THÉORÈMES DES AIRES

136. — Reprenons encore les équations (A), (A')... pour en déduire de nouvelles conséquences, communes aux deux sortes de systèmes.

Formons, au moyen des trois équations (A), les relationscon-

ceruaiil les nioineiits vi les aîrcs, que nous avons déjà établies pour un seul point matériel au n** 89, et qui sont lessuivaules:

Les pi*emiei*s membres y représentent, comme on sait, le moment de la projection de la force motrice totale sur chacun des trois plans coordonnés, et les seconds membres désignent le produit de la masse par la projection sur les mêmes plans de Taire que décrit le rayon vecteur mené de Torigine au mobile.

Dans le cas qui nous occupe, la force motrice totale de chaque point est distinguée en force extérieure, désignée par X, Y, Z, et en force intérieure ou de liaison, désignée par L, M, N. Pour donner aux relations ci-dessus la forme qui convient aux notations actuelles, il faut y remplacer la force totale unique par la double force extérieure et intérieure. Par suite, les équations des moments, relatives au point m du système, deviendront :

(a) X2: — Zoî -+- Lz — No? = m f T-j' 2 — ^ a? j , Zy-Y^ + Ny-Mz = m(^y-gzj.

Les premiers membres y mettent ainsi en évidence le do'iblc moment de la force extérieure et de la foixîe intérieure, projetées sur chacun des plans coordonnés.

Établissons les relations analogues pour chacun des autres points du système.

Cela posé, ajoutons ensemble les premières équations de tous ces groupes (a), (a').... Le premier membre de Téquation résultante représentera : 1° la somme des moments de toutes les forces extérieures projetées sur le plan des xy; 1"* la somme des moments de toutes les forces intérieures projetées de même. Or, je dis que cette dernière somme est nulle. En effet, les forces intérieures, provenant séparément de chaque liaison dynamique ou géométrique, sont deux à deux égales et de directions opposées. Donc elles se projetteront deux à deux suivant une même ligne droite et avec des signes contraires. Par suite, la somme algébrique des deux moments correspondants sera égale à zéro. Donc enfin la somme de tous les moments relatifs à Funiversalité des forces intérieures du système se trouvera identiquement nulle.

En conséquence , Féqualion finale dont nous parlons, comme aussi les deux autres équations provenant de l'addition des deuxièmes et des troisièmes équations de tous les groupes (a), (a')... deviendront ;

2(Y.-Xy)=2«»(5x-^y).

{k) l{\z-Zx)=lmi^z-'^,xy

ce qui nous montre que toutes les conséquences relatives au point matériel unique soitt textuellement applicables à un système quelconque parfaitement libre, pourvu que, dans tous les énoncés, le moment^ Vaire, et en général, la quantité qui y figure, soient remplacés par la somme des mo^ menfs, des aires et en général la somme des quantités analogues concernant les divers points matériels.

286 LIVRE III. — SYSTËIIE8 yATÉRIEF^.