THÉORÈME I)E LA MOINDRE ACTION

92. — Ce théorème ne convient qu'au cas où il existe des surfaces de niveau, et où, conséquemment , la fonction X rfu?4- Y dy + Zdz est la différentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées. Il consiste alors dans la propriété suivante :

Kntre deux positions quelconques d'un mobile, l'intégrale relative à sa vitesse multipliée par l'élémenl de courbe pare(uiru est toujours un minimum ; ou bien, sous une autre forme :

La force vive consommée en un temps donné par un mobile, pour parveuir d'une position à une autre, est toujours un minimum.

Il faut donc montrer que l'équation de la trajectoire efifec-

tivement décrite par le mobile est telle, que / yds , prise

4»nln* deux positions données, est un minimum ; ou que, si Ton choisil loul(> autre traje(*loire supposée parcourue par le «nubile, hi variation correspondant à Tinlégrale ci-dessus est euustummout nulle.

En effet, d'après les règles connues du calcul des variations, on a, en représentant la variation par la caractéristique J,

(1 ) S. Çyds = C$, Yds, et l \ds = Sy.ds -f- V Jrf^. (2)

Commerf*=Vrf/,ilen résulte S\.ds=dty$Y=idiSY\ En vertu du théorème des forces viv(»s,

{ md\^ = \dx -h ^ dy -\- Z dz ;

donc aussi

(3) T JV2 = ^ (X èx+Y Sy-hZ Sz),

en remplaçant les différentielles par les variations.

Mais puisque —=-1^^ — =-7^ , -— =-nïï ? il s en- ^ ^ 7n dr m dr ' m. dr '

suit :

ôv. ds^{ dt. ^v^=ç ^''^-^5 ^y^iR ^''

Telle est la valeur du premier terme du second membre de réqualion (2). Quant au second terme Y^ds, on trouve sa valeur en remarquant que

ds'^ = dx^ -\- dy^ 4- dz'^ ,

et que, par conséquent,

ds. Ms = dx, Sdx -\- dy, $dy -f- dz, 5dz;

remplaçons le multiplicateur d» par Ydt, divisons de part et d'autre par dt et intervertissons dans le second membre Tordre des caractéristiques J et d, ce qui, connne ou sait, est permis; il vient alors ;

180 LIVRE Ii: — POINT MATÉRIEL.

dt dt ^ dt

Nous avons ainsi les deux parties de la valeur d . Yds ; remplaçons-les dans l'intégrale / S,\ds deréquation(l), et il en résultera :

Or, les deux premiers termes de Tintégrale représentent la différentielle totale, par rapport au temps, de la quantité

-jr^^\ nous ferons des remarques analogues pour les deux termes suivants et pour les deux derniers. Donc, Tensemble des six termes qui figurent sous le signe / est égal à la différentielle ^Y'Tf^^'^'jT^y'^'Tf^ A- ^onc enfin, Ton a :

il faut ajouter une constante pour Fintégrale indéfinie. Quant à la quantité que nous cherchons, qui est la variation de l'intégrale de \ ds prise entre deux positions fixes, elle sera égale à la différence des valeurs que prend le second membre en y remplaçant successivement les coordonnées par celles qui correspondent aux deux positions fixes ; et la constante disparaît. Or, pour chacune des positions fixes, les variations ^x, $y, Sz sont nécessairement nulles, puisque les trajectoires diverses quelconques qu'on peut consi-

dérer sont supposées passer toutes par ces deux points. Donc la valeur de la variation de / Yds, entre ces deux limites, est égale à zéro. On en conclut immédiatement que cette intégrale elle-même est un minimum ou un maximum; mais il est visible qu'il ne saurait exister de maximum, car on prenant, entre les deux positions fixes, des trajectoires

de longueurs indéfinies, on ferait croître l'intégrale / Vrf*

au delà de toute limite. Donc cette intégrale est nécessairement un minimum.

Le second énoncé du théorème s'obtient aisément en remplaçant, dans cette intégrale, rf^parVd^/ elle se change

alors en / V^ dt, et la démonstration précédente nous prouve

que cette intégrale, et par suite la quantité / 7 m V^ dt est

un minimum.

Le théorème de la moindre action ne convient, avons-nous dit en commençant, qu'au cas où Xdx-{-Y dy + Zdz est la différentielle exacte d'une certaine fonction des seules coordonnées. En effet, les déductions ci-dessus s'appuient sur l'exactitude de l'équation (3), c'est-à-dire sur ce que la variation de V% prise par rapport aux seules coordonnées, est égale à X5a?4-Y^y -hZJz. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que V^ ne dépende que de ces coordonnées, ou queX5a?+ Y5y+Z^z soit la variation exacte d'une certaine fonction des coordonnées.

A l'époque où ce théorème célèbre s'est produit dans toute sa généralité, au commencement du siècle dernier , les sciences naturelles étaient encore obscurcies par des notions métaphysiques. Aussi voulut-on voir dans ce résultat analytique un principe à priori qui régissait les forces de la nature. On argumentait sur une vaine économie d'action qui

182 LifTtE II. — poi?rr matériel.

devait pn-sidcr à rarraiigement de l'univers. L'inanité d'une telle conception est visible : car, outre que cette prétendue économie d action, transport*^ en deboi-s de nos travaux personnels, n'a absolument aucun sens, la conception elle-même péchait par la base, puisque toutes les forces de la nature ne satisfont pas à ce principe, et qu'il n'est vérifié que pour les forces centrales. Il faut se borner à y voir, comme du reste dans tons les autres principes déjà démontrés ou que nous démontrerons plus lard, une pure conséquence logique des lois expérimentales de la nature, exposées au commencement de cet ouvrage, et pour lesquelles toute tentative d'explication à priori est aussi vaine que stérile.

Cm» |»articalier d'une force de direction constante.

93. — Dans le pnicédent chapitre, nous ne nous sommes pas occupas du niouvemeut déterminé par la combinaison d'une force de direction constante et d'une vitesse oblique à la direction de la force. Ce mouvement n'étant, en effet, qu'un cas particulier du mouvement curviligne le plus général, traité dans le présent chapitre, la solution qui le concerne s'y trouve naturellement renfermée.

Si nous eu faisons ici une mention spéciale, c'est uniquement afin de mettre en évidence certaines remarques relatives à ce cas particulier, et qui sont dignes d'attention.

1** La trajectoire est toujours une courbe plane.

On le déduit aisément des équations générales,

Pcosa = m^, Pcosg = m^, Pcos7 = m— ,

en y éliminant / et P, et en ayant égard à ce que les cosinus de la direction de la force sont des quantités constantes. C'est, du reste, ce qu'on voit directement par des considé-

rations géométriques; car la position que prend le mobile, sous l'influence simultanée de la force et de la vitesse initiale, se détermine à chaque iusiant en construisant le parallélogramme dont les deux côtés contigus sont, l'un la longueur parcourue en vertu de la seule vitesse, Fautive la longueur due à la force ; or, ces côtés sont toujours pris sur les deux mêmes lignes droites, puisque la force a une direction constante. Donc, tous ces parallélogrammes , et, par suite, leurs sommets sont dans le même plan.

2** Si la force est constante aussi en grandeur, la trajectoire est une parabole.

C'est encore ce qu'on pourrait déduire des équations générales, en y introduisant l'hypothèse que les premieis membres sont des quantités constantes. Mais il est plus expéditif de s'en rendre compte directement en prenant pour axes de coordonnées deux droites respectivement dirigées suivant la direction de la vitesse et suivant la direction de la force. Ces axes seront obliques, mais ils offriront l'avantage que chaque coordonnée sera séparément égale à l'espace parcouru, soit en vertu de la seule force, soit en vertu de la seule vitesse, ce qui permettra de trouver tout de suilc leurs valeurs. En effet, l'axe des y, par exemple, étant parallèle à la force, et celui des j? à la vitesse, on aura :

.V==^£:^S ^^ x = at',

en désignant la vitesse initiale par a.

L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant le temps entre ces deux valeurs, ce qui donne

^ ~ 27/ia^ " ' équation d'une parabole rapportée à ses diamètres.

Si l'on voiilail conserverie système d'axes rectangalaires, on pourrait toujours prendre l'axe des y parallèle à la force : quant à l'axe des :r, il serait oblique à la vitesse, et celle-ci donnerait, suivant les axes, deux composantes, acos9 et asinO, en appelant Tangle qu'elle fait avec l'axe des x. Les valeurs des coordonnées deviendraient alors :

x = acosO. t. y=as\nQ, t -h^ — t^;

d'oii Ton lire, pour l'équation de la trajectoire,

?/ = a; tang 9 + ^r-î Tft ^^•

' » ■ 2 a^m cos^ 9

Si l'on voulait déduire ces résultats des équations générales, il sudirait d'y supposer que la trajectoire est tout eutièrcî dans le plan des xy, et que l'axe des y est parallèle à la forc(^ La troisième équation générale disparaîtrait alors H les deux autres deviendraient :

d'où l'on tire, par intégration, les valeurs ci-dessus de x et de y.

9^. — Ce qui précède nous montre que le mouvement parabolique est la loi de tous les mouvements où la résultanle des forces est constante. Si, à un moment quelconque, les forces ou plutôt leur résultante cesse tout à coup de varier, la trajectoire, à partir de cet instant, est une parabole tangente à la courbe précédemment décrite. On peut ajouter cette autre remarque, que, dans un temps inûiiimcnt petit, la force peut être regardée comme constante en grandeur et en direction, et que. par suite, l'élément de coui'be décrit est parabolique. Ainsi, dans l'ordre dynamique, la

parabole joue vis-à-vis des courbes le môme rôle que le cercle osculaleur dans Tordre géométrique. Pour nous faire une idée de la courbure d'une ligne quelconque , nous la rapportons à celle du cercle qui coïnciderait avec elle : en mécanique, pour nous rendre compte d'un mouvement, nous devons le rapporter à un mouvement parabolique qui coïnderait avec lui. En un mot, le mouvement parabolique est l'élément infinitésimal d'un mouvement quelconque.

Cette assimilation est de même degré que celle qu'on établit dans les mouvements rectilignes, en regardant le mouvement uniformément varié comme la limite du mouvement varié. Dans l'un comme dans l'autre cas, l'assimilation se base sur la considération de la constance de force pendant un temps infiniment petit.

L'esprit ne doit pas négliger le côté philosophique de ces rapprochements, qui ont pour constant procédé de substituer à l'objet quelconque, mal perçu de nous, un objet suffisamment voisin du premier et beaucoup plus familier à nos observations.

Ainsi, en géométrie, le cercle est sans cesse substitué à la courbe générale, parce que nous avons une idée assez nette du type circulaire mais fort imparfaite de tous les autres. De même, en mécanique, la conception directe, fort obscure, d'un mouvement quelconque est suppléée par celle du mouvement parabolique qui s'offre perpétuellement à nous dans la nature : puisque tout corps lancé dans l'espace avec une vitesse indéterminée, décrit, en vertu de la force constante de la pesanteur, une courbe parabolique. En sorte que, toutes les fois qu'un corps se meut sous l'influence de causes quelconques, on doit se représenter son mouvement, si compliqué qu'il puisse paraître, comme composé d'une succession de mouvements infiniment petits, identiques à ceux que nous produisons nous-mêmes en projetant un corps dans l'espace.

Observations générales sur Fensemble des résultats qui précèdent.

95. — Les équations qui déterminent le mouvement le plus général d*un point matériel absolument libre de se mouvoir dans toutes les directions, sont, comme nous avons vu, au nombre de trois, qui répondent aux trois dimensions de Tespace, suivant lesquelles le mobile s'éloigne de son point de départ.

Ces trois équations sont les suivantes ;

,,, „ dv , du „ dw

Elles déterminent isolément les trois mouvements rectilignes, parallèles aux trois axes, dont la simultanéité donne lieu au mouvement curviligne en question.

A ces trois relations on joint les trois autres :

.^, dx di/ dz

qui ne sont, à proprement parler, que des équations de définition, car elles expriment que, dans chacun des trois mouvements rectilignes, la vitesse est égale à la limite du rapport de l'espace parcouru au temps employé a le parcourir : relations dues conséquemment à ce besoin de notre esprit de donner, pour plus de clarté, une signification concrète à ce rapport-limite qui, sous sa forme primitive, ne nous fournit point une image suffisante.

Ces trois équations auxiliaires permettent de donner aux trois précédentes la forme

(A) X = m^, Y = mj^, Z = m^,

sous laquelle elles renferment les relations (B) implicitement.

En résumé, les équations (A), sous une forme ou sous l'autre, résolvent complètement le problème général du mouvement curviligne d'un point matériel.

Il résulte de là que la solution de ce problème peut également être exprimée par des combinaisons quelconques de ces équations, pourvu qu'on en déduise trois autres éciualions parfaitement distinctes. Ce n'est lu, on le comprend, qu'une pure question d'algèbre, absolument étrangère à l'objet même de la mécanique.

C'est ainsi que les équations (A), que nous appellerons désormais les équations fondamentales du mouvement, pourraient être remplacées, par exemple, par deux d'entre elles, jointes à l'équation de la force vive, ou par les trois équations des moments que nous avons vues à la fin du n° 89. On pourrait enfin leur substituer telles autres combinaisons qu'il plairait d'imaginer, pourvu, je le répète, qu'il restât trois relations parfaitement distinctes entre la force et les coordonnées .11 né faut pas perdre de vue que, dans ces différentes circonstances, on n'aura jamais fait qu'exprimer, sous une forme ou sous une autre, une seule et même chose.

Si nous insistons sur ce point, qui semble superflu tant il est évident, c'est parce que, dans la suite, nous pourrons nous servir des équations , tantôt sous leur première forme, tantôt sous leur forme modifiée ; et nous tenons à ce que ces changements ne fassent pas illusion à l'esprit, et qu'on n'y voie jamais des équations nouvelles, distinctes des équations primitives.

188 UVRE 11. — POLVr MilTÉlUEL.

Équilibre des forées qoi sollieitent un point matériel,

96. — Nous avons déjà vu ce qu'on entend par de» force» qui se font équilibre. Ce sonl, avons-nous dit au n° 52, des forces qui ne changent pas Tctat de repos ou de mouvement d'un corps; de telle sorte qu'elles peuvent être introduile^s ou supprimées sans que ce repos ou ce mouvement soit aucunement modifié.

Nous avons déduit géométriquement, au n° 64, la condition d'équilibre d'un groupe quelconque de forces appliquées à un même point matériel : elle consiste en ce que la résultante générale de toutes ces forces est nécessairement nulle.

11 n'est point difficile d'exprimer la même condition, sous forme analytique : car, de ce que celle résultante est nulle, il s'ensuit que sa composante suivant chacun des trois axes coordonnés est nulle aussi : et réciproquement, si ces trois composantes sont nulles, la résultante elle-même est nulle pareillement; ce qui est formulé par les trois équations suivantes :

(E) X = o, Y = o, Zt=o.

On l'énonce ordinairement d'une autre manière, en remarquant que la projection de la résultante de toutes les forces est égale à la somme des projections de ces forces, et que, par suite, si l'on représente par F, F', F"..., les diverses forces dont P est la résultante, et par a, ê, y, a, 6', y'...., leurs angles respectifs avec les axes, les trois conditions cidessus pourront s'écrire :

F cos a -h F' cos a -h F" cos a" -H =0 ,

{V) F cos 6 -f- F' cos g' 4- F" cos 6" + = o ,

F cos 7 4- F' cos y' -h F" cos y" 4- =o ;

forme sous laquelle elles signifient que la condition nécessaire et suffisante pour que des forces quelconques se fassent équilibre sur un point matériel, c'est que la somme algébrique de leurs composantes suivant chaque axe soit nulle.

Il est visible d'ailleurs que, si toutes les forces étaient situées dans le même plan, les axes et par suite les sommes de composantes iraient au nombre de deux seulement; et que, si toutes les forces étaient dirigées suivant la même droite, il n'y aurait plus à considérer qu'une seule somme algébrique, qui serait justement la somme des forces données.

Ces relations si simples, qui ne sont que l'expression analytique du résultat obtenu géométriquement au n" 66, se<léduisent avec la même facilité de l'inspection directe des équations du mouvement.

En effet, la condition générale de l'équilibre étant que les forces n'influencent pas le mouvement du point, il en résulte que les premiers membres des équations (A),

doivent être nuls, sans quoi les valeurs des coordonnées ne resteraient pas les mêmes en introduisant ou en supprimant les forces supposées en équilibre. Nous retombons ainsi sur les relations déjà trouvées

Nous remarquerons en passant que l'annulation des premiers membres implique que

on que le mouvement du point matériel est rectiligne ou uniforme : conséquence prévue et implicitement contenue d'ailleurs dans les équations qui nous les fournissent, puisqu'elle

n'est autre que la loi même d'inertie qui a servi de base à rétablissement de ces équations.

Les conditions d'équilibre peuvent être mises sous d'autres formes, puisque les équations (A) peuvent être remplacées par leurs combinaisons quelconques. Ainsi l'on exprimera également l'équilibre au moyen des équations des moments, du n*» 89, pour lesquelles on verra comme ci-dessus que les premiers membres sont nuls :

Ya; — Xy = o , Xz — Zx = o , Zy — Yz = o ;

ce qui permettra d'énoncer les conditions d'équilibre en disant que le moment de la résultante ou la somme algébrique des moments des composantes, suivant chaque plan coordonné, est séparément nulle : conditions qui sont évidemment vérifiées si, le mobile étant primitivement eu repos, on y place l'origine des coordonnées, car alors les bras de tous les moments sont nuls.

97. — C'est ici ic lieu de remarquer combien est plus satisfaisante pour l'esprit la méthode qui consiste à rechercher les conditions de l'équilibre dans les lois mêmes du mouvement, au lieu de les étudier directement sur les corps en repos. Les résultats sont empreints d'une bien plus grande généralité ; et, pour n'en citer que l'exemple relatif au cas du point matériel, tandis que la statique directe nous apprend seulement que la somme des composantes, suivant trois axes, ou la somme des moments, suivant trois plans, des forces appliquées à un point immobile, est égale à zéro ; la statique indirecte ou corollaire de la mécanique nous apprend (|ue ces conditions subsistent encore, quel que soit le mouvement que peut prendre le point en dehors de l'action du groupe en équilibre : de telle sorte que, si ce groupe est transporté en un point quelconque de l'espace et retourné de toutes façons, sans changer les angles mutuels, — ce qui ne (*hangera rien non plus aux valeurs absolues des côtés

MOUVEMENT CURVILIGNE d'UN POINT UBRE. 191

de la construction polygonale du n° 62, — dans toutes ces circonstances les relations ci-dessus continueront à subsister intégralement. Ce résultat, qui paraît peu digne d'attention pour le cas spécial du point matériel unique, où la simplicité des éléments considérés le met sur-le-champ en évidence, acquerra une importance véritable quand il s'agira des systèmes de points matériels où les forces seront en équilibre. Cest pourquoi nous en parlons ici pour que plus tard on ne le laisse pas passer inaperçu.

Nous remarquerons également que les relations trouvées ci-dessus confirment ce qui avait été énoncé dWe manière générale au n° 52, à savoir que les conditions d'équilibre sont, de leur nature, indépendantes des masses et des coordonnées. Nous voyons, en effet, que les équations (E) n'en font pas mention.