ÉTABLIS DANS LES TROIS CHAPITRES PRÉCÉDENTS, OU MÉTHODE

116. — Nous nous proposons ici de trouver, par une autre méthode, les équations fondamentales du mouvement d*un point matériel libre ou assujetti à des liaisons quelconques. Nous mettrons égaleinent en évidence les principaux résultats déjà obtenus.

Cette méthode, qui, au fond, ne peut différer de celle qu'on a précédemment employée, — car les vérités exprimées par le calcul sont nécessairement identiques sous des formes diverses, — a reçu le nom de métliode des mouvements vir^ tuels. La proposkion dans laquelle elle se résume est appelée principe des moments virtuels y et consiste en ce que :

Dans tout mouvement d'un point matériel, libre ou assujetti à des liaisons quelconques, le moment virtuel des forces extérieures est égal au moment virtuel de la force conservée.

LMntelligcnce de cet énoncé nécessite quelques définitions préalables.

Définitions.

On nomme position virtuelle d'un point matériel toute position que pourrait occuper ce point sans altérer les liaisons auxquelles il est soumis, on, en d'autres termes, toute position compatible avec Tétat de ces liaisons.

On nomme de même fnouvement ou déplacement virtuel tout mouvement dont la trajectoire ne passerait que par des positions virtuelles.

Ainsi :

Pour un mobile libre de liaisons, tout point de l'espace est une position virtuelle, et toute ligne continue est une trajectoire de mouvement virtuel : car, avec des forces convenablement choisies, le mobile peut toujours être transporté dans cette position et suivre cette ligne continue ;

Pour un mobile lié à une surface, tous les points et toutes les lignes de cette surface sont des positions et des trajectoires virtuelles, et les points et les lignes hors de cette surface ne sont pas des positions et des trajectoires virtuelles, car le mobile ne saurait y passer sans manquer à ses liaisons;

De même, pour un mobile lié à une courbe, il n'y a de positions virtuelles que les points de cette courbe, et de trajectoire virtuelle que cette courbe elle-même ; c'est-à-dire que les mouvements virtuels n'existent que dans deux sens, suivant les deux parties opposées de la tangente au point considéré.

N. B. Dorénavant, quand nous parlerons de positions virtuelles, il sera entendu, à moins de stipulation contraire, que nous envisageons uniquement les positions infiniment voisines; par suite, la trajectoire d'un mouvement virtuel se

réduira à rélément rectiligne infiniment petit qui joint le mobile à Tune de ses positions virtuelles.

On nomme moment virtuel d'une force appliquée à un mobile la valeur numérique de cette force multipliée par la projection, sur sa propre direction, du déplacement virtuel infiniment petit que Ton considère. — Le moment virtuel n'est, comme on voit, que le travail virtuel delà force, dénomination qui serait préférable; toutefois, nous conserverons la première qui a prévalu dans Tusage.

On appelle force conserve'e d'un mobile la force qui déterminerait à chaque instant le mouvement effectif de ce mobile, s'il étsftt complètement libre. Ainsi, v^u etw étant à tout moment les projections delà vitesse effective, la force capable de produire un semblable mouvement a pour com-

. dv du dw ^ ,, «

posantes, suivant les axes, w-j^, ^-jr> m-^. Cette force

est ce que nous appelons la force conservée; elle n'est autre que la force motrice elle-même si le mobile est libre; et, dans le cas où il se trouve assujetti, elle est la résultante de la force motrice et de la force de liaison. Cette force conservée est nommée aussi par certains auteurs force totale, pour indiquer qu'elle représente l'effet total reçu par le mobile, tant de ses forces extérieures que de ses forces de liaisons.

Le moment virtuel de la force conservée sera donc égal au produit de cette force, que l'on conçoit menée en grandeur et en direction, multipliée par la projection du déplacement virtuel sur celle direction ainsi tracée.

Cela posé, nous allons procéder à la démonstration dn théorème sus-énoncé.

117. — Soit m un point matériel quelconque, libre ou assujetti à des liaisons, P la résultante des forces extérieures ou motrices, et I la résultante des forces intérieures ou de liaisons (laquelle disparait si le point est libre).

228 LIVRE II. — POIXT MATÉRILL.

Soit X, Y,Z les composantes de P, et K,L,M celles de I; soit enfin une droite quelconque, menée par le point m, et 9 une portion arbitraire de cette droite, dont nous désignerons les projections sur les axes par ôx, $y, èz. Les angles de cette droite avec les axes auront respectivement pour cosinus

ix $y $z

dans lesquels Sx, 5y, $z ont des valeui*s tout à fait indépendantes les unes des autres si la direction de la droite est véritablement quelconque. — Bien n'empêclie, d'ailleurs, de supposer $x, $y et $z infiniment petits, tout en restant indépendants ; cela n*altèrera en rien la généralité de la position de la droite, et nous y trouverons cet avantage que, si nous voulons, par exemple, exprimer que ladite droite se confond avec la tangente d'une courbe, il suffira d'écrire :

$x =^dx ^ $y =idy ^ $z=:dz .

On sait, en vertu de la sixième proposition (n*» 66), que la projection de la force motrice sur une droite quelconque, est égale à la masse du mobile multipliée par l'accélération de la vitesse projetée sur la même droite. Appliquons ce théorème général à la droite désignée cidessus, en remarquant que, quelles que soient les liaisons du mobile, on peut toujours le considérer comme effectivement libre, pourvu qu'on entende par force motrice l'ensemble des deux forces P et I. Il viendra :

dt

MÉTHODE DES MOUVEMENTS VrRTUELS. 229

relation qui se simplifie considérablement en effaçant les facteurs communs et se change en celle-ci :

(2) X$x + YSy-\-Zàz4-K$x+LSy-\'M$z=^

dv ^ ^ du ^ , dw ^

Or le premier membre, sous la forme actuelle, représente précisément le travail ou moment de chacune des forces P et I pour un déplacement infiniment petit d«, dont la direction est d'ailleurs tout à fait quelconque ; quant au second membre, il représente le moment, pour le môme déplacement, de la force conservée, c'est-à-dire de la force qui a

do du dw pour composantes, suivant les axes, ^^—rj-j "^~j7f ^*';77 •

Jusqu'ici, nous avons laissé la droite os tout à fait arbitraire; si nous voulons que les moments considérés soient des moments virtuels, il faut exprimer que celte droite Ss est celle d'un déplacement compatible avec les liaisons. Dans ce cas, le moment de la force I disparaît nécessairement de l'équation (2) : car, si le mobile est libre, la force de liaison est nulle, et si le mobile est assujetti à demeurer .sur une surface ou sur une courbe, la force I est perpendiculaire à la dircctiou de tout déplacement virtuel, et, par suite, son moment est nul.

Donc enfin l'équation (i>) se réduit à celle-ci :

(M) X èx + Y Jy + Z Sz = m (| $x + J ^y + ^ $*) ,

laquelle démontre la proposition annoncée, savoir : que le moment virtuel de la force extérieure est égal au moment virtuel de la force conservée.

Cette proposition, ne l'oublions pas, n'est que la IranS" fortnation algébrique du théorème général du n° 66; et, comme c'est ce théorème qui sert exclusivement de base

'i'ill IJ%IE IL — FUIM IIATÉBIEL.

;iii\ (M|iiulioiis rlii moavomeni iroav<'*es dans les chapitres |)i'<>('i*(l<*iits, on p(fiit s attendre ù voir ces mêmes équations iiiipli(!itemeiit contenues dans la proposition actuelle. C'est, vu eiïct, ce que nous allons montrer.

118. — V Ëje pélBt Bialériel est libre. — Dans ce cas, liMit (li'placcment est virtuel. Par conséquent, $x, $y, $z houl absolument quelconques et indépendants les uns des autrrs. Donc les coeiGcients de chacune de ces trois quanlih'*s dans ré(|uation (M) doivent être séparément nuls; ce qui fournil les trois relations

V dv ^ du „ dw

dt . dt dt ^

l('H<|U(«lleH ne sont autres que celles qui conviennent au mou-

Nomoiil d*un point libre. Ainsi, le principe des moments

Ndiuols n'viont, en définitive, aux équations fondamentales

oi'^ltiinin'S, 01 cela doit être : car celles-ci, exprimant que la

|\iHv|Mïsiiion du n* 66 a lieu pour les trois directions des axes,

«ApHuiont |>ar là même qu'elle a lieu aussi pour une direc-

\\\\\\ i|iu'l<x>nque, et, par suite, pour celle dont les cosinus

. . • is iy $z

\\\\\ 010 ivpn^sontes ci-dessus P^^ j;^ > Ff» >7 •

^^^ l«t^ IM^m Miilfrlél est assi^tll k demeurer s«r une «m'fliiM^. - IVius oecâs, lout déplacement n'est pas virtuel; ov l^s^w^1^i^M^ ^XO no oonvîoui qu'à un déplacement virtuel ; il Www ^l>^«o ovj^nuHHT qiK* ijr. Jjf , iz ne sont pas entièrement ^Mo(s\vi^\H^\x. n^;ii:^ doivoni saiisfaire à la liaison supposée, 01 ^Mo, (vir MU(o. U |HV!4iù>n dont les coordonnées sont ^ I .Vxj» i x%.c f c? osiHnoposîUon virtuelle, OU que ses v\HO\>I^MiM^N\< N^lî:^>«t i rt\itt;!Hk>n do la siuface/X^, y, z)=o. \W\^\^ 1^^ \.^U^it^ ;iirbîir3iiw« quim peut assigner à isj Sy, Ji*» nU^^î^ IVsjiwilh^ v^^ ^^' i>Mifennees dans le cercle de

ou bien

MÉXIt(H)E DES MOUVEMEiNTS VIRTUELS. 2M

en ayant égard à ce que f(x, y^ ^) = o, et à ce que $x, $y, $2 sont des infiniment petits, dont les puissances supérieures à la première sont négligeables.

Dès lors, il faut éliminer entre ces deux équations une des trois quantités ^;r, $yj Szj et exprimer que celles qui restent dans Féquation finale sont désormais quelconques ou que leurs coefficients sont isolément nuls.

En effectuant ce calcul, on trouve :

dz dx \di dz dt dxj '

dy dx \dt dy dt dx)

A ces équations on doit joindre l'équation de la surface pour trouver les trois coordonnées en fonction du temps.

Ce sont précisément celles qu'on a déjà établies au n° 101; et cela doit être, car, dans Tune comme dans Tautre méthode, on fait disparaître la force de liaison en exprimant qu'elle est normale au déplacement, ou que ce déplacement est virtuel puisqu'il est situé dans le plan tangent.

On peut aussi mettre les équations du mouvement sous la forme (A) du numéro précité. Il suffit pour cela de faire l'élimination par un autre procédé , entre les deux équations (M) et (N). Employons pour faire disparaître ^z la méthode dite des coefficients indéterminés. Nous multiplierons (N) par une constante A, et nous ajouterons à l'équation (M) : la quantité h sera déterminée par hi con-

232 UVRE U. — POIKiT MATÊBIBL.

dition que dans l'équation résultante le coefficient de $z soit nul. Cette équation résultante est

(i)(x + 4)^.-|-(Y + A|)5y+(z + A^J.= fdv ^ , du ^ , dw ^\

La valeur de h doit être telle, avons-nous dit, que le coefficient de $z soit nul ; cette valeur étant ainsi déterminée et portée dans les coefficients de Sjp et de Sy, il faudra, d'après la nature de.la question, que ces coefficients eux-mêmes soient nuls. Cela revient à avoir les trois relations :

Si on élimine A, on retombe sur les équations (C) précédemment trouvées. Mais au lieu de faire l'élimination, interprétons le sens de ces trois relations.

Elles expriment que, suivant chacun des trois axes, le mouvement a lieu comme si le point matériel était parfaitement libre et sollicité par l'ensemble de deux forces : l'une dont les composantes sont X, Y, Z, et qui n'est autre que la force extérieure ; l'autre, qui représente conséquemment la

, df ^ df force de liaison , dont les composantes sont ^^-j^T» "'d^

h -^. Cette force de liaison, que je désignerai par K, est

donc égale à-g-, en posant pour abréger

vW-DW

D'après ces notations, les composantes /i. ^ , h-r-^ h-J^

de la force de liaison seront respectivement représentées par

dx dy dz

mais on sait que les angles X, fx, v formés par la normale à la surface avec les axes coordonnés, ont pour cosinus

"ai' "^» ^di'

donc les trois relations (2) prennent la forme :

X+KcosA = m^, Y-hKcosfji=m-7-, Z-|-Kcosv=m-T-.

Ce sont là précisément les équations (A) du n*" 101.

3*" Le point matériel est assujetti à demeurer sur uue eouriie. — Dans ce cas, il faut exprimer que ^x, $y, 5z ne sont pas quelconques dans Téquation (M), mais représentent un déplacement virtuel, c'est-à-dire le seul déplacement qui peut avoir lieu sur la courbe donnée. Il faut donc que ces trois quantités satisfassent aux deux équations qu'on obtiendra en substituant à x, y, z, dans les deux équations de la courbe, les coordonnées x+Sx, y-h^y, z-\'§z. Dès lors, il faut éliminer entre l'équation (M) et les deux nouvelles équations dont nous parlons, deux des quantités $x, ôy, ôz, et écrire ensuite que le coefficient de la troisième est nul.

Soit f(jr,y,z) = o et cf (j?, y, z)=o les deux équa-* tions de la courbe : l'élimination devra avoir lieu entre l'é^ quation :

(M) X 5.^ + Y dy + Z$z=m(^ Jar+^^y + ^ O^j) ,

256 MVRE 11. — K>INT MATÉRIEL.

et eelles*-ci :

\dx dz ^ dz

Employons la loétliodc des coefficients indéterminés; à ret effet, multiplions les équations (N) respectivement par A et par /, et ajoutons avec Téquation (M), il vient :

En égalant à zéro chacun des multiplicateurs de $x, Sy^ $z, on a les trois équations :

entre lesquelles il faut éliminer A et / pour avoir Téquation qui, réunie à celles de la courbe, permettra de trouver j?^ y, z en fonction de t. Si Ton fait cette élimination, on trouve

X rfj: 4- Y rfy -h Z rfz = rf \ni V ,

ce qui est précisément l'équation (C) du n** 108. On devait s'y attendre, puisque, dans l'une comme dans l'autre méthode, on fait disparaître la force de liaison en se fondant sur ce qu'elle est perpendiculaire à la courbe ou au déplacement virtuel.

MÉTHODE l>li:S MOUVEMENTS VIRTUELS. 2K

On peut aussi, comme ci-dessus, interpréter directement la signification du système des équations (2).

En reproduisant les mêmes considérations, il est facile de

voir que les quantités h -4-, ^d^ ^d ï^P^^^sentent les

trois composantes d'une force qui serait justement la force de liaison dans Thypothèsc où le mobile serait assujetti seulement à demeurer sur une surface ayant pour équadoii

f(Xj y, z) = 0. Pareillement, les trois quantités ^-^ »

/ -^ , / -^ représentent les trois composantes de la force

de liaison qui correspondrait à la surface cp Qv, y,z) = o. Or, le point matériel qui serait assujetti à se trouver simultanément sur chacune des deux surfaces f{a?, y^ z) == o , 9 (^> y, ^) = o serait assujetti par là à se trouver sur leur intersection, c'est-à-dire sur la courbe donnée. Par conséquent, Tensemble des deux forces de liaisons qui correspondent respectivement aux deux surfaces représente la liaison qui corrrespond à la courbe. Donc, les trois quantités

représentent les trois composantes suivant les axes de la force qui équivaut à la liaison de la courbe. Cette force est d'ailleurs nécessairement normale à la courbe, puisque les deux forces relatives aux surfaces, dont elle est la résultante, sont respectivement normales à ces surfaces, et que par suite le plan de ces deux normales, dans lequel est ladite résultante, est perpendiculaire à l'intersection des deux surfaces, qui est la courbe donnée. Si donc la force de liaison relative à la courbe est représentée par K, et ses angles par X, (AyVy on peut écrire :

2S6 UVRE II. — POINT MATÊRIEt.

(3) {Kcosu = A| + /g.

Kcosv = /i^ + /^; dz dz

et par suite, les équations (2) prennent la forme des équations (A) du nM08.

k"" l^e point matériel étant lllire ou assujetti, les forées se font équilibre. — Il faut exprimer que ces forces sont sans influence sur le mouvement du mobile, et que, par suite, le premier membre de Téquaiion (M) est nul, ce qui donne la relation

(M') \$x 4- Yjy 4- Z Jz = o .

Si le mobile est libre, cette relation donne les trois conditions

S'il y a une surface, il faut combiner (M') avec l'équation

absolument comme nous faisions tout à Theure dans le cas du mouvement. On en déduira les deux conditions d'équilibre déjà connues :

dy dx ^ dz dx '

£nân, s'il y a une courbe, on combinera la même équation (M') avec les relarions

et Ton trouvera comme précédemment,

Xda;-f-Yrfy4-Zrfz = o.

5° Introduction oujsuppresslon brusque des liaisons.

— Examinons d'abord le cas de Tintroduction.

Supposons qu'aucune force extérieure n'agisse sur le point matériel, au moment où la liaison s'introduit. L'équation des moments virtuels est à cet instant précis -

,M\ dv ^ , du ^ div ^

Or, on peut prendre alors pour déplacement virtuel un déplacement qui, après l'introduction, sera compatible avec le nouvel état des liaisons. Le déplacement effectif satisfait très-bien à cette condition, car la position du mobile est la même, avant et après l'introduction, puisque la durée est infiniment petite. Si nous représentons ce déplacement effectif par dx^,dy^j dzj^^ on aura :

dv j , du , dw j

Prenons l'intégrale par rapport au temps, pour la durée infiniment petite de l'introduction ; les quantités dx^y dy^y dz^ ne changent pas. Appelons Vj, w^, w^ les composantes de la vitesse V^ aussitôt après l'introduction ; il viendra

Or, soit U une vitesse dont les composantes, suivant les trois axes, soient égales à v—Vj^, u — u^, w—tc^. La vitesse initiale V, qui a pour projections r, u et m?, est donc la résultante de la vitesse U et de la V| (U est ce que

238 LIVRE U. — POIHT MATÉBIEL.

nous avons nommé au n" 114 la vitesse perdue). L équation (2) donnera, en remarquant que r, = -^ , m, = -^, dzt

^ = sr ^"^ " ^^^ '^ d^ ^"^ — ^^^ '*"dt ^^ ~ ^'^ =

= v^{v — v^) + w, (m — u^) + tr, (t» — tr,) =

= UV, cos(U,VJ.

D*un autre côté, puisque V est la résultante de TJ et de Vj, on a

V^ = U« + V J 4- 2 U V, ces (U, V J , et, par suite,

L 7» V* = ; I» Vj -+- i m U* ,

ce qui est la relation démontrée au n* 114.

On ferait une démonstration analogue pour la suppression des liaisons.

N. B. Nous avons supposé qu'aucune force extérieure n'agissait sur le mobile pendant l'introduction. On peut toujours faire cette hypothèse, car la durée de l'introduction est si courte que les forces extérieures sont absolument sans influence sur les variations de la vitesse.

De tout ce qui a été développé dans le présent numéro, il ressort que l'équation des moments virtuels donne exactement les mêmes résultats qu'on avait déjà obtenus dans les précédents chapitres. Nous avons d'ailleurs eu soin d'indiquer que les deux méthodes procèdent directement du même principe, savoir celui qui fait l'objet de la sixième proposition du n" 66.