THÉORÈME DE LA FORCE VIVE

81. — On a démontré au n° 67 que, si T est la composante de la force P suivant la tangente à la courbe en chaque point, et V la vitesse absolue du mobile, dirigée suivant celle même tangente, on a la relation

ce qui revient à dire que le mouvement sur la courbe s'effectue comme un véritable mouvement rectiligne dont la force serait la seule composante T. En faisant donc abstraction de la forme de cette trajectoire pour ne nous occuper que de la longueur absolue des arcs parcourus, supposés rectifiés, nous pouvons appliquer à ce mouvement tout ce qui a été démontré pour un mouvement rectiligne quelconque, et notamment les conséquences suivantes :

La variation de la quantité du mouvement, entre deux époques quelconques, est égale à Timpulsion de la composante langentielie entre ces mêmes époques ;

La variation de la force vive, entre deux positions quelconques, est égale au travail de la composante tangent ielle, entre ces mêmes positions.

La variation élémentaire de la force vive est égale au travail élémentaire de la composante tangentielle.

Arrêtons-nous un instant sur ce travail de la composante tangentielle. Nous voyons que, dans un mouvement curviligne, il y a, entre la force qui sollicite un mobile et la force vive de ce mobile, la même relation que dans un mouvement recliligne , pourvu que la force soit remplacée par sa composante tangentielle, ou, ce qui revient au même, pourvu qu'on considère comme travail d'une force à chaque instant, non pas le produit absolu de cette force par l'espace parcouru, mais le produit de cette force -projetée sur la direction du parcours , multipliée par ce parcours. C'est là, en effet, le point de vue qu'on a adopté en mécanique : on estime le travail d'une force en la projetant préalablement sur la direction de l'espace parcouru à chaque instant.

Remarquons bien que cette défmition , dont nous exposerons tout à l'heure le motif, n'est nullement contradictoire avec celle qui a déjà été adoptée dans le mouvement rectiligne. Pour ce dernier, en eff'et, la force projetée sur la direction du parcours n'est autre que cette force absolue elle-même, puisque la direction de l'espace parcouru et la direction de la force se confondent absolument. On peut ajouter que le travail dans le mouvement rectiligne n'est qu'un cas particulier du travail, conçu d'une manière plus générale, dans le mouvement curviligne, cas particulier consistant en ce que l'angle de.prc^ction est nul ou égal à 180''. Avec cette nouvelle définition du travail, la relation

\ rf5 = -; w v^ — -; m vj

peut être formulée en mettant à l'écart la composante tangentielle pour y substituer la force donnée elle-même, et disant : Dans un mouvement quelconquoi la variation de

force vive entre deux positions du mobile est égale au travail de la force qui sollicite ce mobile.

Il ne faut pas perdre de vue, bien entendu, que cet énoncé n'est rigoureux qu'autant que le travail demeure défini comme il a été convenu plus haut, en tenant compte de Tangle formé avec la force par la direction de l'espace parcouru.

82. — Une telle définition du travail est en elle-même parfaitement légitime, en ce sens que, dans la science théorique, rien n'empêche de donner le nom de travail à la quantité qu'il plaît de considérer. La seule loi à laquelle les définitions soient assujetties , c'est de denieurer d'accord avec elles-mêmes dans la suite de l'ouvrage. Ainsi , l'on n'aurait pas pu employer ce mot de travail, comme nous l'avons fait, dans le mouvement curviligne, s'il en était résulté une contradiction avec le sens déjà admis dans le mouvement rectiligue. Mais nous avons vu, au contraire, que les deux énoncés concordent, et que la première définition est implicitement comprise dans la seconde. Cette explication, qui est décisive au point de vue purement logique, ne serait pas cependant satisfaisante pour l'esprit, si, ayant une première fois montré par suite do quelles analogies avec les opérations industrielles on a adopté ce terme de travail, on ne se préoccupait plus la seconde fois de faire ressortir que ces mêmes motifs subsistent encore intégralement. Or, c'est ce qui deviendra évident, pour peu qu'on réfléchisse à la nature des mouvements curvilignes réalisés dans l'industrie. Le but qu'on s'y propose invariablement est de faire mouvoir une force le long d'une courbe relativement fixe, comme une courroie sur une poulie, ou un outil sur un cylindre à aléser, etc. En pareil cas, la force se décompose toujours en deux, une composante normale, qui est inutile ou même nuisible à l'opération qu'on exécute, et qui est détruite en pure perte par l'axe de la poulie, par les points d'at-

tache du cylindre, etc., et une composante tangentielle qui seule a soja effet utile et accomplit le travail tel que nous l'entendons et le recherchons. C'est donc à bon droit, parla considéraMon de ces résultats industriels, qu'on a été conduit en mécanique à donner le nom de travail au produit de l'espace parcouru par la projection de la force sur la direction 4^ cet espqce.

Il devient dès lors sans intérêt de laisser, dans l'équation de la force vive, figurer explicitement la composante tan? gentielle de la force, puisque c'est cette force elle-même dopt il s'agit dans l'énoncé. Aussi écrit-on généralement celte équation sous la forme suivante :

T'P ds cos (P, ds) = 1 m V^ — -; m Vj ,

P ds cos (P, ds) = rf (-; m V^) ;

en représentant par cos (P, ds) le cosinus de l'angle formé par la force P avec l'élément parcouru ds.

Une remarque qu'on fait immédiatement sur cette équation, c'est que, dans le produit P. ds, cos (P, d*), on peut aussi bien regarder ds, cos (P, ds) comme la projection de ds sur P, que regarder P. cos (P, ds) comme la projection de P sur «{«.Cela permet de donner un nouvel énoncé au travail en le considérant comme composé de la valeur absolue de la force et de la projection, à chaque instant, de l'espace parcouru sur cette force. Quand on adopte ce dernier point de vue, on met ordinairement l'équation sous cette forme

et

Vdp = d{imy^) *

en désignant par dp la projecrion de ds sur la direction de la force.

N. B. On peut toujours regarder P et ds comme essentiellement positifs. Le véritable signe du travail sera amené par le signe du cosinus.

83. — La relation précédente est susceptible, avons-nous dit, de fournir toutes les mêmes conséquences qui ont été présentées à Toccasion du simple mouvement rectiligne. Nous nous bornerons ici à celle qui offre le plus d'intérêt, et qui est relative au cas où la force P est constante en direction et en grandeur.

Si Ton appelle p la longueur interceptée sur la direction de cette force par les projections des deux positions extrêmes entre lesquelles on considère la variation de force vive, cette

longueur p sera précisément égale à / dx cos (P, c/jf), en sorte que la relation devient

ce qui montre que la variation de la force vive ne dépend que de l'écart des projections extrêmes, et nullement de la forme de la trajectoire.

Si donc un mobile est lancé successivement d'un certain point de l'espace avec une même vitesse, dans des directions différentes, et s'il est dès lors sollicité par une force constante, ce mobile aura toujours la même vitesse absolue, quelle que soit la forme des trajecîtoires, en passant aux points où ces diverses trajectoires rencontrent un plan perpendiculaire à la direction de la force, mené à une distance quelconque du point de départ. C'est ce qui arrive notamment en projetant un corps dans l'espace ; quelle que soit la direction de la vitesse initiale, il rencontre toujours le plan horizontal avec la même vitesse.

MOUVEMENT CURVILIGNE D'uN POINT LIBBE. 157