THÉORÈME DES AIRES
89. — Définitions, — On nomme moment d'une force par rapport à un point, le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée du point sur sa direction. Cette perpendiculaire est assez fréquemment appelée bras du moment ou bras de levier de la force. — L'expression de bras de levier est empruntée à la machine très-simple dite levier^ consistant, comme on sait, en une verge rigide pouvan tourner autour d'un point fixe, et pour laquelle la distance de ce point fixe à une force appliquée sur le levier est appelée bras de levier de la force. Quant au terme de moment, il dérive du mot latin motnentum, qui signifie produit. — On nomme rayon vecteur d'un point matériel en mouvement la droite menée de ce point à l'origine des coordonnées, et aire décrite la surface engendrée par les positions successives de ce rayon vecteur.
Le théorème des aires consiste dans la proposition suivante.
Si Ton projette sur un plan le mouvement d'un point matériel, ainsi que la force qui le sollicite, il existe entre le moment de laforceetledoublederaire X décrite dans ce mouvement projeté la même relation qu'entre la force et la longueur parcourue dans un mouvement rectiligne. De telle sorte que, si M dési- !• ig. ift- gue ce moment et X Taire,
on doit avoir
— *" ^2 j absolument comme on a ^ = ^ ^
En effet, prenons le plan de projection pour plan des jpy-y et soit M S la trajectoire du mobile, P la force, NK et Q les projections de cette trajectoire et de cette force.
X, Y et Z étant les trois composantes de la force P, on sait qu'on a les trois équations
X = m -TT 1
Prenons les deux premières : multiplions-les respectivement par y et par x, et retranchons-les membre à membre, il vient
(«) Yx-Xy = m(ga;-gy).
La force P est la diagonale du parallélipipède construit sur X, Y, Z ; et par conséquent Q, qui est égale à la projec-
MOUVEMENT CURVILIGNE D UxN POINT LIBRE.
idePsurlafacedeceparallélipipède qui coniientXetY, la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux ûposantes dans le plan des xy. Or Xx et Xy ou N Y x Ox ÎX X Oy sont les produits de ces composantes par des pertdiculaires respectivement abaissées sur elles de Torigine. Ou sait, par la géométrie, que la différence de ces deux ►duits est égale au produit de la diagonale NQ par la peridiculaire Oq abaissée sur elle *.
Nous reproduisons ici la démonstration de ce théorème de géométri
comme on sait, à Varignon.
iten eflFet NXQY le parallélogramme considéré , et le point duquel
on abaisse sur les deux côtés et la diagonale les perpendiculaires Oa;, Oî/, et 0(7. Si le point choisi est dans le supplémentYNX' ou X N Y' de l'angle Y N X du parallélogramme, comme nous venons de le supposer, le produit de la diagonale par sa perpendiculaire 0^ sera égale à la somme des produits des deux côtés N Y et N X par leurs perpendic aires respectives Oa; et Oy. Si ''u contraire le point choisi est dans 1 angle YNX ou dans son opposé Y' NX', en 0' par exemple, le produit de la diagonale NQ par sa perpendiculaire O'q' sera égal à la différence des produits des côtés NY et N X par leurs perpendiculaires O'a?' et O'v'.
Pour le prouver, joignons ON, et décrivons sur chacune des trois lignes NX, NY, NQ, les trois paraUélogrammes ONX a, ONYb, ONQc. Ces parallélogrammes auront respectivement pour mesures de eurs surfaces les trois produits en Fig. 15. question. Mais ayant une base com-
ON, ces parallélogrammes sont entre eux comme les perpendiculai-
âissées du point sur &Y, aX, et cQ; ou, à ause du parallélisme
LlVRli Jl. ^- 1»UIM MATÉRIEL.
Le premier membre de réquatiou (a) est donc le momeut doiU nous avions parlé, et que nous désignerons par Qg, en mettant eu évidence la force Q et le bras q qui le romposenl.
Quant au deuxième membre de cette même équation, re-
marquons que
(Py dPx d(xdy — ydx)
dt>
dt
de
^i^i^xdy — ydx n'estautre chose que le double de Taire infiniment petite décrite par le rayon vecteur ON pendant l'instant dt. Cette expression, connue en analyse, est très-facile à retrouver : car soieut OX et OY les deux axes du plan de projection, ON et ON' deux rayons vecteui*s infiniment voisins. Le triangle élémentaire ONN' est égal à ON' H' - NN'H'H-ONH.
Or O ^'W==\{x-\-dx){y-\-dy)=\iXy-\-\xdy-{-{ydx-h{dxdy ,
^^'Wïi^dx{^-\-\dy,^ydx-^'-dxdy, ONH = |r^y ,
d'où O^^ =l{xdy'-ydx)',
égalité qui a lieu d'ailleurs quel que soit le mouvement supposé.
de ces trois lignes, comme les trois longueurs qu'elles interceptent sur une perpendiculaire commune. Les parallélogrammes susdits, ou les trois produits en question, sont donc entre eux comme ces trois longueurs. Mais il est visiljle que la dernière est la somme des deux premières. Donc le dernier produit est égal à la somme des deux autres.
Quand le point choisi est en C, on reconnaît avec la même facilité que la Iroislènic longueur est égale à la diftérence des deux autre!*.
Or, dans la question mécanique qui nous a ramenés à ce théorème, l'origine des coordonnées de laquelle on abaisse les perpendiculaires est évidemment dans l'angle opposé à l'angle XN Y ; donc c'est le deuxième ré bultat qu'on doit adopter.
MOUVEMENT CURYILÎGNE f)'UN POINT IJURK. 173
Si donc X désigne Faire finie, la quantilé xdy — ydx sera représentée par d(2X), et le second membre en question
deviendra ^ ^ ^ ; par suite l'équation (a) prendra la forme annoncée :
La même proposition peut être établie pour chacun des antres plans coordonnés, ce qui fournit les deux autres relations analogues
On donne indifféremment cette forme ou Ton garde celle de réquation (a), qui, au fond, a une signification identique. Les trois relations restent, dans ce dernier cas, les suivantes :
(2) Xz - Za. = m (^-jp z - ^ :rj ,
N. B, Si la trajectoire du mobile dans l'espace était une courbe plane, on pourrait prendre son plan pour plan de projection. Le théorème deviendrait alors celui-ci : Le moment de la force et le double de Taire décrite sont liés entre eux par l'équation du mouvement rectiligne.
