CHAPITRE IV

.MOUVEMENT D'ï-N POINT ^^11 VF^iT PAS LIBRE, 01 QUI ESI ASSl JETTI A CERTAINES LIAISONS.

Étant donnée une force quelconque, ainxi que les liaisons auxquelles le point matériel e^t assujetti ^ déterminer le mouvement qui en résulte;

ou réciproquement:

Étant connues les liaisons, ainsi que le mouvement , trouver la force qui pourrait le produire.

Conisidérationfii préiiminairefs sur les liaifîioiis.

98. — Jiisqn'i(;i nous avons suppose que le point matériel était parfaitemcMU libre ou qu'il pouvait céder dans toutes les directions à raelion des forces qui venaient le solliciter.

Il nous reste à considérer maintenant un point pour lequel celle entière liberté n'existe pas.

MOUVEMENT D*ITN POINT ASSUJETTI A DES r.TAÎSONS. 19;>

On dit qu'un point maléricl est assujetti à des liaisons lorsque son mouvement est impossible dans certains sens, quelles que soient les forces qui agissent sur lui.

Nous allons considérer si|^cessivement les diverses liaisons auxquelles un point peut être assujetti, et nous rechercherons pour chacune d'elles les équations correspondantes du mouvement.

Les seules liaisons que notre esprit conçoive sont les suivantes :

l*" Obligation pour le point matériel, par des moyens quelconques, de rester sur une surface déterminée, c'est-àdire impossibilité pour lui à abandonner cette surface, tout en conservant d'ailleurs la faculté de glisser dans tous les sens sur son contour.

2" Obligation, dans les mêmes termes, de rester sur une ligne, droite ou courbe, donnée.

$° Liaison du point matériel à une ou deux tiges rigides et inextensibles, dont Textrémité se trouve parfaitement fixe.

Nous disons une ou deux, car, s'il y en avait trois ou un plus grand nombre, le point serait de toutes manières complètement fixe, et il n'y aurait plus lieu dès lors de se préoccuper de son mouvement. Nous disons aussi que ces tiges sont fixées par une extrémité, car, sans cela, le mobile serait aussi libre que si elles n'existaient pas. Nous verrons enfin tout à l'heure pourquoi ces tiges sont supposées rigides et inextensibles. Nous ajouterons qu'on les suppose d'ailleurs sans masse, ou plutôt qu'il faut les concevoir comme ayant une masse tout à fait négligeable par rapport à celle du point matériel lui-même.

k"" Liaison semblable du point à un ou deux fils flexibles et inextensibles, qui ont simplement leur autre extrémité fixe, ou qui, en même temps, s'enroulent sur des courbes ou des surfaces fixes..

!9!i UVli£ n. — P«>1\T llATÊRt£L.

y CUbVi^ûcm du poini dt* disser le long d'un fil flexible, dont les deux extrêmilês scmi parfaitenient fixes.

>\»us avons beau cbenber. nous ne réussissons pas à trou- Ter une liaisc»n qui ne rentre fïis dans celles-là. Car, si l'on imagine, par exemple, des liens qui, au lieu d'être absolunieui inextensibles. pc»urraieni s'allonger ou se raccourcir à llnstar de ^es^orfs. il n'y aiii;ni pins, à proprement parler, de liaisons, dans le sens que nous avons donné tout à llieure à <e mot En effer, en appliquant au mobile des forces convenablement choisies, on poun'ait le mouvoir dans toutes les directions, même dans celle de la longueur du lien ; il suffirait, pour cela, que la force fîit capable de vaincre la résistance détennim^e que le lien oppose à son extension ou à sa compri'ssion. De lelles liaisons cessent alors de mériter ce nom et se comportent comme de véritables forces motrices qui font pai ii«^ du groupe total de forces auquel le point matériel est supposé soumis. Au contraire, les liaisons que nous voulons considérer, et qui sont géométriques ou ahMoIuett, sont cai*actérisées par cette circonstance, qu'en aucun cas, et malgré toutes les forces qu'on pourrait choisir, le mobile n a la faculté d'abandonner la surface ou la courbe, ni celle de s écarter du point fixe au delà de la longueur du lien, etc., etc. Fn un mot, ces liaisons sont susceptibles d'opposer, dans certains sens, une résistance indéfinie aux actions extérieures.

A la vérité, toutes les liaisons que nousobsenons, comme tontes celles que nous pouvons réaliser, par cela seul qu'elles sont constituées par des moyens matériels, n'offrent jamais cette rigidité absolue que nous venons de supposer. Les surfaces et les courbes les plus parfaites en apparence se déforment en réalité, c'est-à-dire cèdent plus ou moins à la pression des forces qui s'exercent sur elles. Vfh même, les tiges et les (ils s'allongent ou se raccourcissent , et jouent plus oumoiiis ce rôle de ressorts doTit nous parlions tout à

rheui*e. Mais, quelque impuissante que soit la pratique des choses pour atteindre le type absolu de la théorie, nous n'en sommes pas moins en droit d'envisager les liaisons avec la perfection abstraite que nous leur avons attribuée, sauf à ne retirer plus tard de cette étude aucune utilité positive, si l'observation directe des phénomènes effectifs nous rendait impossible tonte assimilation avec ces considérations idéales. Mais, hâtons-nous de le dire, nous trouverons dans la mécanique appliquée des réalités assez voisines de ces types Imaginaires pour que les déductions des uns conviennent suffisamment aux autres , et pour qu'il y ait conséquemment intérêt à nous occuper de liaisons conçues d'une manière tout à fait géométrique.

99. — Cela posé, nous ferons remarquer que, parmi les liaisons énumérées en commençant, certaines rentrent dans les autres ; et même il est facile de voir que toutes sont comprises dans la première et la seconde.

En effet, la troisième liaison revient à obliger le mobile à rester sur la surface d'une sphère, s'il est attaché à une seule tige, et sur une circonférence, s'il est attaché à deux.

La quatrième liaison revient à la troisième, et, par suite, aux deux premières, si les forces appliquées ont des directions telles que les fils soient toujours parfaitement tendus, à toute époque du mouvement. Si, au contraire, les fils cessent d'être tendus à certains moments, le mobile se trouve alors dans les mêmes conditions que si ces fils n'existaient pas. En d'autres termes, le point matériel est tantôt obligé de se mouvoir sur une sphère ou sur une circonférence, et tantôt parfaitement libre dans l'intérieur de cette sphère et de cette circonférence. Ce dernier cas n'offrant naturellement rien de nouveau, par rapport à ce qui a été déjà étudié au chapitre précédent, nous ne nous occuperons que des cas où les fils Sont tendus, ce qui nous ramène aux autres modes de liaisons.

496 LIVBE II. — POINT M\T£RIEr-.

QuaiU à la parliculaiiiê ou les fils, toujours supposés londus, senrouleraieot sur des courbes ou des suifaces, il est bien évideut que cela revieul aussi à faire mouvoir le poiul sur cerUiiiics couibes ou surfaces correspondant au développement que prennent les fils dans leur enroulement.

£nfin, si le mobile est assujetti à glisser le long d'un fil flexible, fixé par ses deux extrémités, il se trouve par là obligé de se mouvoir sur la surface d'un ellipsoïde de révolution, dont les deux foyers sont aux deux points fixes.

Nous n'aurons donc à rechercher les équations du mouvement que dans les deux cas où le point matériel est assujetti à glisser sur une surface ou sur une courbe donnée.

Remarque, — Dans ce qui va suivre, nous supposerons que la surface ou la courbe, qui oppose une résistance iudéfinie à ce que le mobile la quitte en dehors ou en dedans, n'en oppose aucune à ce qu'il glisse sur son contour. C'est ce qu'on nomme un glissement sans frottement. Dans la nature, au contraire, toute courbe ou surface sur laquelle on fait glisser un mobile oppose, outre la résistance à la séparation, une résistance au glissement lui-même, qui a été appelée frotteinent. C'est donc une force de plus à ajouter à toutes celles qui sont supposées agir sur le mobile. Pour donner au problème le plus de généralité possible, rien n'empêche de concevoir que celte force fait partie du groupe quelconque dont nous considérons la résultante unique. Mais nous sommes, dans tous les cas, dispensés d'en faire mention explicitement, puisque c'est cette résultante seule qui figure dans nos raisonnements.

MOUVEMENT ù'V^ POfNT ASSLJETII A DES MAISONS. 197

PoinI matériel as^^ujelli à deinearer tiur une sarfaee donnée.

100. — Toute action exercée sur un point matériel par une force de grandeur quelconque, mais normale à la surface sur laquelle le point matériel est assujetli à demeurer, est constamment détruite par la résistance de cette surface, et le mouvement du point matériel reste identiquement le même que si cette force nVxistait pas (abstraction faite, bien entendu, du frottement qui pourrait m résulter, et que nous supposerions alors compris implicitement dans le groupe des autres forces qui sollicitent le mobil<'\

Celte destruction de la force normale est présentée par la plupart des géomètres comme une conséquence logique de ce qu'il ny a pas de raison pour que le mouvement soit influencé dans un sens plutôt que dans Vautre. Quant à nous, qui repoussons systématiquement toute argumentation .puisée dans l'essence même des choses, interdite à notre connaissance, nous nous bornons à présenter le fait cidessus comme un résultat de rexpérience.

Toute action exercée obliquement sur la surface est susceptible d'être décomposée en deux autres, Tune normale, qui est détruite comme nous venons de voir, l'autre située dans le plan tangent, et qui a son entière efficacité pour mouvoir le point matériel suivant l'élément de contact.

Ainsi, la surface intervient dans le mouvement pour détruire toutes les composantes normales des actions motrices, et elle laisse subsister intégralement toutes les composantes tangentielles.

Cette surface équivaut donc à une certaine force normale, de grandeur indéfinie, qui, en chacjue position du mobile, se

joint aux autres actions qui peuvent le solliciter, pour le maintenir, concurremment avec elles, sur les divers points de son contour.

D'après cela, on peut considérer le mobile comme parfaitement libre dans son mouvement, pourvu qu'à toutes les forces exlérieurcs qui lui sont appliquées on ajoute une nouvelle force de grandeur indéfinie, dirigée en chaque endroit suivant la normale à la surface donnée.

L'annexion de cette force introduit ainsi une inconnue de plus, qui est sa grandeur. Quant à ses angles avec les axes, ils sont des fonctions connues des coordonnées du mobile, puisque la force est dirigée suivant la normale, et que les angles de cette dernière s'obtiennent au moyen de fonctions qui dérivent de l'équation de la surface, dans lesquelles on attribue *à x, y,z les valems correspondant à la position du mobile. D'un autre côté, le problème comporte une inconnue de moins, puisqu'à tout instant les coordonnées du point matériel sont liées entre elles par l'équation de la surface. Somme toute, il y a donc le même nombre d'inconnues que dans le cas où le point matériel est parfaitement libre. La solution cherchée sera fournie en conséquence par les trois mêmes équations fondamentales du mouvement, ou par leurs combinaisons équivalentes, dans lesquelles figureront, parmi les forces données, la force qui représente l'action de la surface, et dont l'intensité sera ainsi déterminable à chaque instant.

101. — Soit donc, comme précédemment, X, Y, Z, les composantes suivant les axes de la résultante totale des forces données ; soit K la force, de grandeur inconnue, qui représente l'action de la surface, et soit X, fx, v ses angles, qui sont, avons-nous dit, des fonctions connues des coordonnées X, y, z du mobile.

Les trois équations fondamentales du mouvement seront :

dv ,. . du

(A) X-f-KcosX=m-T-, Y-t-Kcos/jL=:^

dt' ^ r--^/- ^^^^,

Z + Kcos v = iii -7- 9

auxquelles ii faut joindre, comme d'habitude, les trois relations qui se rapportent aux vitesses :

,„, dx du dz

(»> "^w «=¥' '"-df

Au moyen de ces six équations et de celle qui représente la surface, le problème est complétemeni résolu, c'est-àdire que :

Étant connues les forces extérieures, on peut déterminer le mouvement ;

OU réciproquement, étant connu le mouvement, on peut déterminer les forces extérieures.

Subsidiairement, on trouve la valeur d(? la force normale qui à chaque instant équivaut à la surface.

On peut donner aux équ*ations (A) une autre forme en y mettant en évidence les valeurs des cosinus de la normale.

On a trouvé en analyse que ces valeurs sont respectivement les buivantes : '

ces A = H •-- , COSfJl = H y- , COS V = 11 y- ;

f{pp,y, ^) = o étant l'équation de la surface donnée, et II ' représentant abréviativement la quantité

Par suite, les équations (A) deviennent .

200 LIVRE U. — POLNT MATÉRIEL.

dx dt ' dy dl

En ciiniiuaiit KH entre ces trois équations, on obtient:

X ^ Z î^ = m (^ . ^^ - ^ . '^ dz dx \dt dz dt dx) '

dy dx \dt dy dt dx

Ces équations ne contiennent plus la force K, et, en leur adjoignant Téquation de la surface,

on a trois relations entre x, y et z, qui permettent d'exprimer ces c(Jordonnées en fonction du temps.

Ce procédé, qui au fond ne diffère pas du précédent, revient à dire qu'on n'a que deux équations du mouvement, au lieu de trois, pour déterminer les coordonnées du mobile, mais que la position de celui-ci ne comporte que deux inconnues distinctes, puisqu'il est assujetti à se trouver sur une certaine surface.

1 02 . — Quoi qu'il en soit, et de (piclque manière qu'on résolve le problème, on voit que le mobile, tenu de se mouvoir sur une snrface, se trouve exactcmelit dans les mêmes conditions que s'il était parfaitement libre, et qu'il fût sollicité, non pas seulement par fensemble des forces dont nous avons désigné la résultante par P, mais aussi par la force K. En sorte que toutes les observations du chapitre précédent sont rigoureusement applicables ici, pourvu qtfen les formulant on ait toujours soin de lemplacer la force P, dont il est question, parla réi^ultante de celle même force et de la force K,

MOUVEMEM d'un POJiNT ASSLJETTl A DES MAISONS. 201

Donc, pour nianifesler les conséquences relatives au niouveuient actuel, il suffit de reprendre toutes les équations déduites dans le chapitre III, et d'y substituer algébriquement à P l'ensemble de P et de K.

Remarque, — Avant de nous liver à cet examen, nous ferons une remarque importante : c'est (juc ce n'est plus la Ibrce P elle-même qui est située dans le plan osculateur de la courbe décrite, mais bien la résultante de P et de K. Pour que la force motrice ( la force P ) fut elle-même dans ce plan, il faudrait que l'action normale K* s'y trouvât aussi : car alors, la résultante des deux forces P et K étant dans ce plan, ainsi que l'une d'elles K, l'autre P s'y trouverait nécessairement. Mais ce serait là évidemment un cas très-parliculier, d'après lequel la trajectoire aurait son plan osculateur constamment normal à la suriace, et serait en conséquence une ligne de plus grande ou de plus petite courbure. Or de telles lignes sont une exception parmi la multitude de (îelles qui peuvent être tracées sur une surface donnée.

Cela posé, examinons successivement les diverses relations du chapitre précédent.