Relations (E) et (F) des n"^ 81 et

Dans l'équation (E),

T doit représenter actuellement la composante, suivant la tangente à la trajectoire, de la résultante des foices P et K, ou, ce qui revient au même, la somme des composantes tangentielles de ces deux forces. Or K étant normale ne fouinit pas de composante : donc T continue à représenter la composante tangentielle de la seule force motrice P. Dans l'équation (F) ,

N doit reprcsenler la composante, suivant le rayon de courbure, de la même résultante des forces P et K, ou bien la somme des composantes de chacune de ces deux Ibrces. Désignons celte somme par G : la relation (F) devient donc

Cesl celte force G (jui est la force centripète, c'est-à dire la force qu'on doit appliquer, à chaque instant, au mobile, suivant le rayon de courbure de la trajectoire, pour que ce mobile, au lieu de continuer sa roule suivant la tangente, parcoure la ligne qu'il d(5crit effectivement sur la surface. Réciproquement, pour nous servir des locutions adoptées, nous dirons que le mobile est animé d'une force centrifuge égale et contraire à G.

On déduit de là les conséquences suivantes :

P La vitesse du mobile est due uniquement à la composante tangentielle des forces extérieures,- en sorte que, si ces forces sont constamment tangentes à la trajectoire, elles impriment la même vitesse que si le mouvement avait lieu librement en ligne droite, et que, lorsqu'elles sont obliques, toute la portion de ces forces qui n'agit pas suivant la tangente à la trajectoire est perdue pour la vitesse.

2*" Si la vitesse est constante, la composante tangentielle est nulle, et par suite la force motrice est nulle ou perpendiculaire à la direction de la tangente.

3° Dans le premier cas, c'est-à-dire si la force motrice est nulle, la résultante G de la formule ci-dessus représente simplement l'action normale K de la surface. Ainsi le pla^n osculateur de la courbe est constamment normal à la surface. C'est là, comme on sait, le caractère distinclif de la courbe la plus petite possible menée entre deux points sur une surface. D'où l'on voit que, lorsqu'un point matériel se meut sur une surface en vertu d'une vitesse initiale, cette vitesse

MOUVEMENT D'uN POINT ASSUJETTI A DES LIAISONS. 203

demeure constante, et la courbe parcourue jouit de cette propriété qu'entre deux quelconques de ses points l'aie rectifie a une longueur moindre que pour toute autre ligne menée entre ces deux mêmes points. D'après cela, sur une sphère, la trajectoire est toujours un grand cercle, puisque, entre deux points quelconques, un grand cercle peut toujours être mené, et que c'est la courbe de longueur minima.

^° Pour que cette troisième conséquence subsiste, il sulïil que le plan osculateur de la courbe soit normal à la surface, ou que la force désignée par G se confonde en direction avec la résistance normale de la surface. La même consét[uence aura donc lieu si la force motrice se réduit à une force tangeutielle, ou si elle est située dans un même plan avec la tangente et la normale. Dans les deux cas, en efi'et, G se confond avec K.

5** Si la force extérieure ejy. nulle ou dirigée suivant la tangente à la trajectoire, la force centripète est égale à l'action de la surface.

Si la force extérieure est située dans le plan de la tangente et de la normale, elle fournit une composante suivant cette normale, et alors la force centripète est égale à l'action de la surface, augmentée ou dimiimée de cette composante selon que celle-ci agit vers le centre de la courbe ou eu sens opposé.

6° Si l'action de la surface et la composante dont il vient d'être parlé sont égales et de sens opposés, la force centripète est nulle, et par suite le rayon de courbure est infini, ce qui montre que la trajectoire est une ligne droite. Ainsi, toutes les fois qu'un point matériel suit une ligne droite sur une surface, la force motrice est située dans le plan mené par celte droite perpendiculairement à la surface, et sa compoiiante normale est détruite par la résistance de la surface.

204 LHRt II. — POINT MATÉRIEL.

riIhUKbNK bK LA KOKCK VIVE.

10/i. — Toutes les fonncs que nous avons données à l'équation de la Torce vive peuvent être déduites de l'une délies; par exemple, de celle-ci :

X ilx -h Y (/y -+- Z dz ^di m \K

Voyons si la présence de la force K apporte quelque niodification. Non, évidemment : car la somme des travaux éléhientairei des Irois composantes, suivant les axes, de la force K, est égale au Iravail de cette force K elle-mènje, c'est-à-dire à cette force K multipliée par la projection, sur sa pi'opre direction , de Fespace parcouru : or ce produit est nul, puisque la force K est normale à la surface, et, par suite, perpendiculaire à tout élément de courbe décrite sur cette surface. — Cest ce qu'on pouvait également reconnaître eu remarquant que l'équation ci-dessus représente le travail de la composante tangentielle Tds; or cette composante est la même, soit que la force normale K intervienne, soit qu'elle n'intervienne pas. -

Donc tout ce qui a été dit pïécédemment sur la force vive, et toutes les conséquences qu'on en a tirées, peuvent s'appliquer intégralement au cas actuel, sans se préoccuper aucunement de l'action due à la présence de la surface.

Ainsi, les théorèmes des n"' 86 et 87, relatifs aux surfaces de niveau, liouvent ici leur application. Seulement, le mobile étant d(»jà assujetti à demeurer sur une certaine surface, il n'y a pas lieu de considérer toute espèce de t4*ajectoire entre les surfaces de niveau, mais les seules trajectoires décrites sur la surface fixe. En d'autres termes, les surfaces de niveau sont remplacées par des courbes de niveau, résultant de l'intersection desdites surfaces avec la surface fixe. Comme

MOUVEMENT D*UN POINT ASSl JETTl A DES LIAISONS. 205

cas parliculier de res théorèmes, supposons, par exemple, une surface coupée par deux plans parallèles, et un mobile assujetti à demeurer sur celte surface et sollicité par une force constante, de direction perpendiculaire aux plans. La variation de force vive du mobile entre les courbes d'intersection des plans cansidérés sera toujours la même, quels que soient les points où ces courbes seront rencontrées par le mobile, et quelle que soit la forme de la trajectoire intermédiaire. En effet on aura toujours :

i m Vj — ,L m V' = r^Vdp = P/?, — Pp^= Pd ;

en appelant d la dislance entre les deux plans, distance qui ne change pas avec la situation des points de départ et d'arrivée. Si le mobile part successivement avec des vitesses égales, mais diversement dirigées, la vitesse d'arrivée V, aura toujours la même valeur numérique. Si Ton n'avait mené qu'un seul plan d'intersection, le mobile, parti d'un point de la courbe et sollicité par une force telle qu'on Ta supposée ci-dessus, repasserait par celte courbe avec une vitesse égale à la vitesse de départ. On en voit un exemple bien simple en laissant tomber une bille le long de la paroi d'un vase suffisamment arrondi : le mobile remonte jusqu'au bord, sauf la légère différence due au frottement.

105. — Pour les théorèmes des moments et des aires, il faut de toute nécessité faire entrer en ligne de compte la force K qui, dans ces formules, donne lieu à des termes qui ne sont pas nuls. Les énoncés des conséquences n'ont plus alors qu'un médiocre intérêt : aussi ne nous arrêterons-nous pas à les reproduire.

Quant au théorème de la moindre action, il s'applique évidemment dans les mêmes conditions que pour le point libre, et sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir l'action de la surface. Car ce théorème se déduit de l'équation des forces

Î06 XAVm U. — POINT MATÉRIEL.

vives, et celle-ci ne subil aucun changement dans le cas actuel. Ainsi la courbe décrite par un mobile sur une surface

est toujours telle que Tintégrale / Yds est un minimum. On

en a vu un exemple au n° 103, quand la force centripète était supposée se confondre avec la direction de la normale. La courbe décrite a alors une longueur minima entre deux positions déterminées du mobile.

Équililirc des forces appliquées à un point malériel assujetti à demeurer sur une surface donnée*

106. — Comme précédemment, nous dirons que des forces se font équilibre sur un point matériel assujetti à demeurer sur une surface, lorsque ces forces peuvent être introduites ou supprimées sans que le mouvement de ce point soit changé.

Il n'est point nécessaire ici, pour que Féquilibre ait lieu, que la résultante de ces forces soit nulle : car, Faction de la surface étant équivalente à une force normale de grandeur indéfinie, il suffît évidemment que la résultante des forces extérieures puisse, en se combinant avec une force normale de grandeur quelconque, fournir une résultante définitive nulle. Or ce résultat ne peut être atteint qu'autant que la résultante des forces appliquées est perpétuellement normale à la surface, car deux forces ne s'annullent qu'à la condition d'être directement opposées.

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe de forces soit en équilibre, c'est que la résultante de ce groupe soit constamment normale à la surface sur laquelle le point matériel est assujetti à demeurer. Quant à la valeur absolue de cette résultante, elle peut être quelconque, la sur-

MOtJVEMENT n*UN POINT ASSUJETTI A DES LIAISONS. 207

face développant toujours une action de grandeur convenable pour la détruire exactement.

Cette condition géométrique fort nette est exprimée algébriquement par les deux relations :

cos 1 cos |ui ' cos 1 cos y '

X, (tx et V représentant les angles formés par la normale avec les axes. — Pour ne faire figurer dans ces relations que les données du problème, il suffit de remplacer cos X, cosfx et cosv par leurs valeurs connues en fonction des coordonnées et de réquation de la surface, valeurs qui sont, comme on sait, les suivantes :

cos X = H -~ , cos a = H :/ , cos y = H —- ; dx dy ^ dz^

H représentant abréviativement la»quantité

Par suite, les deux relations ci-dessus deviennent : dy dx '

qu'on écrit aussi sous cette forme :

^ "" ^ "~ J^ * dx df/ dz

Ces équations s'obiit nnont du reste immédiatement en reprenant les équations (C) d.i mouvement, du n*' 101, et

208 ÎIVRE lî. — roîM MATÉRIEL.

('galant à zéro les premiers membres, afin d'exprimer que les forces peuvent êlre snpprimées sans influer en rien sur le mouvement du point matériel. On obtient ainsi les équations (E) elles-mêmes.

Quant à la valeur de Faction totale K développé par la sur-

face, elle est évidemment égale a ± l^X^-f-Y^+Z^H ,

P valeur qui se déduit tout de suite de la connaissance du

groupe appliqué au mobile et de la vitesse initiale de ce mobile. Les deux termes de celle valeur représentent, l'un la r<»aciion que d(»veloppe sur la surface la présence de la force extérieure normale X, Y,Z; l'autre la réaction due au mouvement que poursuit le mobile en vertu de sa vilesse initiale, et qui ne dépend en rien de l'introduction ou de la suppression du groupe extérieur supposé en équilibre. C'est la même observation qui a fait l'objet de la cinquième conséquence du n" 103. Le signe dont doil être affecté le premier terme, c'està-dire le sens dans lequel agit la réaction due à la force extérieure, est toujours contraire à celui de la résultante de ce groupe.

107. — Nous avons dit, au commencement de ce chapitre, que, lorsqu'ivn mobile est assujetti à glisser le long d'un fil fixé par ses deux extrémités, il se trouve, par le fait, assujetti à demeurer sur une surface, qui est précisément l'ellipsoïde de révolution dont ces deux points fixes sont les foyers.

Par suite, il faut, pour l'équilibre d'un groupe de forces qui sollicitent un pareil mobile, que la résultante soit dirigée suivant la noi^male. Cette condition générale nous fournit ici une remarque intéressante.

La normale à l'ellipsoïde est située dans le même plan que les deux parties du fil qui vont du mobile aux points fixes, et, en outre, elle partage leur angle en deux parties égales. (3r, c'est la résistance combinée de ces deux fils dans le sens de leur longueur, ou ce qu'on nomme leur tension, qui

MOUVEMENT D*UN H>1MT ASSUJIUTll A D£S LIAISONS. 209

procure la résistance de la surface et qui dëiruil la résullaute du groupe en équilibre. Donc, puisque les tensions de ces deux fils font équilibre à une force dirigée suivant la bissectrice de leur angle, ces tensions sont égales (n° 64). Ainsi, toutes les forces qui agissent normalement à la surface de Tellipsoïde déterminent dans les deux parties du fil la même tension, et ces deux parties sont situées dans le plan normal. Des forces obliques sont susceptibles de se décomposer en deux, Tune, suivant la normale, qui a Teffet que nous venons de voir, l'autre située dans le plan tangent et qui a son entière efficacité pour mouvoir le point matériel sur Télément de contact. Ainsi, Fellipsoïde intervient dans le mouvement pour détruire toutes les composantes normales des actions motrices, et cette destruction a lieu au moyen d'une tension qui se développe dans le fil et qui a la même valeur numérique suivant chacune des deux portions de ce fil.

Point matériel assujetti à demeurer sur uue eeurbe donnée.

108. — En reproduisant ici les considérations i*elatives à la surface, nous verrions que Faction exercée par la courbe sur le mouvement du point matériel équivaut à une force de grandeur indéfinie , dont la direction , au lieu d'être déterminée comme dans le cas de la surface, est seulement astreinte à être perpendiculaire à la courbe ou à se trouver, avec une position d'ailleurs quelconque, dans le plan mené normalement à cette courbe.

Nous pouvons donc envisager le mobile comme parfaite ment libre, pourvu que nous ajoutions aux forces extérieures une force de grandeur indéfinie, située, en chaque point, dans le plan perpendiculaire à la trajectoire.

Nous introduisons ainsi deux nouvelles inconnues, ^voir : V la grandeur de celte force ; 2° un de ses angles. — Je dis un de ses angles, car si un seul est connu, la direction s'ensuivra, puisqu'elle est perpendiculaire à la direction connue de la tangente. — Mais, d'un autre côté, le problème com^ porte deux inconnues de moins, puisque, à tout instant, les coordonnées du mobile sont liées entre eHes par les deux ^nations de la courbe. Il y a donc finalement le même nombre d'inconnues que dans le cas du mouvement du point matériel libre, et, par stiite, la solution pourra êtt'e fournie par les équations relatives à ce mouvement, dans lesquelles figlki*eront, parmi les ferces données, la force qui représente faction de la courbe et dont l'intensité et la dit*ect4on seront ainsi déternnnables à chaque infant.

En nous sei^ant des mêmes notations que précédemment, HAiafut^te système dVquations fondamentales,

(A) X -f- K cos X = m T- , Y -h K cos fjL := m ^ ,

j. i. dw

Z -h K tos V = m -7- :

dt '

,„, dx dy dz

auxquelles il faut joindre la relation 4|ui exprime que la force K est perpendiculaire à la direction de la langente, relation qui est celle-ci :

^ dx dy dz

Au moyen de ces équations et de celles qui représentent la courbe, le problème est complètement résolu ^ c'est- ji-dire que :

Étant connues les forces extérieures, on peut déterminer le mouvement $

OU réciproquement, étant connu le mouvement, on peut déterminer les forces extérieures.

Subsidiairement, on trouvera la valeur et la direction de la force perpendiculaire qui, à chaque instant, équivaut à Faction de la courbe .•

On peut donner aux équations ci-dessus une autre forme, en éliminant Faction K et ses cosinus )., a, v ; ce qui se fera très- simplement delà manière suivante : multiplions les trois

/ * V dx dy dz

équations (A) respectivement par -r- , -1=-, -7—» et ajoutonsles, en remarquant que le multiplicateur de K est nul en vertu de la relation (e), et que le multiplicateur de m n'est autre chose que la différentielle, prise par rapport à s ,

1 dx^-hdv^-hdz^ 1

de ^2 , c'cst-a-dire la diffcTcntielle de - V ;

par suite, les équations (A) sont remplacées par Téquation unique suivante :

laquelle, réunie anx deux équations de la courbe, fournit trois relations entre j?, y, z, et permet conséquemmeiit d'exprimer les coordonnées en fonction du temps ou de résondre les problèmes du mouvement.

Cette méthode, qui, au fond, ne diffère pas de la précédenie, — car elle ne fait qu'effectuer les éliminations impticitement indiquées dans le système d'équations (A) et (e) — signifie qu'on n'a plus, dans le cas actuel, pour déterminer les coordonnées du mobile, qu'une seule équation , au lieu de trois qui conviennent au point matériel libre, mais que la position de ce mobile ne comporte en effet qu'une ^ule inconnue distincte, puisqu'il est assujetti à se trouver sur une certaine courbe assignée d avance.

Quoi qu'il en soit du mode adopté pour la mise en équations, nous répéterons ce qui a déjà éU; dit à l'occasion de la

surface, savoir : qu'il demeure entendu que le mobile, assujetti à se mouvoir sur une courbe, est exactement dans les mêmes conditions qu'un mobile libre, pourvu qu'au groupe de forces dont la résultante a toujours été désigné par P, on adjoigne la force K. D'où il suit que pour manifester toutes les conséquences relatives au mouvement actuel il suffit de reprendre successivement les diverses équations qui concernent le mobile libre, et d'y substituer partout à la force P l'ensemble des deux forces P et K.

Nous remarquerons aussi que ce n'est plus la force motrice P qui est située dans le plan osculateur de la trajectoire, mais la résultante de P et de K.

Cela posé, examinons les équations relatives au mobile libre.