Supposons que le moment Q^ soitnul

Il en résulteque-^-2—=o, d'où,en intégrant deux fois:

^ = |Ar,.

A étant une constante dont la valeur représente le double

MOUVEMENT CURVILIGNE D'UN POINT LIBRE. i75

ie Taire décrite au bout de l'unité de temps. — Nous admettons ici tacitement que les aires sont comptées à partir de Torigine du mouvement ou de la position initiale du rayon vecteur. Dans le cas contraire, il faudrait ajouter à îA^ une constante C dont la valeur serait égale à Taire comprise entre le rayon vecteur initial et celui à partir duquel les aires sont évaluées.

Cette relation X=^A/ nous montre que, pour un plan sur lequel la projection du moment de la force est nulle, Taire projetée augmente uniformément ou d'une manière proportionnelle au temps. C'est ce qu'on nomme la conservation des aires, qu'il serait mieux d'appeler la proportionnante des aires.

Si les trois moments Qq, Q' q\ Q"q" sont simultanément nuls, cette propriété existera pour les trois plans coordonnés; et en général pour un plan quelconque passant par l'origine. En effet, dl, dl\ d>'\ désignant les projections sur trois plans de Taire élémentaire décrite, et dtù sa projection sur un plan quelconque faisant avec les précédents des angles a. S, y, la projection dw sera égale à cosadX+ cosêrfX'+cosydX", et, par suite, on aura :

w=Xcos a 4t X' cos 6 -h X" ces y =*- ^A cos a.-4-A'cos 6 -4- A'^cosy) t

Il est aisé de voir que, dans ce cas, la trajectoire du mobile est toujours une courbe plane dont le plan passe par Torigine des coordonnées. Car, de ce que les trois moments sont nuls, il s'ensuit que les trois équations correspondantes sont :

X dy — y dx= kdt j zdx — X dz= h! dt j y dz — zdy =^ A"dt .

Or, ces relations n'éiani qu'une combinaison analytique

176 MVRE H. — POINT MATÉRIEL.

des trois équations ordinaires du mouvement, ne peuvent ' fournir pour les coordonnées d'autres valeurs que celles qu'auraient directement fournies ces dernières. Mais Ton sait que pour trouver les équations de la trajectoire il faut éliminer le temps entre les valeurs des coordonnées. On obtient immédiatement une des deux équations cherchées en multipliant chacune des relations ci-dessus par la coordonnée qui n'y figure pas, et ajoutant ensuite membre à membre. Il vienl identiquement

qui est bien Téquation d'un plan passant par l'origine des coordonnées.

Puisque la trajectoire est plane, on en conclut que les aires absolues croissent proportionnellement au temps, de la même manière qu'on venait de le reconnaître pour les projections.

Les moments Q^, QY, Q"g" ne peuvent être rendus nuls simultanément que de deux façons : 1° en supposant que la force P est nulle; 2° en supposant que son bras de moment est nul, on que sa direction passe par l'origine des coordonnées.

La première hypothèse répond au cas d'un mouvement uniforme du point matériel; la seconde, au cas où il est sollicité par une force constamment dirigée vers un centre fixe.

Ainsi, les forces centrales, que nous avons déjà vues jouir de propriétés remarquables à l'occasion des forces vives, offrent cette nouvelle particularité, que la trajectoire qu'elles déterminent est une courbe plane dans laquelle les aires décrites augmentent uniformément.

La proposition relative au moment de la quantité de mouvement donne lieu à une conséquence analogue.

On voit que, lorsque le moment de la force est nul, le moment de la quantité de mouvement demeure constant à toute

!tfOUVEXE]MT CURVIL1<;NE D LN POINT LIBRE. 177

époque, ou, ce qui revient au m^me, que la quantité de mouvement varie en raison inverse de son bras de levier. C'est là certainement un fait bien digne d'attention, que toute force centrale soit impuissante à modifier le moment de la vitesse, et qu'elle ninflue sur cette dernière qu'à la condition d'influer aussi, d^uue manière exactement contraire, sur la longueur de la perpendiculaire menée à la direction de cette vitesse.

La nature manifeste, principalement dans les phénomènes astronomiques, de grands exemples de ces lois remarquables. C'est ce que nous verrons ultérieurement, avec de plus amples détails, dans le septième livre de notre exposition. Le théorème des aires, tel que nous venons de rétablir dans le cas d'une force centrale, peut être démontré directement par de simples considérations géométriqnes.

En effet, soit le centre fixe et M la position du mobile à un certain moment : ce mobile possède alors une certaine

vitesse qui, si la force cenî — îi ^ — traie n'existait pas , l'amènerait en un certain pointT au bout de l'instantrf/. Mais simultanément la force centrale agit suivant MO, et pjg^ 17^ ferait parcourir au mobile la longueur MI, s'il n'avait pas de vitesse acquise. Le mouvement effectif qui résulte de ces deux mouvements partiels est représenté par la diagonale M M' du parallélogramme MTM'f, et conséquemment le mobile, an bout de l'instant dt, vient en M'. L'aire décrite pendant cet instant est le triangle infiniment petit MM'O.

Raisonnons de môme pour l'instant suivant : soit M'T' = MM' la longueur parcourue pondant ce deuxième instant en vertu de la seule vitesse acquise en M'; soit M' l' la longueur due à la seule action de la force centrale dirigée sui- I. ^2

vanlM'O. La nouvelle aire décrite sera le triangle OM'M", égal à OM'T' comme ayant même base OM' et même hauteur, puisque les deux sommets T' et M" sont situés sur une même parallèle à la base. Or OM'T' égale OMM' comme ayant même base et même hauteur. Donc Taire totale croît proportionnellement au temps.

Cette même démonstration met en évidence que, s'il n'y avait pas de force et que le mobile s'avançât d'une manière uniforme suivant la droite MS, les triangles engendrés MOT, TOT^, pendant les mêmes temps, seraient égaux, et la propriété subsisterait, quel que fut le point choisi pour sommet commun de tous ces triangles.