THÉORÈME DES SURFACES DE NIVEAU

86. — Supposons que X, Y, Z puissent être respectivement exprimées en fonction des seules coordonnées âf, j^, z ; et qu'en outre il existe* une fonction de â?, y^ z, telle qu'en en prenant la différentielle totale , c'est-à-dire la différentielle par rapport à x, y, z, considérées successivement comme variables indépendantes, on retombe précisément sur la fonction Xda:-hYdy-\-Zdz ^ dans laquelle, bien entendu, X, Y et Z sont supposées remplacées par leurs valeurs.

MOUVEMENT CURVILIGNE d'UN POINT LIBRE. 163

Soit cp (x, y, z) la fonction en question, telle, disons-nous, qu'on ait :

Actuellement prenons Tintégrale de Xdar-hYdy+Zrf^-^ entre deux positions dëterminées du mobile, dont les coordonnées seront respectivement «o? *oj ^o» «d *i) ^n correspondant aux vitesses Vq et Vi du mobile. L'intégrale indéfinie n -étant autre chose que la fonction cp {x, y, z)^ l'intégrale définie s'obtiendra en y remplaçant x, y, z par les valeurs particulières des deux positions considérées; en sorte qu'il vient

9 («i> b^j ^i) — î K» K <^o) =^ î wi VJ — i m Vj .

Cette relation nous montre que dans l'hypothèse où nous nous sommes placés la variation de la force vive du mobile ne dépend que des valeurs particulières des coordonnées des positions extrêmes , et nullement de la forme de la trajectoire entre ces positions, ni du temps employé à la parcourir.

On voit , en outre, que, toutes les fois que le mobile passera par une position telle que la fonction cp {x, y, z) prenne la même valeur en y substituant les coordonnées de cette position , la force vive aura varié de la même quantité, et, pso* suite , la vitesse du mobile en cet endroit sera exactement la même.

Or, il est visible que , par cela seul que la fonction (p est supposée exister, il y a toujours une infinité de points dans l'espace dont les coordonnées donnent la même valeur à cette fonction.

Car il suffit que ces coordonnées satisfassent à la condition

Wl f.IVRE ir. — POINT MATÉRIEL.

(] désignant une certaine quantité constante. Cette équation comporte évidemment une infinité de solutions, puisqu'on y peut disposer arbitrairement des trois quantités x, y et z.

LVnsemble de tous ces points n'est autre chose que la surface même représentée par Téquation ci-<lessus.

Ou peut donc dire que chaque fois que le mobile, dans son mouvement quelconque, coupera la surface (^(a?, y, r) = C, il aura la même vitesse, quels que soient le moment et le lieu où il rencontre cette surface.

C'est là une conséquence du même genre, mais plus générale, que celle qui a été signalée au n° 83, dans l'hypothèse d'une force constante. Nous ajouterons que ce cas spécial rentre dans le cas actuel , c'est-à-dire que la fonction Xdx-^Ydy-\-Zdz 'à nécessairement une intégrale totale exacte, quand X, Y et Z y représentent les composantes d'une force constante. Alors, en effet, X, Y et Z sont individuellement constantes, et la fonction devient Krfar-H K'dy + K"dz, en appelant K, K', K" ces constantes. Or, la fonction dont Kdx-hK' dy-\-K" dz est la différentielle totale, se réduit à Kx-\-K'y-\-K"z ^ et, par conséquent, la relation cp (jt,y, z)=C devient

Kx-\-K'y-{-K"z = C ;

ce qui est justement l'équation d'un plan perpendiculaire à la direction de la force.

Ce plan étant appelé plan horizontal ou de niveau lorsque la force constante est la pesanteur, on a, par analogie, nommé surface de niveau celle qui est représentée par l'équation cp (x, y, z)=C.

Il y a évidemment une infinité de surfaces de niveau pour chacune desquelles tous les points jouissent de la propriété que nous v,enons d'énoncer, la vitesse ne restant constante, bien entendu, que sur la même surface, et variant d'une surface à l'autre. Toutes ces surfaces de niveau s'ob-

MOUVEMEM (XRVILI(;NK D'LN POIM Limu-. 105

tiennent en donnant toutes les valeurs possibles à la constante C dans Téqualion générale q {x, y, ^)=C.

L'énoncé le plus général de la propriété que nous examinons consiste à dire que la variation de force vive ou de vitesse d'iin mobile, entre deux surfaces de niveau quelconques, est toujours la même, quels que soient les points où ce mobile les rencontre , et quel que soit son mouvement dans rintervalle.

£n chaque position du mobile, la surface de niveau, menée par cette position , est toujours perpendiculaire à la direction de la force. En effet, d'une part, les angles formés par la force avec les trois axes coordonnés ont respectivement pour cosinus :

d'autre part , les angles formés par la normale à la surface de niveau ont respectivement pour cosinus :

en désiguant abréviativement par H la quantité

Le cosinus de Tangle que la force fait avec la normale sera conséqueniment égal à

Mais puisque, par hypothèse, j^ ^•'^ + ;/ ^y + ^ rf^= X rf;r H- Y dy H- Z dz, il en résulte :

dx dy dz P

en faisant la substitution dans la valeur précédente du cosinus, on voit qu^elle se réduit à 1, ce qui prouve que Tangle est nul. Ainsi, la résultante de toutes les forces qui sollicitent le mobile est constamment perpendiculaire à la surface de niveau correspondant au point considéré, ou à la surface dont Téquation différentielle est iQUjOursXdw-\-Ydy-\-Zdz=C. D'où il suit que pour les différentes positions que le mobile peut occuper, à diverses époques de son 4nouvement, sur une même surface de niveau, les valeurs de la force correspondant à ces positions sont inversement proportionnelles aux perpendiculaires menées à la surface de niveau infiniment voisine ; car, d'une surface à Tautre, le travail, qui est égal à la valeur de la force multipliée par la longueur de la perpendiculaire, demeure constant.

87. — Il est un cas important où Xdx-\-Ydy-\-Zdz est évidemment la différentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées ; c'est lorsque toutes les forces qui sollicitent le mobile passent par des centres fixes et sont en même temps des fonctions quelconques des X distances du mobile à ces centres.

Soit, en effet , R l'ime de ces forces , passant constamment par le centre fixe I , et dont la valeur est une certaine fonction de la distance r du centre fixe à la position actuelle M du mobile. Soien^ Xj 2/j ^) les coordonnées du point M, et n,p,q, celles du centre I. Les composantes de cette force R, suivant les trois axes, auront respectivement pour valeurs

Fig. 13.

par conséquent, les termes dus à la force R, dans la fonction générale Xrfj?-|-Yrfy 4- Zrfz, seront :

Or, d'un autre côté, ou a

d'où résulte, en différentiant,

r dr = {x — n) rfa? -H (y — p) dy + (2; — q) dz;

en substituant dans les termes précédents, on voit qu'ils deviennent simplement égaux à Rctr.

Pour toute autre force analogue R', on aura pareillement des termes qui se réduiront à R'rfr'.

De sorte que si R, R', R" sont les diverses forces qui

sollicitent le mobile, la fonction générale Xrfa?-HYdy-H Zc^z se trouve remplacée par

R rfr + R' dr' + R" dr"

Mais puisque R est seulement fonction de r, R' de r',

R" der" , il y aura une fonction cf (r), dont la diflTéreu-

tielle sera Rdr^ une fonction x (^')> dont la différentielle sera R'rfr'^ et ainsi de suite, pour chacune des autres forces ; si bien que la somme de ces fonctions

constituera elle-même une certaine fonction de r, r'j r" ,

dont la diflTérentielle totale , par rapport à ces quantités,

sera exactement représentée par Rrfr-f-R'dr'-f-

Mais remarquons que r est une fonction de x, y, z, savoir :r*=(a? — n)^-\-{y — pY-^-Ç^ — qY ; demêmer'est une fonction des mêmes coordonnées of, y, z, savoir : /^ 2 = (â? — ^a') ? 4- (y — *p') a *f. (i^ — g') > , en représentant pai

168 U\RE Jl. —POIKT. MATÉRIEL.

n\ p'j q', les coordonnées du centre fixe relatif à la force R'. Si l'on substitue à r,r ,.,,, ces valeurs , la fonction © (r)-\- X (r')-+- deviendra dès lors une fonction des coordonnées X, y y z, dont la diflerentielle totale, prise maintenant par rapport à x, y, z, sera exactement égale à Xdx-\-Ydy -^-Zdz , en désignant ainsi la fonction Rrfr-hR'rfr'H-

K"rfr"+ ^oi\r,r',r" ,ctR=cp(r),R'=x(0 »

sont remplacés par leurs valeurs en fonction des coordonnées du point M.

Donc les propriétés des surfaces de niveau conviendront intégralement à de seihblables forces.

La nature ofi're un grand nombre d'exemples de forces rentrant dans la catégorie précédente. Généralement, comme nous l'avons déjà dit au n*'75, les forces naturelles sont fonction des distances , ou bien sensiblement constantes, et souvent elles s'exercent, soit le long d'une même droite, soit en passant par un centre relativement fixe; telles sont la pesanteur, la gravitation, le magnétisme terrestre, etc., etc. 88. — Il est des cas, au contraire, où l'on peut constater immédiatement que les forces ne sont pas de nature à rendre Xdx^Ydy-hZdz une différentielle exacte.

C'est ce qui arrive toutes les fois que , parmi les forces qui sollicitent le mobile, il y en a quelqu'une qui dépend directement du temps, ou de la vitesse, ou de la forme de la trajectoire. Si , par exemple , le mouvement s'effectue dans un milieu , tel que l'eau ou l'air, il se développe une certaine résistance due à la présence de ce milieu , et qui a pour caractère général d'augmenter d'une certaine manière avec la vitesse ; si bien que cette force est représentée par une fonction de la forme /"(V). En pareil cas, lorsque le mobile repasse par les mêmes positions les forces totales ne sont pas les mêmes, puisque certaines d'entre elles dépendent de la vitesse au passage. Ces forces* ne peuvent donc être exactement exprimées en fonctions des seules coordou-

MOUVEMENT CURULIGINE I) IN POIM LIBKE. 169

nées, et, par suite, le terme général Xdx-h^ dy-hldz ne saurait être la différentielle exacte d'une fonction où ces coordonnées Ggureraient sans antres variables.

Nous dirions de même si le mobile glissait sur une surface ou sur une courbe donnée et qu'il en résultat un frottement quelconque. On sait que tout frottement dépend, entre autres choses, de Ténergie avec laquelle le mobile presse sur la courbe ou sur la surface ; ce qui revient à dire qu'il dépend de la composante normale du système de toutes les forces qui sollicitent le mobile. Or , il est bien évident que, toutes choses égales d'ailleurs, cette composante varie avec la direction des éléments parcourus ou avec la forme et la direction de la trajectoire. Donc ici , comme dans \r. cas précédent , il serait absurde de chercher une fonction, ne contenant que les seules coordonnées, qui eut pour différentielle exacte la quantité Xdx-h\ (ty-\-Zdz.