Supposons que la force donnée soit constante

Dans ce cas la quantité — sort dessous le signe / dans les

équations (Jx) et (5); et, en effectuant les intégrations très-

simples I dtj f I dt^y ou obtient

(6) V=-f, (7) s^^^tK

Le premier résultat, qu'on peut écrire sous la forme de

mV P=-T- , n'est autre que celui qu'on avait démontré directe-^

ment dans la 3^ proposition.

Le second nous montre :

Que l'espace parcouru sous Faction d'une force constante croit proportionnellement au carré du temps ;

Que deux forces constantes sont entre elles comme les espaces qu'elles feraient parcourir à un même point matériel au bout du même temps;

Que les masses de deux points matériels sont inversement proportionnelles aux espaces que leur ferait parcourir une même force constante au bout du même temps;

Que l'espace parcouru pendant un temps quelconque sous l'action de la force est égal à la moitié de celui que parcourrait le mobile si, en vertu de sa seule vitesse acquise, il continuai]; à se mouvoir pendant une nouvelle période égale à la précédente. — En effet ce second espace parcouru est

représenté par — / x l=— t^=2g, — D'où résulte que l'ac-

célération est égale au double de l'espace parcouru pendant la pi-emière unité de temps ou au double de l'espace par-

couru au bout d'un temps quelconque, divisé par le carré du temps.

Ce dernier résultat peut être étendu aux forces variées, pour les espaces parcourus pendant des temps infiniment petits. En effet on peut , pendant ce temps- là, envisager la force comme constante, en sorte que, si «y est la longueur infiniment petite parcourue au bout du temps élémen-

p taire t, et a» ou — l'accélération, on a

Remarque. — La proportionnalité des espaces parcourus aux carrés des temps employés à les parcourir a permis de constater que la pesanteur est une force constante, ou, ce qui est d'un langage plus rigoureux, que la chute verticale libre des corps dans le vide s'effectue comme si une force constante les sollicitait.

La pesanteur étant donc équivalente à une force constant^, les formules (6) et (7) donnent la valeur, au bout d'un temps quelconque, de la vitesse acquise et de la hauteur de la chute.

P Dans ces formules, — est remplacé par </, puisque la force

p P est alors le poids et que la masse m = — . Elles deviennent ainsi :

74. — Nous allons reprendre actuellement l'examen du mouvement rectiligne en général et déduire les conséquences que fournissent les équations qui s'y rapportent.

Les deux relations fondamentales que nous avons établies sont, comme on sait, les suivantes :

La relation (1), qui a déjà été envisagée directement au n° 57, a montré que la quantité de mouvement acquise au bout d*un temps quelconque est égale à Vimpuhion de la force pendant ce même temps, eu appelant respectivement quantité de mouvem^ent et impulsioti de la force le produit 7nV et rinlégrale / Vdt prise depuis le départ jusqu'au

bout du temps considéré t.

Ce résultat est susceptible d'être généralisé en ce qu'il convient à une période quelconque du mouvement, non comptée à partir de l'origine. En effet, considérons deux durées t^ et t^ , dont la seconde est supposée plus grande que la première : soient Vq et V4 les vitesses acquises correspondantes. D'après ce qui précède, on aura :

d'une part, mVo= / **?«?/ ,

et d'une autre , mN^ = / Vdt .

Retranchons la première équation de la T ; il vient :

V, — w Vo = r'pdt-^ r'?dt=r' p ut .

Ce qui signifie :

Que la quantité de mouvement gagnée entre deux époques quelconques est égale à l'impulsion de la force pendant la période intermédiaire.

N. B. Si la vitesse V^ était moindre que V^, c'est-à-dire si le mobile s'était ralenti d'une époque à l'autre, il y aurait eu perte de la quantité de fnouvement, et l'impulsion delà force serait négative. On énonce cette proposition en termes généraux en disant que la variation de la quantité de mouvement pendant une période quelconque est égale à l'impulsion de la force pendant celte même période.

La quantité de mouvement repi*ésente véritablement l'îm--

pulsion de la force, emmaganifiee en quelque sorte dans le corps. Car, si Ton vient à appliquer au mobile une force égule et contraire à celle qui Ta sollicite tout d*abord, et pendant ud même temps, le mobile perd une quantité de mouvement égale à celle qu'il avait gagnée. En effet, pour une première période comprise entre t^ et ^4 , on a

V^ — m Vo = T'P dt = r F rft ;

en appelant t^ la différence ^4— /o> ^^ prenant pour variable indépendante la différence t — t^.

De même, pour une deuxième période égale, de t^ à /, , où la force agit en sens contraire, on a :

Vj — m V4 = — Ç\ dt = '-' fv rfr ;

d'où en ajoutant :

tn Vj — m Vo = et m\^=:m\Q.

Ainsi, à un moment quelconque, la quantité de mouvement du point matériel peut régénérer l'impulsion qui l'avait produite.

Équation de ta force vive,

75. — On obtient une relation très-remarquable et d*un Usage général, comme nous le verrons par la suite, en éliminant le temps t entre les formules (1) et (2).

Cette élimination s'effectue simplement en divisant ces deux formules l'une par l'autre, ce qui donne :

MOUVEMENT RBCTILIGNE d'UN POINT LIBRE. 135

Or, d'après les principes connus du calcul différentiel, le rapport des dérivées "^^ ^) <^^ V et * sont des fonctions explicites du temps, est égal au rapport -^ , où V et *

sont des fonctions implicites du temps : en sorte que l'équation ci-dessus devient :

P dS

qu'on met ordinairement sous la forme :

Prf5=mV.rfV;

d'où, en intégrant par rapport à « et V considérées comme variables indépendantes,

(1) r?ds='^my^\

relation qui ne renferme pas le temps explicitement.

Il en résulte que, si la valeur de la force P peut être exprimée directement en fonction de la longueur parcourue *, au lieu de l'être en fonction du temps, le premier membre

/ Vd8 deviendra une certaine fonction de *^ et on pourra

conséquemment déduire la vitesse de la longueur parcourue, ou réciproquement ; sans qu'il soit besoin de connaître la loi suivant laquelle la vitesse ou la longueur parcourue varie avec le temps: connaissance indispensable dans le cas ordinaire, où l'une des quantités Y et « ne peut être obtenue en fonction de l'autre, au moyen de la relation V=^,

que si la quantité connue est assignée par sa fonction du temps. Ainsi la relation (1) ci-dessus sera d'un immense se-

cours toutes les fois que la force sera exprimable eu fonction de la position du mobile.

11 ne faut point s'étonner que Tesprit humain ait été conduit à chercher dans les phénomènes mécaniques une relation qui fut indépendante du temps ; bien qu'au premier abord cet élément, plus que tout autre, semble s'y rattacher inévitablement. L'étude même du monde extérieur a dû enseigner cette singulière abstraction. Nous y voyons en effet que la plupart des forces naturelles sont indépendantes du temps, ou, pour mieux dire, que presque tous les mouvements de l'univers se produisent comme s'ils étaient dus à des forces qui, au lieu de varier avec le temps, dépendraient uniquement de la position géométrique des corps considérés. C'est ainsi que la force de la gravitation ne dépend que des distances mutuelles des astres, que les actions moléculaires ne varient qu'avec l'écartement des molécules, que la force d'expansion des gaz ne varie qu'avec le volume où ils sont renfermés, ce qui revient à dire que cette force est fonction de la distance. 11 n'y a que très-peu de phénomènes qui fassent exception à cette loi : on peut citer en premier lieu les actions développées par les êtres animés, actions dont l'affaiblissement graduel est connu sous le nom de fatigue : on peut citer également les actions dues à la chaleur, qui varient presque toujours d'intensité d'un moment à l'autre, parce que l'agent inconnu qui les détermine est progressivement modifié par le milieu environnant. Néanmoins, nous le répétons, la plupart des causes mécaniques sont, de leur nature, indépendantes du temps, et, par cela même, ont dû de bonne heure faire sentir l'utilité de relations où le temps ne figurerait pas. C'est pourquoi l'esprit s'est arrêté à la combinaison précédente, qui, sans les circonstances naturelles dont nous parlons, n'eût été qu'une vaine opération logique, sans efficacité pour l'étude des phénomènes réels de l'univers.

La relation

étant d'un grand usage en mécanique, on a désigné, pour abréger, par un nom particulier chacune des deux quantités qui y figurent.

L'intégrale / Pci*, qui est supposée prise par rapport à s,

s'appelle le travail de la force.

Le produit [niV^ s'appelle la forcevive du point matériel. Voyons quelle est Torigine et le sens véritable de ces deux

dénominations.

1° Travail. *

76. — Ce mot n'a évidemment pas le sens qu'on lui attribue dans le langage ordinaire, lorsqu'on dit, par exemple, d'un homme qu'il aime le travail, qu'il fait de grands travaux, etc., pour dire qu il aime à s'occuper utilement, que son activité produit de grands résultats ou qu'il a de grandes conceptions, etc. Ce sont là autant d'acceptions philosophiques du mot travail, qui n'offrent aucune analogie immédiate avec l'intégrale qu'il doit représenter ici. Mais il est un ordre d'opérations sociales pour lesquelles l'analogie va apparaître. Je veux parler des travaux industriels, de ceux surtout qu'on appelle souvent travaux mécaniques. Pour peu qu'on réfléchisse sur l'ensemble des opérations matérielles auxquelles se livi'e l'industrie, on reconnaîtra qu'elles consistent presque invariablement à faire parcourir un certain espace à une certaine force. En veut-on des exemples? Prenons, je suppose, de la houille à extraire du fond d'un puits : qu'est-ce autre chose que faire parcourir à une certaine force , qui est le poids de cette houille, un certain espace, qui est la hauteur du puits '^ Vous remorquez un convoi de chemin de fer :

n'est-ce pas encore une certaine force, qui est hi résistance du train, à laquelle vous faites parcourir une certaine longueur? Qu'on alèze des métaux, qu'on enfonce des clous, qu'on scie du bois, c'est toujours une force qui parcourt un espace ; et toujours, ne l'oublions pas, une force qui est indépendante du temps, et qui, si elle n'est pas constante, dépend uniquement de la position des corps considérés.

Ces exejnples nous montrent que les travaux industriels consistent bien en ce que nous avons énoncé, c'est-à-dire qu'ils sont toujours composés, (Tune certaine façon et exclusivement, de forces et d'espaces parcourus.

J'ajouterai maintenant que cette composition de force et d'espace est précisément celle que représente l'intégrale

/ PdSj ou, pour mieux dire, que c'est cette intégrale qui

mesure la valeur vénale du travail obtenu.

Considérons en effet d'abord une force constante : Soit de la houille à extraire du fond d'un puits. Qu'est-ce qui détermine la valeur sociale, le prix du travail? C'estbien évidemment : 1° la quantité de houille à extraire ; 2" la hauteur où il faut l'élever. Je puis même dire que le travail sera double si la quantité de houille est double ou si la profondeur du puits est double. En deux mots, le travail sera à la fois proportionnel au poids et à l'espace parcouru : il sera mesuré par Px*, P étant ce poids et s cet espace. —

D'un autre côté, voyons ce que devient notre intégrale / Vds,

dans l'hypothèse d'une force constante : elle devient précisément Px*.

Ainsi, ce que nous avons appelé travail dans notre formule algébrique représente bien le travail de l'industrie sociale.

Que st maintenant nous considérons un travail induS'triel où la force est variable, nous aurons encore à signaler

la même analogie. Car supposons que la force, au lien de varier d'une manière continue le long de Tespace parcouru, ainsi que cela se passe effectivement, varie au contraire par soubresauts, o^est-à-dire demeure constante le long d'une fraction du parcours et ait ensuite une valeur dilférente pendant la fraction suivante ; le travail total sera évidemment exprimé par la somme de tous les travaux partiels correspondant aux diverses fractions du parcours. Nous passerons de ce travail imaginaire au travail réel en concevant que ces fractions diminuent individuellement de plus en plus, en sorte que finalement le travail en question n'est autre que la somme limite de tous ces travaux partiels. Or, parallèlement à cette conception, la formule algébrique est

interprétée de même : car l'intégrale / Pds représente précisément la somme limite de tous les produits obtenus en multipliant la valeur de la force en chaque point du parcours par la longueur infiniment petite de ce parcours par** tiel. Donc encore ce que nous avons appelé travail dans le calcul correspond à ce qu'on entend par ce même terme dans l'industrie.

Ces considérations nous montrent pourquoi Ton a été conduit à affecter à une quantité purement analytique un mot , déjà consacré dans le langage ordinaire pour désigner cer* taines opérations matérielles. Mais cette analogie ne doit pas nous donner le change sur le caractère véritable de l'in^ tégi'ale introduite ainsi par le calcul. Il y a nécessairement une foule de cas où cette expression algébrique ne peut avoir aucune signification relative à nos travaux proprement dits. S'il s'agit, par exemple, de la force équivalente à la gravitation ou qui pourrait déterminer le mouvement d'une planète, il est bien évident que le produit de cette force par l'espace parcouru, produit que nous continuons, en mécanique, à appeler travail, ne coirespond à aucun travail

iU2 LIVRE 11. — POINT BIATÊBLEIm

non compté depuis le départ, est égal à Taccroissement de force vive pendant ce même parcours.

Car si s^ et «i sont deux longueurs parcourues, comptées depuis le départ, s^ étant plus grand que s^j on a d'une part ;

et d'autre part :

Retranclions la première équation de la deuxième . 'P rf5 = -; w V,^ — i m Vo' .

Si la force vive diminuait au lieu d'augmenter, le second membre serait négatif, et le premier le serait aussi par conséquent : alors en- effet la force P agirait en sens contraire de sa direction primitive, puisque d'une position à l'aulre la vitesse se trouverait ralenlie : cette force P, et par suite

l'intégrale / Pds serait affectée du signe moins.

D'une manière tout à fait générale, l'équation de la force vive s'énonce :

Le travail d'une force, entre deux positions quelconques, est égal à la variation de force vive entre ces deux mêmes positions.

On laisse quelquefois l'équation sous sa forme différentielle

et l'on dit le travail élémentaire d'une force est égal à la variation élémentaire de la force vive.

2® Si la vitesse du mobile a la même valeur pour deux po-

MOUVEMENT BECTIUGNE DX'N POINT UBRE. 1(»3

ftitions différentes, la variation de force vive est nulle entre ces deux positions, et par suite le travail de la force est nul aussi.

3° Le travail étant nul dans Thypothèsc ci-dessus, il faut nécessairement que la force ait changé de sens à un certain point du parcours, sans quoi Tintégrale qui exprime le travail ne saurait être nulle ; et l'on voit, en outre, que le travail de la force pendant la première période du parcours est égal et de signe contraire au travail de la deuxième période. Il en résulte que, pour détruire la force vive quelconque possédée par un mobile, il faut effectuer un travail exactement égal et contraire à celui qui la lui avait communiquée. — Ce qui est la proposition que nous invoquions dans le numéro précédent.

A** Si la force, après avoir agi de A en ^ pour faire passer la vitesse de la valeur Vo à la vitesse V,, change de sons après

le point B, en ayant des vayo I y I y^ ^^^''^ absolues symétriques

A M B M' jV de celles qui avaient lieu f ^8- 9. précédemment, c'est-à-dire

des valeurs qui soient égales pour les positions M et M' également distantes du point B, à droite et à gauche, je dis que la vitesse V4 sera ramenée à la vitesse Vq lorsque le mobile sera parvenu en un point A' éloigné du point B comme l'est le point A.

Il suffit de montrer que l'intégrale ( Pc/*, prise de A en B,

est égale et de signe contraire à l'intégrale prise de B en A'. Or, cela est évident ; car soient *o, *| et s^ les trois parcours comptés depuis l'origine, qui correspondent aux positions A,B et A'j soit (5^=^s^—8^^=^s^—s^\ on a

Pp cU = j 'Pda

ihh UTBE IL — POLVT MATÉUfiL.

eo prenaol poar Tauiable îndépeodante la différence rs en tre la longaenr «, qui varie depuis s^ josqua «,, et la longueur fixe ««. On a de même

/ 'p ds = T'P de ;

en prenant pareillement pour variable indépendante la différence ^ entre la longueur s, qui varie depuis «^ jusqu'à s^ , et la longueur fixe «^ — Cette seconde intégrale doit être affectée du signe moin*, puisqu'on suppose que la force change de sens depuis le point B. — Les deux travaux partiels de A en B et de B en A' sont donc égaux et de signes contraires.

Il résulte de là une autre conséquence : si un point malé-

riel a une certaine vitesse - — ^ -^ 1, — V en B, et qu'une force contraire se mette ensuite à agir sur lui ,, on vient de voir qu'il perdra sa vitesse au bout d'un parcours *5 tel que

""p rf(j = 4 m V*

Or, le mobile étant ainsi réduit au repos en C, si la force continue à agir de C vers B, en ayant des valeurs symétriques, c'est-à-dire égales pour une position M également éloignée du point C pendant l'aller et le retour, le mobile, ramené en B aura recouvré la même vitesse V que précédemment, car on aura pour l'expression de cette vitesse

y^ = C P {^da)^ ^Pda

celte vitesse est d'ailleurs en sens contraire.

Ainsi, une force vive ou une vitesse est engendrée ou détruite, au bout d'un même parcours, par des forces qui ont.

MOUVEMENT RECTILIGNE d'UN POINT LIBRE. 1!|5

pendant ce parcours, des valeurs exactement symétriques.

5" Si deux forces, qui ont des valeurs égales pour les mêmes longueurs parcourues, agissent sur des masses différentes pendant des parcours égaux, elles leur communiqueront des variations de force vive égales.

Car on aura :

pour Tune des forces.

et pour l'autre,

d'où résulte

i m Vî - L m M\ = ,i m'V'^ - \ m'V'J .

Il esta remarquer que deux forces qui satisfont à la condition ci-dessus ne sont point des forces égales, c'est-à-dire passant par les mêmes valeurs au bout des mêmes temps. Car, puisque les masses sont inégales, les forces, si elles étaient égales, leur feraient parcourir des longueurs inégales au bout des mêmes temps ; elles n'auraient donc point des valeurs égales au bout des mêmes parcours, ce qui est précisément l'hypothèse.

6° Si la force considérée est constante, on voit : Que, lorsque deux points matériels soumis respectivement à des forces constantes reçoivent les mêmes variations de force vive, les travaux sont égaux, et, par suite, les deux forces appliquées sont en raison inverse des longueurs parcourues : ce qu'on a déjà démontré d'une autre manière ; et que, si un point matériel possède une certaine force vive, il est ramené au repos par une force égale à la première, de sens inverse, et agissant pendant un même parcours.

trois droites OX, OY et OZ qui se coupent à angle droit en ce point.

La solution du problème consiste à trouver la position M do nriobile au bout d'un temps quelconque, et subsidiaire- ^ ment sa vitesse à ce mo-

ment, ainsi que les équations de la trajectoire suivie dans tout le cours du mouvement.

Soit m la masse du mobile, P la valeur de la force qui le sollicite à Finstant Fig. 11. considéré, a, c, y les trois

angles formés par cette force avec les trois axes. — Ces quantités P, a, S et y sont des fonctions connues du temps. — Soit enfin V la grandeur de la vitesse inconnue, et a, h, c ses trois angles avec les axes.

Nous avons vu, dans la sixième proposition (n®66), que la projection ou la composante de la force, suivant une droite quelconque, est égale a la masse du mobile multipliée par l'accélération de la vitesse projetée ou décomposée suivant la même droite. Si Ton applique ce théorème, successivement pour chacun des trois axes, on obtiendra les trois équations :

„ rf(Vcosa) „

Pcosa=m-^— 3 — ' P

dt

coso:

djcosb) dt

, Pcosy=w

rf(cosc)

qu'on est dans l'usage d'écrire de la manière suivante, en désignant par X, Y, Z les trois composantes de la force P, et par v, u, w, celles de la vitesse V :

dv

du

dw dt

dt ' '• dt '

On sait d'ailleurs, d'après ce qui a été dit au n* 61, que

MOUVEMEKT CUBVILIGNE D IN POINT LIBRE. 151

Ces six équations rêsolveai complôlemeiil le problème, car elles permettent de trouver x, y, z, r, u, tt en fonction des quantités connues. On pent dire avec raison que le problème du mouvement cnniligne est ainsi ramené à trois problèmes de mouvement rectiligne , s effectuant suivant chacun des trois axes. Ainsi toutes les remarques qu'on a pu faire dans le chapitre précédent s'appliquent lextui^llement:

!• Au mouvement suivant OX, dont la composante X est la force ;

2^ Au mouvement suivant OY, dont la composante Y est la force ;

3" Au mouvement suivant OZ, dont la composante Z est la force.

Nous ne nous arrêterons pas à chercher les valiuirs de ^f Hf 2f non plus que celles de r, u, lu, valeui's qui s'obtiennent de la même manière que celles de * et de v dans le chapitre que nous venons de parcourir. Nous aurons à reproduire la même observation en ce qui concerne riufluence de la vitesse acquise. Les valeurs seront alors de même forme que celles du n° 79; cest-à-dirc que r, //, w seront

respectivement égaux 'à \ — di, \ — dt, \ — dt, aiig-

mentes des composantes de la vitesse initiale; et que a*, y, z

a'X / '^''y t,'ot/o

seront

t/Ot/o

rus dus à ces mêmes composantes.

Quant à la trajectoire, elle s'obtiendra, comme on l'a vu

— rf/% pareillement augmentés des espaces parcou-

au 11° 70, en éliminant le temps entre les trois équations qui fournissent les valeurs des trois coordonnées.

Loi'sque le problème, au contraire, consiste à trouver la force, étant connue la position du mobile à chaque instant, la solution est, analytiquement parlant, beaucoup plus simple, car elle se réduit à effectuer les diiférentiations indiquées dans les équations (1) et (2) ci-dessus.

Monvemeat rectlligae taDgeatiel.