polygonale suivante ;

On prend une première longueur, qui représente en grandeur la première force donnée ;

Par l'extrémité de cette droite , on mène une seconde droite égale et parallèle à celle qui représente la seconde force ;

Par l'extrémité de cette seconde droite, on mène une troisième droite égale et parallèle à celle qui représente la troisième force ;

Et ainsi d^ suite pour chacune des autres forces données.

L'extrémité de la dernière droite ainsi menée, jointe à l'origine de la première, forme une longueur qui représente en grandeur et en direction la résultante de toutes les forces, c'est-à-dire une fofce unique capable de communiquer au point matériel exactement le même mouvement qu'il prendrait sous l'action de toutes les forces combinées.

Il est à remarquer que ce mouvement est essentiellement rectiligne , puisque les polygones qu'on construirait pour avoir la position du mobile à tout' instant sont semblables entre eux, comme ayant leurs côtés respectivement proportionnels aux forces constantes données.

Réciproquement, une force constante peut toujours être remplacée par autant de forces constantes qu'on voudra, dirigées d'une manière quelconque dans l'espace.

Remarque, — On peut construire une infinité de polygones qui aient tous le dernier côté commun. La force représentée par ce dernier côté sera toujours la résultante des forces représentées par les autres côtés. D'où il ressort qu'une infinité de systèmes de forces constantes sont susceptibles d'avoir la même résultante. Il sufiit pour cela que

Wi LIVRE II. — POINT MATÊBICL.

rliariiii (1(*h ]M)Jyi;oiies construits poor ces divers systèmes pai'h* (lu luniu'. point et aboutisse au mèine poiot. Aiosi, an point niat('*i'icl peut vivv sollicité par une iofioité de systèmes de forccH constantes, cpii soient tous équivaleots entre eox, c'eht-à-dire cpii produisent tous le mèaie mooTenient.

/litra remarque. — Si le point matériel, eo même temps qu'il est soumis à raclion de diverses forces constantes, se trouvait animé d'une certaine vitesse acquise, toutes les coq- MMpiences préeiMlentes subsisteraient encore. Il y aurait himpU'menl à remarquer que le mouvement défiuitifne serait plus r(M:lili^ne , puiscpi'il serait déterminé non-seulement par la tbrec; constante unique, qui est la i*ésultante de toutes les autres, mais aussi par une certaine vitesse non dirigée en gémirai suivant la même ligne droite. Ce mouvement détlnitif est (railhnirs nécessairement situé dans le plan de la vitesse initiale v\ de la force résultante.

N. H. Les forces (|ne Ton combine sont nommées compo- MaïUvn, et les résultats (^i-dessus sont présentés sous le litre de loin de la eompotdtwn et de la décovipositioii dejf forcent vu mitante».

u-latren eouftéqueucea,

(;.3. — Supposons actuellement que les forces données, au lieu d'être constantes en grandeur et en direction pendant toute la durée d(i leur action, varient au contraire perpétuellenx^nt avec le temps.

Nous avons vu que le mouvement du à Tune des forces variables peut être considéré comme la limite du mouvement constitué par une succession de mouvements uniformément accélérés , de durées indéfuiiment décroissantes (n° 58); ce qui revient à dire, en termes plus abi*égés, que la force variable peut être considérée, à un moment quel-

PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. iO:>

conque, comme conslante en grandeur et en direction pendant un temps infiniment petit.

On peut donc, à un moment quelconque, rechercher la résultanie des forces variables : celles-ci sont aloi*s conçues comme gardant, pendant un temps infiniment court, la grandeur et la direction qu'elles possèdent effectivement à l'instant considéré. Les raisonnements du numéro qui précède, appliqués à ce cas, montrent que toutes ces forces variables peuvent être remplacées par une force unique, qui demeurerait constante pendant un temps infiniment petit, et qui serait représentée en grandeur et en direction par le dernier côté qui ferme le polygone construit sur les longueurs représentatives des forces données.

A toute autre époque du mouvement la résultante s'obtiendrait de la même manière, mais n'aurait pas la même valeur, car les côtés du nouveau polygone, représentant les grandeurs et les directions des forces à ce nouvel instant, ne seraient plus les mêmes, puisque ces forces varient d'un moment à l'autre. Par suite, le dernier côté de ce polygone aurait une longueur et une situation différentes.

En résumé, quand on parle de la résultante de forces variables, il faut entendre que cette résultante est une force qui varie sans cesse, conjointement avec les composantes elles-mêmes, et quie sa valeur et sa direction sont données à tout moment par la construction polygonale effectuée pour les valeurs des composantes à ce même moment.

Il n'en découle pas moins :

1° Qu'autant de forces variables qu'on voudra, qui sollicitent simultanément un point matériel, peuvent, pendant toute la durée de leur action, être remplacées par une force unique, qui varie elle-même en correspondance des composantes ;

2° Qu'une force variable quelconque peut être remplacée, pendant toute la durée de son action, par autant de forces

iO() LIVRE 11. — POINT MATÉRILL.

variables qu'on voudra, dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, et nolaniinent par trois forces variables constamment dirigées suivant trois droites choisies arbitrairement ({ui se coupenl en un même point.

N. B. On ne pourrait pas remplacer une force variable par deux autres forces seulement, dirigées constamment suivant les mêmes droites; car une telle décomposition, (|ni correspond au parallélogramme, exige que la résultante soit dans le même plan que les deux composantes, tandis que la force considérée, étant variable de direction, ne peut rester dans un même plan avec les deux droites choisies pour la décomposition \ dilliculté qui n'existe plus quand on prend trois droites, puisque la diagonale du parallélipipède, qui correspond à la résultante, peut avoir toutes sortes de directions dans l'espace.

Il ressort encore de là :

3° Qu'il y a une infiniié de systèmes équivalents de forces variables qui peuvent solliciter un point matériel ;

4° Que tout mouvement d'un point peut être envisagé comme du à l'action d'une force unique. En effet, ce mouvement, quel qu'il soit, peut être remplacé par trois mouvements rectilignes variés, suivant trois droites qui se coupent. Chacun de ces mouvements rectilignes peut être produit par une force unique, variable de grandeur, dirigée suivant la droite du mouvement, et dont la valeur à chaque instant est déterminée par la relation

p = wicp = m T- ;

(îu appelant ?? la vitesse de ce mouvement rectiligne (n*» 58). Or, les trois forces variables qu'on a ainsi peuvent être remplacées par une force variable unique ;

5" Que, lorsqu'on cherche les forces qui sont capables d'engendrer le mouvement effectif d'un point matériel, iç

PROPOSITIONS PRfcLIMrNAIRES. 107

problème, conformément à ce qui a été annoncé an n" 61 , est nt^cessairement indéterminé, en ce sens (|n'il y a une infinittî de systèmes de forces pouvant produire ce mouvement ; mais tous ces systèmes ont une même résultante, et ce qu'on se propose de déterminer, c'est précisément cette résultante unique, d'où tous les autres systèmes équivalents se déduisent ensuite aisément par des constructions polygonales dont la susdite résultante forme le dernier coté.

N. B. Les lois delà composition et de la décomposition des forces constantes s'appliquent donc intégralement aux forces variables^ considérées à un moment quelconque de leur action.

On fait un usage fréquent des formules relatives à la décomposition d'une force unique, constante ou variable, en trois autres, dirigées suivant trois droites rectangulaires. Ces formules, entièrement semblables à celles (|ui concernent les vitesses, sont les suivantes :

V = J\^+\^+Z\ co8a=p, cosê=-, cos7=-;

dans lesquelles P est la force unique, X,Y,Z ses trois composantes, et «,6,7 les angles qu'elle forme avec elles.

Autres conséquences.

64. — Deux systèmes de forces équivalents, appliqués en sens contraire sur un même point matériel, se font équilibre. Je veux dire par là que, si deux groupes de forces sont séparément capables de communiquer le même mouvement à un point matériel, et qu'on vienne à appliquer ces deux groupes simultanément, en ayant soin de faire agir chaque force de l'un.d'eux en sens contraire de sa direction primitive, le point matériel ne sera pas influencé par la présence de ces deux groupes, qui s'entre-détruiront exactement.

108 LIVRE II. — POINT IIATÊUEt.

En oflct, les deux groupes primitifs, étant équivalents, ptHiveut t^tre remplacés par une même résultante unique, la(|uelle est le côté commun des deux polygones correspond dant aux deux groupes de forces. Si actuellement on prend eu sens coiUraiiv toutes les forces de Tun d*eux, et qu'on recommence la construction polygonale correspondant à eette nouvelle situation, on retombera sur lin polygone égal au pré(*édent, mais parfaitement symétrique, et dont le dernier vCiU\ sera égal et opposé au dernier côté déjà trouvé. Les deux groupes en question, appliqués en sens contraires, ont donc des résultantes égales et opposées, lesquelles s'entre-détruisent lUTossairement (n° 22).

Ainsi se trouve démontré le théorème que nous énoncions et qui renferme toute la étatique deftforcea concourrantei, c'est-à-dire toutes les pi*opositions relatives aux conditions d'équilibre que doivent remplir des forces appliquées à un même point matériel pour être sans influence sur le mouvement de ce point. Il est aisé d'en déduire les résultats suivants :

1° Lorsque des forces se font équilibre sur un point matériel, leur résultante totale est nulle, et Tune quelconque d'entre elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres. Car les forces données, moins une, peuvent être considérées comme constituant un système équivalent et de sens contraire à cette dern ière force. Or ce système est réductible à une force unique : celte résultante est donc égale et opposée à la force laissée de côté.

2° Quand les forces en équilibre sont au nombre de trois, chacune d'elles est égale et directement opposée à la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres. D'où il suit que, si deux des trois forces sont égales, la direction de la troisième est bissectrice de leur angle, et que, si les trois forces sont égales, l'angle de deux quelconques d'entre elles est égal au tiers de quatre angles droits ou à

120**. — Dans tous les cas, les trois forces en équilibre sont dans un même plan.

3** Lorsque quatre forces sont en équilibre, chacune d'elles est égale et directement opposée à la diagonale du parallélipipède construit sur les trois autres.

Tous ces énoncés s'appliquent évidemment aux forces variables aussi bïm qu'aux forces constantes. Il est seulement bien entendu que toutes les forces variables sont prises à un même instant de leur durée.

65. — M. Poinsot, dans son Traité de statique si justement célèbre, a entrepris de démontrer toutes les propositions de l'équilibre, et en particulier celles que nous venons de présenter, sans s'appuyer sur les lois fondamentales du mouvement. Dans notre exposition, la filiation est facile à saisir, puisque les vérités de l'équilibre sont déduites de la composition des forces, laquelle dérive du parallélogramme des forces, qui n'est lui-même qu'une application directe de la troisième loi fondamentale. Le grand géomètre que nous citons, privé volontairement de la base expérimentale, établit la proposition du parallélogramme des forces par des considérations purement abstraites, dont l'insuffisance est et doit être manifeste, comme on va s'en convaincre.

Pour montrer que deux forces qui sollicitent simultanément un point matériel ont toujours une résultante, M. Poinsot s'exprime ainsi* :

« On conçoit bien qu'une troisième force, appliquée con- « venablement au même point, pourrait faire équilibre aux « deux forces données; car, en vertu des efforts combinés (c de celles-ci, le point matériel tend à quitter le lieu où il « est. Or il ne peut s'échupper que d'un seul côté, et par « conséquent, si l'on applique une force convenable, en « sens contraire, ce point demeurera en équilibre. Les trois

* Éléments de Statique, page 17.

« forces étant ainsi en équilibre autour de ce point, la force (c qu'on à introduite est égale et directement opposée ù la c< résultante des deux autres. Donc deux forces qui concou- « rent ont une résultante. »

L'invalidité de cette argumentation est sensible ; car, de ce que \q point ouater iel ne pettt s'échapper que d'un seul côté, pourquoi conclure qu'une force unique, en sens contraire, le maintiendra au repos? Nous n'avons aucune idée, à priori, du mouvement qui peut être produit par l'action simultanée de deux forces, et nous sommes en droit de penser que ce mouvement, que deux forces produisent, deux forces aussi sont nécessaires pour l'empêcher. En sorte que la seule induction qui semble évidente, en dehors de l'expérience, c'est que deux autres forces, respectivement égales et opposées aux deux forces données, mettront le point matériel en équilibre. Affirmer qu'une force unique est capable de cet effet, c'est admettre implicitement que le mouvement quelconque, que la force unique doit empêcher, pourrait être réalisé lui-même par une force unique. En d'autres termes, c'est admettre que les deux forces données ont une résultante, vérité qu'il s'agit justement de démontrer,

n y a plus, c'est que l'argumentation ci-dessus, appliquée à d'autres cas, conduirait tout aussi légitimement à des résultats absolument faux. Prenons en efiTet un point matériel qui, en vertu d'une cause quelconque, parcourt une ligne droite. Qu'est-ce qui nous empêche, en considérant le point à une époque quelconque, de reproduire le même raisonnement et de dire : if Ce point, en vertu de son mouvement, <( tend à quitter le lieu où il est actuellement; ihais il ne i< s'échappe que d'un seul côté ; par conséquent, si l'on ap- (( |)iique une force convenable en sens contraire, il demeu- « rera en équilibre. » Or, précisément, il n'y a pas de force au monde qui puisse empêcher le point de s'échapper du roté où il s'échappe effectivement; car, pour cela, il faudrait

PROPOSlTlOiNS PRÉLIMINAIRES. 111

détruire sa vitesse actuelle, et aucune force ne peut détruire». cette vitesse avant que le point n'ait eu le temps de quitter, si peu d'ailleurs qu'on le voudra, la position où on l'a considéré. Pour faire usage de Targunient, il faut donc spécifier que ce n'est pas la tendance quelconque que peut avoir le point à quitter le lieu où il se trouve, mais que c'est seulement la tendance spéciale due à rinfluence des forces qui le sollicitent. De telles distinctions reviennent à faire appel à toutes les notions expérimentales que nous avons déjà exposées.

Proposition sixième.

66. — Si l'on projette sur une droite le mouvement quelconque d'un point matériel, ainsi que la force qui le solli^ cite, il existe entre l'accélération et la force de ce mouvement ainsi projeté, la même relation qu'entre l'accélération et la force d'un mouvement absolu en ligne droite ; c'est-àdire que la projection de la force est égale à la masse multipliée par l'accélération de la projection de la vitesse.

Rappelons d'abord quelques définitions de la géométrie.

On nomme projection d'un point sur une droite le pied de la ligne menée de ce point à cette droite, parallèlement à un plan donné dit plan directeur. La projection d'une droite sur une autre est la longueur comprise sur cette dernière entre les projections de ses deux extrémités.

Les projections sont dites orthogonales lorsque le plan directeur est pei*pendiculaire à la droiKî : dans tous les autres cas, c'est-à-dire quand le plan fait un angle quelconque avec la droite, les projections sont obliques.

Rappelons enfin que la projection d'une longueur sur une droite est la même si on l'effectue sur toulo autre droite parallèle.

Cela posé, soit AS la courbe quelconque décrite par le point matériel, et M sa position à un certain moment. Soit

au même moment M T et MP deux longueurs représentant en grandeur et en direction, Tune la vitesse V du mobile, Tàulre la force P qui agit sur lui :

— la vitesse est dirigée, comme on sait, suivant la tangente à la courbe; — soit enfin L H la droite quelconque sur laquelle le mobile est projeté à chaque instant, parallèle- Fjg. 6. ment à un plan donné.

A rinstant considéré, la projection de la vitesse Y du point atériel a une certaine valeur U, et par suite raccélération à ce même instant du mouvement projeté est représentée par

-^ ; pareillement la projection fx A de la forceT a une certaine valeur Q ; je dis que, m étant la masse du mobile, on aura la relation

En effet, par Torigine du mouvement, menons une droite OX parallèle à LH, et un plan DD parallèle au plan directeur.

Dans ce plan, traçons deux droites quelconques OY et OZ.

On peut considérer le mouvement du point matériel comme dû à trois mouvements rectilignes, s'exerçant respectivement suivant OX, OY et OZ (n° 60); au point M, la vitesse V du mobile est la résultante de trois vitesses diri-

PROPOSITIONS PRÉLIMINAIIIES. 113

gëes suivant ces mêmes droites, et la relation qui existe entre , la vitesse V et les vitesses composantes, c'est que la première est la diagonale du parallélipipède construit sur les trois autres (n** 61). Or, prendre le côté du parallélipipède dirigé suivant OX revient précisément à projeter sur lui la diagonale, parallèlement à la face qui contient les deux autres côtés, c'est-à-dire parallèlement au plan DD. D'où ressort, soit dit en passant, que les composantes d'une vitesse ne sont auti*e chose que ses projections, estimées de la même manière. En second lieu, la force P a également pour composantes trois autres forces dirigées suivant les mêmes droites OX, OY, OZ ; la composition s'effectue aussi par une construction parallélipipédique, qui montre que les composantes d'une force ne sont autre chose que ses projections. Ces deux points établis, nous savons que chacun des trois mouvements rectilignes s'exerce comme s'il était absolument seul et indépendant des deux autres. Or, pour le mouvement rectiligne suivant X, comme en général pour un mouvement rectiligne quelconque, la force est égale à la masse multipliée par l'accélération (n"" 56). Mais cette accélération

est égale à --r- , puisque les projections d'une longueur sont

les mêmes sur la droite L H ou sur la droite parallèle X. Semblablement, la force de ce mouvement rectiligne est égale à Q. Donc ou a la relation

Remarques,

1*" Ce théorème n'est que la généralisation de celui qui avait été démontré spécialement pour le mouvement rectiligne. Il est d'ailleurs «vident qull le contient comme cas

llZl LIVRE li. — POINT M/LTÊRIEL,

parlicuHcr ; car, si le mouvement est rectiligne , et qu'on prenne les projections sur la droite de ce mouvement luimême, U n'est autre chose que V, et Q n'est autre chose

que P. Par suite, la relation Q=?n-^ n'est autre chose que

la relation connue P=m-^ .

2° Quelle que soit la position des deux droites Y et OZ, pourvu qu'on les ait menées dans le planDD, les valeurs de la composante de la vitesse et de la composante de la force suivant OX ne sont nullement changées. Car, dans le parallélipipède dont la diagonale est constante , la longueur d'un côté quelconque ne change pas, pourvu que la ftice des deux autres côtés garde la même inclinaison. La valeur des composantes suivant Y et OZ varie, il est vrai, avec la direction de ces lignes ; mais la résultante partielle de ces deux composantes reste la même.

3° Nous n'avons parlé que à'une seule /brW appliquée au mobile ; mais la proposition n'en a pas moins une entière généralité ; car, s'il y a des forces en nombre quelconque, on peut toujours les remplacer par leur résultante unique.

Attire remarque, — Si la vitesse variable V est à un instant donné la résultante de plusieurs vitesses t?, t?',t?".... faisant avec la droite OX des angles respectifs a, a', «% on aura à cet instant U=2?cosa-l-t?'cosa'-f-t^"cosa''-l-..., parce qu'on sait, d'après la géométrie, que la projection du dernier côté d'un polygone est égale à la somme algébrique des projections de tous les autres côtés. Donc on aura aussi

crtJ d [y cos a) d {v' cos a!) d [v" ces a")

Tt~^ dt "■* Jt ' Jt ^

Mais chacune de ces quantités représente l'accélération de chacune des vitesses projetées; donc l'accéléi^tion delà vitesse totale projetée est égale à la somme algébrique <

PB0P0S1T10^S PKÉLJMl.N AIRES. 115

accéléraiions des vitesses composâmes égalenienl projeUTs. Donc aussi la force projelee O, qui est Tj^ale à ///-— , (»si

égale à la masse multipliée par chacune» des accéh»ralions des vitesses composantes projetées.

CoHxrqtfCNccx.

67. — 1" Supposons qu'on prenne les projeelions sur la direction de la tangente MT à la courbe, parallèlement à

't^ un plan perpendiculaire à cette droite. La projection U de la vitesse» n est autre que cette» vitesse V elle-même.

Quant à la projection Q de la force, on peut la considérer connue une des composantes de cette force (|uon aurait décomposée;^ en deux autres : l'une! suivant cette tanjçenle, Tautrc suivant Tintersection du plan TM V avec un plan parallèle au plan directeur, mené par le» jjoint M. La compejsante suivant M Test nommeie compensante timgvniiclle , et l'autre composante normale, £n désignant, suivant les usages adoptés, la composante tangentielle* jiar J , la rela-

tion générale Q = ?/i-^dcvu»nt ;

Fig. 7.

lit '

relation qui est précisément celle qui aurait lie»u pour un mouvement rectiligne, dont la vitesse serait la vitesse» eflPe'ctivc du mobile sur sa tiajectoire curviligne, et la forée une composante, prise à chaque instant suivant la tangente, de la force effective appliquée à ce mobile.

116 LIVBE IL -- POliNT MATÉRIEL.

Il en rësulle :

Que la vilesse du mobile sur la courbe est due uniquement à la composante tangentielle, et par suite que la longueur de Tare parcouru au bout d'un temps quelconque est égale à la longueur de droite qui serait décrite dans un mouvement rectiligne, sous Tinfluence d'une force représentée à chaque instant par la valeur numérique de cette composante tangentielle.

2" Prenons actuellement les projections sur la direction de cette deuxième composante que nous avons appelée normale.

Remarquons d'abord que cette composante est située dans le plan osculateur de la courbe au point M, c'est-à-dire dans le plan qui contient à la fois la tangente MT et l'élément de courbe infniiment petit qui fait suite au point M. C'est ce qui ressort de ce que la susdite normale est contenue, par hypothèse, dans le plan mené par la droite MT et par la direction de la force P; car un tel plan contient nécessairement l'élément de courbe suivant. Cet élément est en effet la ligne du mouvement résultant qui a pour mouvements composants pendant l'instant dt : 1° le mouvement •dû à la vitesse V ; 2° le mouvement dû à l'action de la force P ; or la composition a lieu par un parallélogramme infiniment petit, dans lequel la diagonale, qui est la ligne du mouvement résultant, est située dans le plan des deux auti*es côtés.

Cela posé, voyons quelles sont les valeurs des projections de la vitesse et de la force sur cette droite normale.

La projection de la force n'est autre, avons-nous dit, que sa deuxième composante, que nous représenterons par N.

Quant à l'accélération de la vitesse projetée, elle prend la

forme -\^ ? puisque la projection de la vitesse est nulle sur une droite perpendiculaire à sa direction. Mais, de ce que

celle projection est mille, il ne s'ensuit pas que son accélération ou la limite du rapport de son accroissement au temps soit également nulle. Pour trouver ce rapport limite, employons une méthode fort usitée, qui consiste ù prendre la projection sur une droite MN' nn peu diiïérente de MN, et à voir ce que devient la quantité quand cette droite se confond avec MN. Soit rî Tangle que fait la vitesse avec M X'. La projection est alors V cos y;, et raccél<'»ralion, par rapport à la droite MN', est

... rf(Vcosy,) rfV , ,rfcosy;

Or, si Ton mène trois axes rectangulaires quelconques, auxquels on suppose que la courbe soit géométriquement rapportée, et si Ton représente par >/, //' et v' les trois angles de MN' avec ces axes, on sait, diaprés les théorèmes de la géométrie, qu'on a

dx -, , dy , dz

cos yj = T- ces A + :^ cos a H- -7- cos V , ds ds ^ ds

et, par suite :

,dx .du ,dz

j ^zr ^-T- ^-T

a cos y; ^, as ^ , ds , , ds

— ^ — = cos a' —j- + cos a -j- 4- cas v --j- . dt dt ^ dt dt

Or, dans le second membre de cette égalité, on peut, d'après le principe bien connu du changement de variable io-

dépendante, remplacer -^ par —-r- X-r \ et de même

pour les deux autres termes.

Conséquemment

,-. a cos 7; 05 I ,, ds ^ , ds ^

dt dt\ ' ds

On a VU en géomélrio (jne, pour uupoinl quelconque d'une courbe, on a entre ies coordonnées de ce point, la longueur du rayon de courbure p, et les angles 1, fx, v de ce rayon avec les axes, les relations ;

jdx dy .dz

^ ds ds ds

cos X = p -^, cos fx = p -^,. ces v=p -j^ ;

d'on

,dx .dy ,dz

ds i ^ ds i ds i

— 7—= — cos A; — r-= — cos a; —7-= — cos v.

ds ds ^ ^ ds ^

Si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (2) ci-dessus, il vient :

rfcosy; ids , ^ .. , ^ ,.

—j — =" ;7" ( cos A cos /. + cos y. cos fx + cos v cos v )

Par suite, la relation (1) se change en la suivante, en re-

ds marquant d'ailleurs que par définition -^ = V:

rf(Vcos-/î) rfV . V% . V .

^ , — — = cos-/i -7"i — (cos A cos A + cos [j. cos jul -f- cos î; cos 1/ ).

Actuellement, si Ton suppose que la droite MN' se confond avec M N, les angles )/, fx, v\ ne sont autres que ceux que fait cette dernière droite avec les mêmes axes coordonnés; mais cette droite, qui est située à la fois dans le plan osculateur et dans le plan normal à la courbe mené par le point i\I, est pécisément le rayon de courbure, et fait par conséquent avec les axes des angles X, p., v. Donc, à la limite, quand la projection est prise par rapport à la direction de la composante normale MN, on a :

cos Ti = 0, X' = X, fji' = f/, . y' = V ,

PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. fl9

et conséquemmeni;

rff ~ p •

puisque la quantité cos* X + cos'a+cos* v=i.\

Ainsi la valeur de la composante normale N est liée à la vitesse par la relation :

Ce qui nous montre :

1" Que, pour une vitesse déterminée', la valeur du rayon de courbure , c'est-à-dire la courbure de la trajectoire quelconque effectivement décrite par le mobile dépend uniquement de la valeur de la composante normale, dont l'action consiste à produire l'inflexion successive des éléments de la courbe ;

2' Que, lorsque cette composante est nulle, le rayon de courbure est infini, et par suite le mouvement s'effectue en ligne droite ; ce qui doit être, puisque l'hypothèse d'une (Composante normale nulle revient à dire que la force est dirigée dans le sens même du mouvement;

3** Que, lorsque cette composante est constante, la quan-

tité — est constante aussi : si donc la vitesse ne varie pas,

p est constant, et la courbe décrite est nécessairement un cercle.

68. — Ce qui précède jette un grand jour sur le rôle de la force qui sollicite un point matériel , dans un mouvement quelconque. On voit en effet que cette force, quelle que soit d'ailleurs sa direction par rapport à la courbe décrite, peut, à chaque instant, ^-tre remplacée par deu\ autres, situées dans le même plan et dirigées, l'une suivant la tangente à la courbe, à l'instant considéré, et l'autre vers le centre de la

courbe ou suivant son rayon de courbure. Ces deux composantes , langentielle et normale , constituent un système de forces qui équivalent à la force donnée, c*est'ù-dire qui déterminent le même mouvement par leur action combinée. Mais chacune d'elles a son genre d'influence bien distinct. La première, qu'on pourrait justement nommer composante motrice, produit seule la progression du mobile sur la courbe, conçue comme assignée à l'avance. La seconde, qui pourrait être nommée compogante d'inflexion ou de déviation, sert uniquement a détourner le mobile de la ligne droite qu'il décrirait naturellement en vertu de la loi d'inertie, et à le ramener sur les éléments de courbe d'où il tend sans cesse à s'éloigner. Selon son intensité plus ou moins grande, elle détermine des indexions plus ou moins roides, mais demeure absolument étrangère à la vitesse du mobile et à la longueur qu'il parcourt. En un mot, cette composante a pour effet de pousser constamment le mobile vers le centre de la courbe qu'il décrit efiectivement. Pour ce motif, on lui a donné le nom de force centripète, qui a prévalu sur celui de force d'inflexion, qui, au fond, signifie la même chose. On emploie une autre locution qui consiste à dire que le mobile est animé d'une force centrifuge égale et contraire à la force centripète. Réellement, il n'y a pas de fbrce qui, en cette occasion, soit appliquée au mobile pour l'éloigner du centre : on exprime seulement par là que, pour faire décrire au mobile la courbe qu'on a en vue, il faut lui appliquer une certaine force centripète. Les choses se passent comme si, dans un mouvement en ligne droite, on avait à combattre effectivement une force qui s'opposerait à ce mouvement. Mais ici nous ne combattons aucune résistance du point matériel : si nous sommes obligé de faire intervenir cette force, ce n'est pas parce qu'une force étrangère nous résiste, mais parce que nous voulons nous-même produire un nouvel effet, qui est de changer le coui*s du mouvement.

PROPOSITIONS PRÉIJMIN AIRES. 121

Aussi, dans cette loeution de force centrifuge, on no devra voir qu'une abréviation destinée à faire comprendre que, pour faire décrire au mobile la courbe considérée, il faut lui appliquer à chaque instant une force centripète égale et opposée.

rfV Remarque. — La relation T=?n--T- nous montre qu'au

bout d'un temps quelconque la quantité de mouvement du mobile est égale à l'impulsion de la composante tangentielle. Elle est moindre par conséquent que la quantité de mouvement qu'aurait produite la force totale si elle avait agi en ligne droite pendant le même temps. Ainsi, lorsqu'on veut communiquera un mobile la plus grande vitesse possible, il faut le mouvoir en ligne droite; ce qui est d'ailleurs évident à prioriy puisque la construction du petit parallélogramme, qui à chaque instant correspond aux accroissements de la vitesse, donne la résultante la plus grande possible quand ce parallélogramme se réduit à une ligne droite, car alors la diagonale est égale à la somme des deux côtés.

£n général, on peut dire que toute la portion de la force qui n'agit pas dans la direction même du mouvement est absolument perdue pour la vitesse.

69, — Antre remarque, — Nous avons déjà eu occasion d'énoncer que, lorsqu'on cherchait les forces capables d'un mouvement donné, on pouvait se proposer de trouver une foule de systèmes équivalents^ mais qu'en général on se bornait spécialement à la recherche de la résuliante unique, quand il s'agissait d'un point matériel.

Nous avons dit également qu'où dérogeait à cette règle lorsqu'on connaissait à l'avance l'existence d'une ou plusieurs forces qui contribuaient au mouvement. D'après ce que nous venons de voir sur la décomposition en composante langentielle et composante centripète, on pourra être conduit à rechercher directement, non pas la résullanU; unique qui est capable du mouvement, mais Tune de ces deux oonpo-

122 LIVEE n. — POINT MATÉRIEL.

santés, si Texistence de l'autre est connue à lavance. Cest ce qui aurait lieu, par exemple, pour un point matériel lié h une courbe donnée sur laquelle il devrait demeurer, tout en pouvant d'ailleurs glisser librement sur elle. Dans ce cas, on conçoit bien que la courbe, par la résistance qu'elle offre à ce que le point s'en échappe, agit comme une composante centripète, et que conséquemment uue force tangentielle doit suffire a déterminer le mouvement. Ce qu'on se proposera alors de trouver, ce sera cette force tangentielle ellemême, et non la force unique totale représentant l'action combinée de cette composante- et de la résistance de la courbe, résultante dont la considération serait d'un bied moindre intérêt.

De la représentalian algébrique des qsasiltés eansidérées en méeanlque.

70. — Avant d'entreprendre la solution des problèmes relatifs au mouvement, nous croyons devoir donner quelques développements sur la manière dont sont représentées dans le calcul les diverses quantités considérées.

i** Position d'un point.

Cette position, ainsi qu'on l'a vu en géométrie, se représente au moyen de coordonnées, dont le nombre, qui est constamment de trois, correspond aux trois dimensions que notre esprit attache invinciblement à la conception de l'espace. Quel que soit le mode de coordonnées adopté, quelles que soient les conditions particulières qui déterminent la position du point, il est facile de voir que cela revient toujours on d('»finitivc à assigner la longueur interceptée snr chacnne des trois dimensions de l'espace. Entre ce mode im-

éMBUOiiiL JU 'JXMimiillllÉrt::^ ilU u «i^LTHià f:-fcTLr alL^UUî

ans •itgmoftuiii' amt liniki. uj^iuruiiL: hiiï- ^iiiin*' / ;'ï^ ;;9 .«Il «t ivesiiL itiHiQW uiiiir-AiiaL^iii'U 1*1 ,jntsUitruu^ j^ar

Ch«i^ •&£ gturultiiloiçtKie. nur.au. (IHî ;^ jui-rstli.uuujir'ii: ^^ HËitsiribp^ iiL lOiiiçiiiï. Z:m^ i' ^'.«l'ikiiL iti^rv. a -^.'«uiiiiu rs;

Il AifllHHK àïOÈL iSm^ïUDL. 1 llijiJl:> II; ^CtiOi^jCi^U .'Mlr^

tiairc-. <9K- fc «B"»»!!» ûi !-:i.iv:».iiiit^'^s i^s. i;t >^>v*ï»ïï».' àf

conHi WLM i ans iv^jk» ée li ^nr-^Kin^. <V$j-r>^unr:Âi^'^ tées d« ii^tptmf «• dÉi »wf mwfM^^. >«i\:a»l «;«\<^ks $^Mll comptêefr. i fiArtîr de Fv-ri^ûpe. diLiï> uu >^m'!> i a (Utt> T^Hliv de 1 ue.

Troorer la pûâîtioB d'un pùiiit à tihà^ik' în>UU)( «io sou mouvemeot, ces* trouver fnHir ihâoiiiH^ do m\> iwi\lomuvs une équatioB telle qiK'

qui fasse couuaitre la vak-ur do ivito oiHmtoiHUv |Kuir uiio valeur quelconque du tesips. IK^s ioi^s on tinra à loiil iiioiiioiil

les trois coordonnées du point, c'est-à-dire la position qu'il occupe dans l'espace.

2*» Nature de la trajectoire.

Une courbe quelconque est, comme on sait, exprimée par deux équations, fonction des trois coordonnées, qui sont de la forme

f{x,y,z)=zOy cp {x, y, z) = o,

ou bien

Ces deux équations se réduisent d*ailleurs à une seule lorsque la trajectoire est une courbe plane.

On les obtient aisément au moyen de celles qui font connaître la valeur des coordonnées en fonctions du temps. Il suffît d'éliminer t entre les équations

x = f{t), y = cp(0, z = x{t).

On a alors des relations qui conviennent aux coordonnées du mobile, d'une manière tout à fait indépendante du temps. En d'autres termes, ce sont les équations de la trajectoire, abstraction faite des circonstances d'après lesquelles elle a été décrite.

3*» Vitesse.

La grandeur absolue de la vitesse s'exprime au moyen d'une équation qui fait counaître sa valeur pour une époque quelconque du temps. La connaissance de cette vitesse découle immédiatement de la connaissance des coordonnées: cardans tout mouvement, quelles qu'en soient d'ailleurs les

PROPOSITIONS PKÉI.IMINAIRES. 125

causes , la vitesse' V est égale à wTj ^" désignant par * la longueur de trajectoire parcourue; et, commejr,y, ?, sont des fonctions du temps, s et par suite n^ sont aussi des fonctions du temps.

La direction de la vitesse, qui est précisément la direction de la tangente à la courbe au point considéré, se représente par les angles qu'elle fait avec chacun des axes. La valeur de ces angles se déduit elle-même des coordonnées du mobile, car on sait que, sia^ b, c désignent respectivement les angles formés par la tangente avec les axes des j?, des y et des z, les cosinus sont déterminés par les formules

dx . dy dz

cos fl = -7- , cos o=-r, cos c='T- ; ds ds ds

dans lesquelles af, y, ^ et « sont, comme on a vu, des fonctions du temps.

Au reste, les angles ci-dessus ne constituent en réalité que deux inconnues distinctes, puisque leurs cosinus sont liés entre eux par la relation géométrique fondamentale :

cos^ a -\- cos^ b -+• cos^ c = 1.

La grandeur de la vitesse et sa direction constituent donc en totalité trois inconnues distinctes.

Souvent on les remplace par les produits

V cos a , V cos 6 , V cos c ,

qui ne sont autre chose que les projections ou les composantes de la vitesse absolue suivant les axes, et qui représentent les mêmes inconnues. Cette substitution ne change pas les conditions, puisque les produits ci-dessus permettent de déduire chacune des quantités V, a, b et c:

ÎH^ îiA3& iL — ^,^\Z MftïïTMn.

I>e^ fe:%et> trw«i:€befl?i?iie$- d^ aaelf?^ . et for suite les UK^ l^>iiKt^. <Ai è!^ iKx>^ r*-:ii£25i«> <M ^rsMîh 5cloo la %iA^r >:i^ ai&t£^ *qa wif^WÊt^ , <iÉfltfàffiBe^MH an rp«:k'S de bi fri^">ib-:4Ei^if«^ « «bai :k ïk iiîvsM' es «ik^-iiiriiie . die est lfrj0^yrrr^. dr i^ cl^î mt. rsse«i»^wByf«t fK4>îti« ^. Si I od arrive a rrf:tt»iiag:rf <KC*ii*: Xji^pitÏT-^ rt 1 fafteictirr i-« ctmscfqiieDce ds iî^W: m^M>*. teA qtk'tUft a ak-c^ B»e ôirMîoD diamétrakflKfit -.(rf'jts-ic rt qa'ciÂe «SI <ic«s«T- ■«!ti|i4i4'e par le eosi- ■11^ iiua aaj'trr «ie iK".ciù<ïttas qmi a |<«r lakor — i. Sauf ee c^> {«ai tkiilkr. va k- oqcsùks e^ sva^-^steodu, la vitesse nsbhc to«joiif^|ipaûiive.Hk-vrritabksû:iiHr,daiislesfoiTnul^^ e^ afîK'£»<»r i^ar orlui dtr ia ii^Br tiis*«^ii«:4i!^-!iî«)ue qui lafiecte.

La ^niodeur ab^olu*f d'ooe R.rcie qoek'jiîqiie est, cumnie celle de la \ îtes$e, exprimée par aoe equaiioD telle que

qui. pour tocte valeur du tomps.fait connaître la valeur correspondante de la force. Si c« Henri ne varie pas de grandeur pendant la durée de sou action, /"^^ se réduit à une quantité constante.

La direction de la force se représente d'une manière semblable â celle de la vitesse, au moyen des trois angles^, c, 7 que celte direction fait avec les axes coordonnés.

Semblablement aussi on remplace la force et les angles de ha direction par les produits analogues

P ces a , P cos c , P cos 7.

Il est d'ailleurs également visible que les quatre quantités 1% a, c et 7 ne représentent eu réalité que trois inconnues distinctes.

Mous auriousles mêmes remarques à faire sur le signe de la force, qui est toujours en elle-même essentiellement positive, et qui est affectée par le signe du cosinus qui la multiplie, ou par la quantité sous-entendue — 1 dans le cas d'une direction diamétralement opposée.

71. — Nous ferons une observation sur la manière dont nous traiterons les problèmes généraux du mouvement.

Quelle que soit la question à étudier, on n'en restreint pas la généralité en supposant, dans le calcul, que le point n'est sollicité x\ue par une seule force. Car nous avons déjà vu que toutes les forces qui peuvent agir simultanément sur un point matériel sont susceptibles d'être remplacées par une force unique , qu'on appelle la résultante, et qui produit exactement le même mouvement que toutes les forces données elles-mêmes. Celte résultante est d'ailleurs connue si les autres le sont, et elle s'y rattache au moyen de la construction polygonale qui fait l'objet de la 5^ proposition. Nous pourrons donc toujours supposer que le mouvement considéré est du à cette force unique.

Inversement, nous pourrons dans nos calculs remplacer la force unique par telles autres forces qu'il nous plaira, à condition que le système de ces dernières ait la force unique pour résultante.

En un mot, les équations trouvées entre un système de forces et le mouvement correspondant conviendront également , et sans y rien changer, à tout autre système , choisi seulenient de façon à avoir la même résultante que le premier.

Cela posé, nous étudierons le mouvement d'un point matériel d'après la nature de la force qui le sollicite.

En premier lieu, nous considérerons une force, constante ou variable en grandeur, mais constante en direction, parce que le mouvement qui en résulte est rectiligne.

Eu second lieu, nous considérerons une force de direction

variuble, ce qui correspond au mouvement le plus général possible, c'est-à-dire au mouvement curviligne.

Dans chaque cas, nous examinerons comment le mouvement se trouve modifié lorsque le point matériel, au lieu de partir du repos, est déjà en possession d'une certaine vitesse initiale au moment oit la force commence à agir sur lui.

— c^OOOO