THÉOBKMES SUR LE CENTRE DE GRAVITÉ

1»>3. — Reprenons le groupe d'équations (^) du n** 130 ; (g) ^X=2mg, iY = 2m0. 2Z=2m^.

Considérons le centre de gravité d'un système quelconque, centre qui , ainsi que nous l'avons dit , varie à chaque instant de position, suivant le mouvement des points matériels. Les coordonnées E, y;, Ç, de ce centre perpétuellement mobile sont constamment déterminées par la condition :

llm = lfnx^ Yilm=lmy , t,lm=2tm;

ou, en appelant abréviativement M la masse totale Im du système ,

(A) M^ = 2wu;, Mri^=lmy , MÇ = 2w2.

Si l'on différencie deux fois chacune de ces trois équations, on en tire :

/<x *.^'^ V d}x ^d^Ts ^ (Py ^.d^t ^ d^z (1) M^, = 2m^. M^ = 2m^, M^, = lm^.

MOUVEMEM GÉNÉRAr. 277

Par suite, les équations (</) devienncut :

(2) 2X = Mf. 2Y = M^. 2Z = M^^.

Or, si Ton prend un point matériel unique, dont la masse soit égièle à M, c'est-à-dire qui nécessite, pour se mouvoir, la même force que la masse M, et si Ton applique a ce point une force unique, dont les composantes suivant les trois axes aient respcctivemcut pour valeui's numériques iX, 2 Y, 2 Z, ce point matériel recevra un mouvement qui sera justement représenté par les équations (2) ci-dessus. De là on déduit la conséquence suivante :

Dans tout système de points matériels, unis entre eux d'une manière quelconque, ou même absolument indépendants les uns des autres, le centre de gravité se meut comme un point matériel unique, dont la masse serait égale à la masse totale du système, et qui sei^it sollicité par une force dont les composantes, suivant les trois axes, seraient respectivement égales aux sommes algébriques des composantes de toutes les forces extérieures du système.

On énonce aussi cette proposition en disant :

Que le centre de gravité se meut comme si toutes les masses y étaient condensées en un point unique, et toutes les forces extérieures transportées parallèlement à elles-mêmes.

Il ne faut pas perdre de vue que cette vérité est subordonnée à Texactitude des équations (gr), lesquelles, comme on sait, ne subsistent qu'autant que le système est entièrement libre, ou qu'aucun point matériel n'est assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface donnée : car , dans le cas contraire, la force d'assujettissement ne disparaît pas

en ajoutant les équations (A), (A'), et elle subsiste dans

les équations {g).

Mais, dans l'hypothèse de la liberté complète du système, on voit que toutes les forces intérieures sont absolument

278 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉIUELS.

saus influence sur le mouvement du centre de gravité. Ce mouvement est indépendant aussi des points d'application des forces extérieures. Il ne dépend que de la valeur des sommes algébriques des composantes, en sorte que les forces peuvent être distribuées d'une manière quelconque sur les divers points du système, quitter certains««d'entre eux pour être reportées sur d'autres, diminuer ou augmenter individuellement ; pourvu que les sommes algébriques totales restent les mêmes, le mouvement ne sera aucunement modifié.

13/j. — Cela nous montre que \ abstraction du point matériel unique, introduite au commencement de ce cours, est susceptible d'être réalisée au point de vue mécanique. Je veux dire par là que, dans chacun des corps que nous vouions étudier, il y a toujours un point mathématique qui se meut d'après les lois abstraites du point matériel uniqiie, sans que la forme ou les dimensions du corps puissent infltier sur son mouvement. C'est là ce que nous entendions, lorsque, dans les premiers numéros de cet ouvrage, nous parlions du mouvement envisagé en bloc, et sans tenir compte des mouvements individuels des diverses particules. Nous sommes impuissants à réaliser directement un point matériel de dimensions négligeables sur lequel nous fassions agir une force : car une parcelle de matière, si ténue qu'on la choisisse, est encore un corps fini, auquel les lois abstraites ne sont pas rigoureusement applicables; mais ces lois, dépourvues d'une portée concrète immédiate, en ont une indirectement, dans chaque corps, pour le point géométrique dont nous parlons : en sorte qu'il y a un grand intérêt à édifier d'abord cette théorie comme si nous devions l'adapter à des objets réels, puisqu'elle convient exactement, dans tous les cas, à un certain point spécial de tous les corps possibles, solides, liquides, gazeux, et doués en général d'une constitution quelconque. Ces mêmes considérations

MOUVEMEM (ÎÉ.NfeUAL. 279

mettent en lumière le degré de rigueur (lu'on doit atteindre en traitant un corps donne comme un vrai point matériel. ÎI ne sufiirait pas, en effet, de savoir, a priori^ que ce corps est plus ou 7notng petit, pour en conclure l'approximation provenant de cette fausse assimilation : car nous ne saurions alors nous rendre compte de Terreur dont seront entachées les conséquences. Rien n empêcherait de concevoir que le fait de dimensions finies, si petites, d'ailleurs, qu'on se plairait à les imaginer, change radicalement les résultats qui conviennent exclusivement à une pure abstraction. Au contraire, après avoir démontré que, dans tout corps, il y a toujours un point qui satisfait absolument à l'assimilation, on en peut conclure avec certitude le degré d'approximation apporté par des dimensions quelconques. Les tiajecioires des diverses particules ne différeront plus évidennnent les unes des autres que d'après l'étendue de ces dimensions ellesmêmes : en sorte qu'on voit tout de suite que, pour une partie matérielle suffisamment petite, l'erreur commise devienl véritablement négligeable. On peut dire aussi que toul corps, aussi grand qu'on voudra, pourra toujours servir de p(>î/i/ matériel^ pourvu qu'on considère seulement dans ce corps le mouvement de son centre de gravité : peu importera, d'ailleurs, les endroits précis où seront diieclement appliquées toutes les forces qui le sollicitent.

135. — Les équations (2) ci-dessus font voir également que, dans tout système ou collection de points, pour lequel les forces extérieures sont nulles ou donnent, suivant les axes, des composantes égales et de signes contraires, le mouvement du centre de gravité est recliligne et uniforme. C'est ce qu'on nomme le principe de la conservation du centre de gravite. Eu effet, par suite de l'hypothèse iX=o, 2Y=o, 11=0, les équations (2) fournissent :

d'i ,. dr, , ^, de

M ^ = const , -^* rfi" = ^®"^^- ' ^^ dt ^ ^ •

280 MVUL m. — SYbTÈMFS MATÉRIELS.

ce r)iii nous appieiul d*abord que la vitesse de ec centre est constante. En outre, on déduit par une nouvelle intégration :

(3) l = ct-{-c,. Y. = c't-\-c\, }:=c"t-\-c'\,

Cy e,, c , .... étant six constantes. Or ces relations sont évidemment les équations d'une droite.

Ce résultat donne lieu à des réflexions de même ordre que celles (|ue nous avons déjà faites à l'occasion de la quantité totale de viourement. Puisque, dans la nature, il n'y a ni point, ni courbe, ni surface réellement fixe, et que tout, en définitive, s'y résout en forces intérieures égales et opposées deux à deux, s'exerçant sur toutes les molécules de notre monde planétaire, dont l'ensemble constitue un seul et vaste système dynamique, le centre de gravité général jouit d'un mouvement déterminé par les équations (3). Il est immobile ou serment uniformément en ligne droite, sans qu'aucune action locale, 'se développant sur un point ou sur un autre, puisse jamais l'en faire dévier. Nous ignorons si les mêmes lois fondamentales qui régissent le système planétaire gouvernent aussi le reste de l'univers. Mais ce qu'on peut affirmer, c'est que, dans le cas où notre système serait complètement indépendant des autres parties de la création, son centre de gravité, qui se confond sensiblement avec le soleil, serait immobile ou se mouvrait uniformément en ligne droite ; et dans le cas, au contraire, où la loi des actions réciproques se vérifierait entre toutes les parties du monde, le mouvement solaire ne serait plus uniforme, mais ce résultat conviendrait alors au centre de gravité universel. Les observations astronomiques ayant constaté, depuis une soixantaine d'années, que le soleil, avec tout son cortège, est emporté dans l'espace suivant une trajectoire et une vitesse encore inconnues, il est permis de penser que le mouvement de notre centre de gravité tient à ce que nous faisons partie d'un système dynamique beau-

MOUVEMïiNT GÉ.NÉRAl.. 281

coup plus gcMiéral, comprenaut renseniblc du monde, et dont le centre de gravité est sans doute Immobile. Si plus tard Fastronomie parvient à reconnaître que la translation du soleil n'est pas uniforme, on pourra en conclure sûrement qu'il n'y a pas indépendance entre nous et les autres astres -, et alors, la dépendance se trouvant ainsi démontrée, il y aura une forte probabilité pour que la loi de réaction soit pleinement observée. Mais ce ne sera jamais une certitude complète, car la dépendance pourrait être réalisée suivant tout autre mode que la parfaite réciprocité d'action. Rien n'empêcherait, par exemple, que nous fussions portés vers les autres astres, sans qu'ils fussent eux-mêmes portés vers nous, ou que l'une des deux actions fut un certain multiple de l'autre.

Si nous envisageons un oi^re de phénomènes moins vastes, nous pouvons faire également quelques réflexions intéressantes. La loi de réaction préside à lous. nos efforts mécaniques. Nous ne pouvons susciter, soit par le jeu de nos propres organes, soit par les agents qui nous obéissent, aucune force sur un corps, sans développer en même temps une autre force égale et contraire s'exerçant fatalement sur quelque autre coips. Nous sommes condamnés à ne jamais déplacer le centre de gravité de l'ensemble des objets matériels entre lesquels se produisent nos actions motrices. Aussi, dès que nous voulons mouvoir un corps quelconque, il est indispensable que nous en ayons un autre sur lequel s'appuie l'effort contraire, et qui reçoive en quelque sorte le contre-coup du résultat que nous cherchons. En un mot, chacun de nos eflcts utiles correspond inévitablement à un eflfet inutile qui doit s'absorber dans la masse des objets environants. Il y a un double intérêt à ce que ces corps étrangei's, qui, malgré nous, s'associent à tous nos phénomènes mécaniques, aient une masse aussi grande que possible. Car les mouvements contraii'cs qu'ils recevront seront alors fort petits, ce qui les

282 LIVBE III. — SYSTÈMES MATÉRIEÏ^.

laibsora mieux à •iiotrc disposition : il sera même désirable à ce point de vue que ces corps ne bougent pas d'une manière appréciable, afin de donner à nos opérations dans chaque lieu une base constante, qui souvent leur est absolument nécessaire. De là ces supports ou points d'appui, qui ne sont pas en réalité des objets fixes, — car il ne peut y en avoir dans la nature, — mais qui ont pour but, en nous reliant autant que possible avec le globe lui-même, d'absorber les réactions dans une masse assez grande pour que le mouvement en devienne insensible : de sorte que les corps qu'on se propose effectivement de mouvoir se meuvent seuls en apparence. Un autre motif, qui conduit également à adopter de telles dispositions, est tiré de cette circonstance que toutes les forces dont nous nous servons ne peuvent généralement agir que le long d'un espace limité. Ainsi la poudre qui meut le boulet, ou la vapeur qui meut le pistou, n'agissent que suivant la longueur du canon ou du cylindre. Il faut donc tacher que le mobile profite de toute cette longueur. Je m'explique : supposons q^ie le canon soit aussi léger et aussi libre que le boulet, il en résultera que le recul sera égal à la projection, et que, par conséquent, le boulet se trouvera hors du canon lorsqu'il aura parcouru un espace absolu égal seulement à la moitié de la longueur de ce dernier. Au contraire, si le canon ne recule pas sensiblement, le boulet ne s'en échappera qu'après en avoir suivi la longueur entière. Il aura donc profité de la force deux fois autant que dans la première hypothèse. Cette considération vient ainsi se joindre 5 la précédente pour faire établir, dans toutes nos opérations mécaniques, un certain nombre de poi7its d'appui, qui reçoivent le nom de points fixes quand leur mouvement est inappréciable. On les retrouve dans tous nos phénomènes, depuis les plus simples jusqu'aux plus complexes. Dans l'acte de la marche, par exemple, les êtres animés, qui, abstraction faite des objets environnants, cons-

tituent autant de systèmes dynamiques, impuissants à déplacer leur centre de gravité, ne peuvent se transporter dans un sens quelconque que s'ils trouvent un point d'appui qui fournit la réaction en sens contraire. Placés sur le sol, ils peuvent s'élever ou s'abaisser, parce que la résistance du plan fixe développe nécessairement une réaction verticale. S'ils peuvent aussi avancer ou reculer horizontalement, c'est que le sol est susceptible de fournir une réaction horizontale : cette réaction a lieu en effet, et elle est due au frottemeut que les aspérités du plan font naître sous les pieds du moteur. Sur un sol sans frottement, parfaitement poli, la marche serait impossible. On sait combien elle devient déjà difficile sur la glace ou un plancher ciré. Ce sont des faits de même ordre qui se produisent dans le transport d'un convoi de chemin de fer. L'ensemJ)le des rails et des véhicules constitue une machine dont les rails sont le point d'appui. La réaction grâce à laquelle le convoi peut progresser, se développe à chaque instant au contact des roues de la locomotive et des rails. La résistance au glissement est suffisante pour que le point de contact actuel des roues soit momentanément fixe et comme lié aux rails. Ce perpétuel api»ui joue le rôle du frottement sous les pieds de l'être animé en marche. Ces réflexions sur le centre de gravité sont évidemment la seule manière générale d'envisager les phénomènes mécaniques de l'univers et de rendre compte de certaines conditions fondamentales qui président à leur accomplissement.