CHOC ET EXPLOSION

113. — Jusqu'ici , dans le mouvement d'un point matériel assujetti à certaines liaisons telles qu'une surface, une courbe, un lien tendu, nous avons implicitement supposé que ces conditions existaient dès l'origine, et que le mouvement s'était toujours effectué en rapport avec les liaisons considérées.

Nous allons maintenant examiner le cas où le point matériel , en train de parcourir une certaine trajectoire, serait tout à coup dévié de son mouvement, soit par l'obliga-

2iS LIVRE II. — POINT MATÉRIEL.

tioo brusque de demeurer désormais assujetti à certaines liaisons déterminées, soit, au contraire , en étant soustrait aux liaisons qui le régissaient auparavant.

C'est ce qui aurait lieu, par exemple, pour un mobile qui, dans sa route, rencontrerait soudainemeat une surface fixe, sur laquelle il serait dès lors contraint de glisser. 11 y aurait ainsi introduction brusque de liaisons. Il y aurait, au contraire, une suppression, si le mobile, étant primitivement assujetti à demeurer sur la surface, en était tout à coup arraché et lancé dans une direction quelconque.

Ces phénomènes d'introduction et de suppression se présentent fréquemment dans la nature ; nous en reparlerons plus loin , et nous éclaircirons les termes de choc et d'^j?plosion, sous lesquels ils sont plus généralement désignés.

Lorsque le mouvement du mobile est parfaitement connu, avant le phénomène d'introduction ou de suppression, et qu'on connaît aussi les circonstances de ce phénomène luimême, le mouvement subséquent s'en déduit sans difficulté théorique. On pourrait donc se proposer ici de déterminer la trajectoire, et, en général, tous les éléments du mouvement qui succède au phénomène. Mais une semblable recherche, prise dans toute sa généralité, n'offrirait qu'un médiocre intérêt , et l'on se borne habituellement à mettre en évidence certaines propriétés qui ont seules une importance réelle , et qui concernent exclusivement la force vive du mobile. Ces propriétés sont renfermées dans les deux propositions suivantes :

1** Quelle que soit la liaison brusquement introduite à un moment quelconque du mouvement, la force vive avant rintroduclion est égale à la force vive après, plus la force vive correspondant à la vitesse perdue pendant l'introduction ; en appelant vitesse perdue celle qui, composée en grandeur et en direction , d'après la construction parallélo-

MOirVEMENT D*0N POINT ASSCJETll A DES LIAISONS. 219

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grammiquey avec la vitesse finale, donne pour résultante la vitesse primitive.

2° Quelle que soit la liaison brusquement suppi'imée, la force vive après la suppression est égale à la force vive avant, plus la force vive correspondant à la vitesse gagnée pendant la suppression; m appelant pareillement vitesse gagnée celle qui, composée avec la vitesse primitive, donne pour résultante la vitesse finale.

En résumé , pour un point matériel , toute introduction de liaison diminue la vitesse, et toute suppression Taugmente ; et la force vive diminue ou augmente elle-même d'une quantité correspondante.

Cest ce que nous allons démontrer successivement 114. — Introduetion brusque de liaisen!^. Pour éclaircir davantage ce qui va suivre, considérons tour à tour chacune des liaisons diverses auxquelles nous avons reconnu qu'un point matériel peut être assujetti. Ces liaisons reviennent toutes a faire glisser le mobile sur une surface ou sur une courbe assignée à priori.

1° Introduction brusque d'une surface.

Pig. 18* Soit un mobile M, qui ,

parcourant une certaine trajectoire sous l'action des forces qui le sollicitent, arrive en M avec une vitesse actuellement dirigée suivant MI. Supposons qu'à cet instant précis le mobile soit brusquement assujetti à se mouvoir désormais sur la surface A M B.

La vitesse M I peut être décomposée en deux autres, situées dans le même plan, Tune suivant la normale MN à la surface, l'autre suivant la tangente MT déterminée par

220 LIVRE H. ~ POINT MATÊBIEL.

rintei*seetîon de la surface avec le plan normal IMN.

Si le mobile possédait la seule vitesse MX, rien ne Fempécherait de glisser sur la surface, et, par suite, d'obéir à la liaison introduite, sans déterminer ultérieurement, de la part de cette surface , d*autre action que celle qui se développe dans le cas ordinaire de liaisons existant dès Torigine du mouvement. Mais, pour qu'il en soit ainsi, la vitesse normale MN doit être détruite. Donc l'introduction de la surface revient à anéantir brusquement la vitesse normale MN. Cet anéantissement se fait au moment même où le point M est dans sa position actuelle, et sans qu'il puisse continuer à se mouvoir suivant la direction M I, puisque la surface est impénétrable et oppose conséquemment un obstacle absolu. La destruction de la composante normale de la vitesse a donc lieu instantanément.

Quand nous nous exprimons ainsi, c'est, bien entendu, au point de vue théorique, et dans la conception idéale d'une surface mathématiquement inflexible. Mais n'oublions pas que , dans la nature, les choses , de -toute nécessité, se passent un peu difiëremment. Il n'y a pas de surface, si dure qu'elle soit, qui no se déforme légèrement sous la grande et brusque pression que le mobile, avec sa vitesse acquise, vient exercer sur elle. C'est pendant le temps trèscourt, et généralement inappréciable, de cette déformation, que la surface, par sa résistance continue, détruit la composante normale de la vitesse. Mais, quoique lé phénomène ait ainsi une durée réelle, sans laquelle, d'ailleurs, il ne se concevrait point , cette durée est assez petite pour que le phénomène abstrait, relatif à une surface mathématiquement inflexible, puisse servir de type d'assimilation au phénomène réel, et pour que le nom d'instantané lui soit attribué aussi bien dans la réalité que dans la conception théorique.

Pour eu revenir à notre démonstration, nous voyons que rintroduction brnsque de la surface joue le rôle d'une foi-ce

qui, pendant un temps extrêmement court, devrait détruire une certaine quantité de mouvement, et qui, par conséquent, doit être supérieure en grandeur à toutes les forces mo^ trices ordinaires. Car , pour une certaine quantité de mouvement à produire ou à détruire , la force doit croître à mesure que la durée de Faction diminue.

Les forces dans le genre de celle qui naît ici de Tassujettissement brusque du mobile à demeurer sur une surface ont reçu le nom de forces instantanées ou forces de choc. Ce terme de choc rappelle que la force se développe à l'occasion de la rencontre d'un obstacle par une certaine masse eu mouvement.

Cela posé, soit V la vitesse avant Tintroduction, V^ la \itesse après l'introduction ou la vitesse conservée suivant le plan tangent, etU la vitesse perdue, c'est-à-dire la vitesse suivant la normale, je dis qu'on aura :

Cette relation est évidente, car M N et MT étant perpendiculaires entre elles, on a

Ainsi , tout choc d'un point matériel contre une surface donne lieu à une diminution de vitesse, représentée par la construction du rectangle, et à une perte de force vive égale à-^mlJ^ On peut voir aisément à quelle fraction de la force vive initiale correspond, suivant les cas, la perte en question. Un a, en effet :

U = V €08 N IW I = V sin H M L I et, par suite :

222 LIVRE lî. — POINT MATÉBIEL.

en il<;8iguaiit par i cet angle H ML, qui a reçu le nom d'ang/e d'incidence.

Coite ivlaliou signifie que la fraaiou de la force vive îditiaU') qui représente la perte due au choc de la surface, est mesurée par le carré du siuus de Taugle d^iucidence. D où Ton conclut que cette p>erte est nulle ou totale, suivant que Taugle dlucidenœ est nul ou droit, ce qui est évident à friori,

Kemarque, — Si le point matériel n'est, après le choc, soumis à aucune force extérieure, la force vive ^ mV| , qui succèdes au < hoc, se maintient intégralement dans la suite (lu mouvement, car cette force vive ne peut pas être modifiée par le travail des seules forces de liaisons, qui est nul, comme on sait. L'obs(>rvation de la vitesse, à un moment quelconque après le choc, permet donc d*évaluer la perte due ù c(î choc. Si le mobile continue à être soumis à des forces extérieures, il n'en est plus ainsi. Cependant on peut, au bout d'un temps assez court, observer la vitesse du mobile pour s<^ rendie compte de la perte de force vive : car la variation apportée» pendant ce temps par les forces extérieures est négligeable par rapport à celle qui est due au choc.

2° Introduction brusque d'une courbe.

La démonstration est tout à fait semblable. La vitesse M I peut être décomposée en une vitesse suivant la tangente MT à la courbe, et une vitesse MN, perpendiculaire à cette courbe et située conséquemment suivant Fintersection du plan IMT avec le plan mené en M normalement à la'courbe. L'introduction de cette courbe revient donc à anéantir brusquement la vitesse suivant MN. Il en résulte, comme précédemment :

•- m V' = ^ m VJ -h -; m US

-~m\^ sin ^ I ;

MOUVEMENT D UN POh\ T ASSUJETTI A DES LIAISONS. 223

en désignant par i Tangle formé par la direction de la vitesse initiale avec la tangente à la courbe.

115. —Suppression brusque des liaisons. Supposons qu'un mobile, assujetti à demeurer sur une surface , soit .•^ arrivé actuellement eu un

certain point M, et qu'à ce moment précis il soit brusquement arraché de cette surface et lancé dans une certaine direction M 1. C'est ï^ ce qu'on exprime en disant qu'il s'est produit une explosion entre la surface et * le mobile, explosion qui a Fig. 1», eu pour résultat de rompre

les liens quelconques qui retenaient le mobile sur la surface, et de changer la direction de son mouvement qui s'effectuait suivant une certaine tangente M T.

La force de liaison de la surface étant diiùgée suivant la normale MN, la force d'explosion qui rompt cette liaison sera dirigée en sens inverse, c'est-à-dire suivant le prolongement MN' de la normale, et, puisque le mouvement, au lieu de s'effectuer suivant MT, s'effectue suivant MI, on doit considérer l'explosion comme ayant développé une force instantanée qui a subitement communiqué au mobile une certaine vitesse suivant M N'.

Si V est la vitesse MT, U la vitesse MN', et V^ la vitesse qui succède à l'explosion, je dis qu'on aura :

± m Vj == ^ m V2 4- T wi U^

C'est ce qui résulte évidemment de la construction du^ rectangle où l'on a Y^=V'^-+-U-.

La vitesse U est nonnnécî vitesse gagnée, comme dans le cas du choc elle était nunnnée vitesse perdue.

tik LWMJL U. — POIAT MATÉRIEL.

AÎDsî, toute explosHMi des UaùsoDS qui assujettissaient un point uMitêrîel à se oiouToir sur tue surface doune lieu à une augmentatloo de Tîtesse, représentée par la construction du rectangle, et à un gain de force vive égal à {mW.

Ou peut voir aisément à quelle fraction de la force vive initiale correspond le gain en question. On a, en effet,

U=VtangIMT,

et« par suite,

^ ••U' = ï»i V. tangue;

eu désignant par e langle I M T qu on appelle angle de projeeiiom. Cette relation montre que la fraction de la force vive primitive, qui représente le gain du à l'explosion , est mesurée par le carré de la tangente de Fangie de projection.

D*après cela, le gain de force vive est d'autant plos grand que Tangie de projection augmente davantage. Il serait infini si le m<AUe était lancé suivant la normale : en effet, pour que la vitesse résultante eût cette direction, il faudrait que cette vitesse composante MN' fut infinie. Au contraire, ce gain serait nul si le mobile s'écbappait suivant la tangente : car alors, il n'y a pas d'explosion proprement dite.

La suppression brusque de la liaison à une courbe offirirait les mêmes conclusions. Nous croyons donc inutile d'y revenir.

En définitive, on voit que les propositions énoncées au commencement de cet article se trouvent pleinement démontrées.