AUTRE MANIÈRE DE DÉDUIRE LES ÉQUATIONS PRÉCÉDENTES

84. — L'équation de la force tangentielle doit évidemment pouvoir se déduire des relations établies au n"" 80. En effeti ces dernières expriment que le théorème du n° 66, consistant en ce que la projection d'une force est égale à la masse multipliée par l'accélération de la projection de la vitesse, convient à trois directions différentes, qui sont celles des trois axes; mais cela revient justement à exprimer que le théorème est vrai pour une direction quelconque. Donc l'équation de la force tangentielle, qui est relative a la direction particulière de la tangente, doit être implicitement contenue dans les trois équations relatives aux axes.

En effet, reprenons ces dernières en laissant en évidence, dans les seconds membres, la projection de la vitesse absolue :

Développons les différentielles des produits; il vient:

„ dy . ..d.cosa

X = m-7-cosa-|-mv — ^ :

dt dt '

^ d\ , ,, e/ . cos b

(2) Y = m ^ cos ^ 4- m V ^^ ;

dy „ rf . cos c

Z=m-r-cosc-j-mV — j .

dt dt

Or, les trois premiers termes des seconds membres peuvent être considérés comme représentant les composantes,

rfV suivant les axes, d'une force égale à ^-77 > et dirigée suivant la tangente, c'est-à-dire faisant avec les axes les angles

158 LIVRE U. — POINT MATÊRlfiL.

a. A, c. C'est donc là la force tangentielle déjà trouvée,

Quant aux seconds termes des mêmes équations, remarquons que les trois cosinus qui y figurent sont respectivement égaux ^7" » x^? ^ î ^^ ^^^ '^ difRîrentielle qui y est

prise par rapport à t est égale, d'après les règles connues de l'analyse, à la différentielle prise par rapport à ^, multipliée par^=V. Donc,

dcosa dcosa dt ds

dt~ ds '

dcm b d cos b dt ds

' dt~^ ds '

rf cos c rf cos c dt ds

<ù/(ds) * rft ~ ds ■

Or, si Ton appelle >., a, y les angles du rayon de courbure avec les axes, et p la longueur de ce rayon, on sait que Ton a :

. dx , dx

^ ds ,, , ds cos 1

cos A = p — T- , d ou — 7- = ;

^ ds ds p

ds ,, , ds cos fx

C08;x = p-^. doù ^=— i^;

,dz , dz

ds ,, , ds cos V

cos V = p — T- f d ou — j- = .

^ ds ds p

£n faisant la substitution dans les équations (3), et de là

MOUVEMENT CURVILIGNE D'lN POINT LIBRE. 159

daus les équatioiis (2), on voit que les seconds termes de ces dernières deviennent respectivement égaux à

ces A , ces u. , cos y :

quantités qu'on peut considérer comme les trois composantes d'une force dirigée suivant le rayon de couibure, c'est-à-dire faisant avec les axes les angles X, fz, y. C'est donc la force centripète que nous avions déjà considérée dans le cours de la sixième proposition,

Ainsi cette relation , aussi bien que celle qui concerne la force tangentielle, se déduit dos trois équations établies pour les trois axes.

La manière même dont ces deux forces T et N se présentent dans le calcul précédent met bien en évidence leur rôle respectif dans le mouvement. Le point de vue analytique est tout à fait d'accord avec le point de vue mécanique. En effet, la force tangentielle, dans les équations (2), correspond à la variation de la seule vitesse, les cosinus de a, A, c ne variant pas, c'est-à-dire la direction de la tangente étant supposée constante, et, par suite, le mouvement étant regardé comme recliligne; au contraire, la force centripète correspond à la seule variation de la direction de la tangente ou à l'inflexion successive des éléments parcourus, la vitesse absolue étant regardée comme constante. ^

On donne assez fréquemment une méthode géométrique très-simple pour trouver la valeur des forces tangentielle çt centripète, et qui est basée sur les mêmes considérations déjà présentées au n° 73, où l'on trouve l'expression de l'accélération due à une force variée, en regardant cette force comme constante pendant un temps infiniment petit.

160 J^IVRE II. — POlNr MATÉRIEL.

Soit le mobile arrivé en M avec une vitesse V, et sollicité en ce point par la force P. Pendant un temps infiniment

petit, on peut considérer la ]^ I T^ force P comme constante en

grandeur et en direction, et la décomposer en deux autres également constantes , que nous appelleronsTet N, et respectivement dirigées.

Tune suivant la tangente I MT, Tautre suivant le rayon

Fig. 12. de courbure M K. Le mo-

bile arrivant en M' au bout d'un temps infiniment petit peut être considéré comme ayant obéi aux. deux mouvements recliligncsMI etML.La vitesse suivant M lest V^=VcosM'MI =V, puisque Tangle M' MI est infiniment petit. Donc T,

dSf dSf

qui est égal à fri--7y , est égal à '^-tt - D'un autre côté,

là force N ayant été constante pendant tout le temps dt, on

Mais Tare M M' étant infiniment petit, peut être considéré comme appartenant au cercle osculateur. Donc, p étant le rayon de courbure au point M, on aura, d'après les relations géométriques connues,

ML X 2p=MP = V2e/f2 ^