Relations (E) et (F) des n°« 81 et 8û

L'équation (E) ,

se maintient intégralement, parce que la force K perpendiculaire à la courbe ne donne pas de composante suivant la tangente. Nous pouvons donc attribuer à la composante tangentielle de la force motrice donnée toutes les propriétés qu'elle possède dans le mouvement d'un point entièrement libre.

Au contraire, l'équation (F) doit être remplacée par celle-ci,

où G représente la composante, suivant le rayon de courbure, de la résultante des forces P et K, ou bien la somme ^es composantes de chacune do ces deux forces. C'est cette force G qui est la force centripète, c'est-à-dire la force appliquée suivant le rayon de courbure de la trajectoire, nécessaire pour empêcher à chaque instant le mobile de pour-

MOUVEMENT d'un POIINT ASSUJETTI A DES UAlSOtNS. 215

suivre sa route dans la direction de la tangente. Réciproquement, on dit que le mobile est animé d'une force centrifnge égale et contraire à G.

De là résultent ces conséquences :

1^ La vitesse du mobile est due uniquement à la composante tangentielle des forces extérieures, en sorte que, si ces forces sont constamment tangentes, elles impriment la même vitesse que si le mouvement avait lieu librement et en ligne droite, et que, si elles sont obliques, toute la portion de ces forces qui n'agit pas suivant la tangente est perdue pour la vitesse.

S"* Si la vitesse est constante, la composante tangentielle est nulle; et, par suite, la force motrice est nulle ou perpendiculaire à la direction de la tangente.

Z"* Si la force extérieure est nulle ou dirigée suivant la tangente, la force centripète est égale à Faction de la courbe.

k"" Si la vitesse est constante et le rayon de courbure cons-

tant, la force centripète est constamment égale à ,

r étant le rayon du cercle décrit dans ce cas.

5* Si le rayon de courbure est infini, c'est-à-dire si la courbe donnée est une droite, la force centripète ou G est nulle. Donc l'action de la droite et la force motrice donnent, suivant la normale, des composantes égales et contraires. On voit aussi que le mouvement le long de la droite a lieu comme si la force motrice était simplement remplacée par sa composante suivant cette droite.

Êqvation de la f^ree vive.

110. — La force K ne fournit évidemment aucun terme dans l'équation générale

car le travail de la force K, cVst-à-dire sa valeur numérique multipliée par la projection, sur sa propre direction, de Téléinent parcouru, est une quantité nulle, puisque la force K est perpendiculaire à la Irajecloire. C'est ce qu'on peut égalen>ent reconnaître en remarquant que l'équation ci -dessus représente le travail de la composante tangentielle, Tds; or cette composante est la même, soit qu'on tienne compte de la force normale K, soit qu'on ne s'en préoccupe pas.

Ainsi, la variation de force vive d'un mobile assujetti à se mouvoir sur une courbe est égale au travail de la fprce motrice pendant le même temps.

Signalons en particulier les conséquences suivantes : Supposons qu'entre deux plans parallèles on ait autant de courbes fixes différentes qu'on voudra, et que le mobile, parcourant l'une ou l'autre de ces courbes, soit sollicité entre les deux plans par une force constante perpendiculaire à ces plans. La variation de force vive sera exprimée par la relation

d représentant la distance des deux plans. Donc la variation de force vive sera indépendante de la forme de la trajectoire à laquelle le mobile est lié et de la direction de la vitesse au départ. Si le mobile se meut, par exemple, le long d'une droite parallèle à la direction de la force, — ce qui rendra son mouvement rectiligne, — il acquerra la même vitesse, en arrivant au second plan, que s'il avait été assujetti à parcourir une courbe quelconque. Lorsque la force considérée est la pesanteur, ou appelle hauteur de chute la portion de verticale comprise entre les deux plans ; la conséquence ci-dessus s'énonce dans ce cas en disant qu'un mobile acquiert toujours la même vitesse, pour une même hauteur de chute, quelle que soit la ligne parcourue. Si le mobile est sollicité par une force dont la composante

MOUVEMENT D'UN POUIT ASSUJETTI A BiS LIAISONS. 2f5

taageBlielle est coastante^ la varUitîoD de force viie, égtte à f Trf* = T(*^ — jrj, est donc proportionnelle à la longueur de l'arc parcouru.

Sî le mobile, sollicité par une force constante en grandeur et en direction, repasse plusieurs fois par un même plan perpendiculaire à la direction de la force, il aura chaque fois la même vitesse, puisque le produit V.d, qui marque U variation de force vive, est alors nul.

111. — Terminons par une remarque relative à la solution des problèmes qu'on peut se proposer sur le mouvement qu'on vient d'examiner.

Après qu'on a éliminé la force étrangère représeuiative de l'action de la courbe, l'équation qu'il faut joindre aux deux équations de la courbe donnée, pour trouver les coordonnées en fonction du temps, équation désignée par (C) au n"" 108, n'est antre chose que la relation même de la force vive. Au moyeu de cette relation et des équations de la courbe on déterminera les quantités x, y, z en fonction du temps. Ces trois inconnues sont en effet les seules qui figurent réellement dans le système, puisque, d'une part ,

V= ^ , et que, d'autre part, g := >/d^±^K. |,

faudra donc effectuer ces remplacements pour obtenir la solution ; et l'on se trouve dès lors en présence de difficultés algébriques exactement du même ordre que celles qu'on reaeoutre dans le mouvement d'un point matériel libre.

Mais il est un cas où la solution est beaucoup plus aisée e^ ue nécessite pas ces substitutions préalable^, c'est lorsque la composante tangentielle de la force motrice est une fonction connue de l'arc s ; car alors, W premier membre de l'équation des forces vives ,

216 LfTlE H. — fOSST MATÉMEL.

sera me fooction coonoe de l'arc s, et, par soîte, la vitesse éa mobile à dd moment quelconque sera aussi une fonction connue de s. Tous les autres éléments peuvent ainsi être exprimés en fonction du temps ; car, puisqu'on vient de trouver

V='| (#}, comme on a aussi V=-^, il en résulte que

#=X(f). Mais, la courbe étant assignée à priori y dès qu'on connaît la longueur de Tare en fonction du temps on connaît la position du point et conséquemmeut ses coordonnées.

Donc, en nous résumant, nous voyons :

Que toutes les fois qu'un mobile, par suite de ses liaisous, n'a qu'un mouvement possible (le mouvement suivant la couii>e même), l'équation de la force vive, combinée avec les deux équations de la courbe, suflSt à résoudre le problème ;

Que la solution est grandement facilitée lorsque la composante tangentielle de la force motrice est une fonction connue de Tare s : car on peut alors exprimer immédiatement la vitesse en fonction de cet arc.

Équilibre d'an point matériel asanjetll à demeurer sur nne eanrbe dannée.

112. — Pour que l'équilibre d'un groupe de forces ait lieu il n'est point nécessaire que la résultante soit nulle : il suflBt que cette résultante soit perpendiculaire à la courbe. Sa grandeur, ainsi que sa direction dans le plan normal, peuvent d'ailleurs être tout à fait quelconques, car la résistance de la courbe la détruira toujours, ou, en d'autres termes, il se développera toujoui*8 dans la courbe une résisUmce convenable , parfaitement égale et opposée à ladite résultante, et qui, par suite, l'annihilera.

MOUVEMENT D'UN POINT ASSUJETTI A DES LIAISONS. 2i7

Les forces considérées doivent donc satisfaire à cette seule condition de donner une résultante perpendiculaire à la courbe, condition qui est exprimée par Téquation :

X dx Y rfy Z dz

P '^"^P* ds'^v'Z

laquelle revient complètement à celle-ci :

Xdx'\'Ydy-\-Zdz = Oj

et signifie que le travail de la résultante est constamment uul. On peut aussi trouver immédiatement cette relation en exprimant que la suppression des forces ne change pas le mouvement , et que , par conséquent , le premier membre de réquation (C) du n"" 108 est égal à zéro. C*est pourquoi i'^oii dit que Téquatiou des forces vives sufiil à exprimer les conditions d'équilibre d'un point matériel assujetti à demeui*er sur une courbe donnée.

Théorèmes sénéranx iivr rintrodaetion

•n la svppreMlon brasqae des lialsens d'nv peint

malérlel.