Nous allons formuler les conséquences principales

En premier lieu , nous remarquerons que les forces intérieures nlnfluenl nullement sur la somme des projections des aires décrites. Cette somme est exactement la même que si tous les points étaient indépendants les uns des autres. Ainsi la somme des moments de toutes les forces extérieures projetées sur chacun des trois plans coordonnés, ou, ce qui revient an même, projetées sur un plan quelconque, est égale à la somme des aires décrites, projetées sur le même plan, respectivement multipliées par les masses des mobiles.

Une première intégration des équations (*) montre également que rimpulsion de la somme des moments de toutes les forces extérieures est égale , dans le mouvenient projeté sur un .plan quelconque, à la variation de la somme des moments de toutes les quantités de mouvement.

Si les forces extérieures sont deux à deux égales et de sens opposés, ou s'il n'y a pas de forces extérieures, les premiers membres des équations (k) sont nuls, et, par suite, en désignant par dl, rfX', dW les aires élémentaires décrites par le point m, suivant chacun des plans coordonnés, les relations (A) deviennent

On on déduit par une double intégration :

(2) 1ml = ï Af , 1ml' = { A'f , 1ml" = ^ k"t .

Nous ne faisons figurer qu'une seule constante dans chaque équation, parce que nous supposons que les aires sont comptées à partir de l'origine du temps. S'il en était autrement, et si les aires étaient évaluées depuis un moment quelconque, il faudrait ajouter une deuxième constante dont la valeur serait égale, pour chaque plan coordonné, à la somm^

des masses respeciivement multipliées par les projections des aires comprises entre les rayons vecteurs initiaux et ceux depuis lesquels les aires décrites sont comptées.

Ainsi, pour un système dynamique ou géométrique, dont les forces extérieures sont nulles ou égales deux à deux et opposées, la somme des projections des aires sur un plan quelconque, respectivement multipliées par les masses des points matéi'iels, augmente uniformément ou d'une manière proportionnelle au temps. C'est ce qu'on nomme le principe de la eoniser%:ation dea aires, ou, plus judicieusement, le prificipe de la proportionnalité des aires.

Celte conséquence est susceptible d'être présentée sous une autre forme, en cherchant une signification différente aux seconds membres des relations (A). Dans le cas de forces extérieures nulles, on en déduit immédiatement, d'après les considérations développées au n** 91 :

„ Idx dz \ .,

^•" (s »-rf «) = *"■

Au lieu de faire ressortir, comme tout à l'heure, que la quantité entre parenthèses, des premiers membres , représente le double de la projection de l'aire décrite, remarquons qu'elle peut se mettre sous la forme ux — vtj, vz—wx, wy — uz^ et qn'elle désigne alors, pour chacun des trois plans coordonnés, le moment de la projection de la vitesse du mobile .considéré. Il en résulte que, suivant chaque plan coordonné, ou en général suivant un plan quelconque, la somme des moments des quantités de mouvement de tous les points matériels ne varie pas avec le temps. C'est là ce qu'on

288 MVRE rn. — systèmes matériels.

nomme \û caunerratian du moment de la quantité totale de mouvement.

On peut donner ù ce principe une intei'prétation plus concrète peut-être, en imaginant des forces instantanée,

— c'est-à-dire des forces assez grandes pour produire une vitesse finie dans une durée négligeable, — telles que, si on les appliquait soudainement à tous les points matériels du système, elles les ramèneraient au repos. Soit £, F, G les composantes de la force totale qui sollicite le point m pendant Taclion du groupe de forces instantanées appliqué au système. Cette force E, F, G provient à la fois de la force instantanée directement appliquée à ce point m, et aussi des forces de liaisons qui se développent spontanément en ce même point par suite de la présence de toutes les autres forces instantanées sur les différents points du système. Soit T la durée très-courte au bout de laquelle tous les points sont ramenés au repos : on aura, pour le plan des oey :

m {nx ^ vy) = f {Fx — Ey) dt = xf Fdl --t/l Edt;

— ûpety peuvent être mis lioi's du signe / parce que , pendant cette durée très-courte , la position du point m ne change pas sensiblement. — Désignons par E4,F4, G,, une valeur moyenne de cette force E, F, G, telle que

E.T^pErf^ Y.x^f'Ydt, G,T=rGdt:

t/o ^0 Jq

il en résulte que Téquation ci-dessus peut être mise sous la forme

m(ux ^vy) = z {h\x — E^y).

Donc, si Ton suppose que la somme des moments des quantités de mouvement est constante, on en conclura aussi:

T^ {F^x — E|.y) =consl. ; ou bien 1 (F^a?— E,y) = const.

Or, la quantité entre parenthèses représente le moment de la force E, F, G, projetée sur le plan des xy. De plws, il fout remarquer qu*en effectuant la somme on Tait disparatti*e tout ce qui est dû aux actions instantanées intérieures : car elles sont nécessairement , deux à deux , égales et contraires , quelle que soit d'ailleurs leur intensité; en sorte que, dans réquation finale ci-dessus, E, F, G ne représentent plus que les composantes de la forcé instantanée extérieure. Cette relation, ainsi que les deux autres qu'on établirait pareille* ment, signifient donc que, suivant chaque plan coordonné ou en général suivant un plan quelconque, la somme des moments du groupe de forces instantanées capable de ramener le système au repos possède la même valeur, quelle que soit l'époque du mouvement où on le fasse intervenir, et par suite quelles que soient les vitesses individuelles des divei*s points matériels.

On peut encore présenter d'autres conséquences, on reprenant notre remarque de tout 5 Theure, savoir que les actions intérieures qu*on peut susciter soudainement entre les points matériels sont toujours égales deux à deux et opposées. Il suit de là que si, par des moyens quelconques, l'état des liaisons vient à être modifié, soit par suppression de certaines d'entre elles, soit par addition de quelques autres nouvelles, la conservation du moment de la quantité totale de mouvement ne sera pas altérée, non plus que la conservation du moment du groupe de forces instantanées capable de ramener le système au repos. Si Ton conçoit par exemple que le système soit tout ù coup rendu invariable de forme, au moyen de liaisons nouvelles convenables, le corps solide qu'on obtiendra ainsi sera ramené au repos par un groupe instantané dont le moment sera le même que précédemment.

1 38. — En résumé, nous voyons que les moments des quantités de mouvement et des forces sont l'objet de déductions

29U LlVIiE 111. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

parallèles à celles qui oiU déjà élé établies à la fin du n" 151. Entre les deux séries d'idées il y a concordance parfaite. Ainsi nous avons à remarquer, comme au n"" 132, que, Tunivei*s constiluant un systènie dynamique, à actions réciproques, la proportionnalité de la somme des projections des aires, respectivement muitipliées par les masses de tous les points matériels, s'y vérifie nécessairement. £n négligeant les infiniment petits de cet univers, et en envisageant en outre chaque astre de notre système solaire comme un point matériel unique, on peut dire que la somme des projections, sur un plan quelconque, des aires décrites par le soleil, les planètes et leurs satellites, respectivement multipliées par les masses de ces astres, augmente uniformément avec le temps. Ou voit aussi que la somme des moments des quantités de mouvement de tous ces astres demeure constante à toute époque, qu*elle ne serait pas altérée si le système du monde était tout à coup solidifié, et qu'enfin le ntomefltdu groupe de forces instantanées capable de le réduire au repos ne change jamais avec la position et la vitesse des diverses parties.

Les plus simples phénomènes qui s'accomplissent autour de nous montrent de perpétuelles applications des théorèmes précédents, et notamment du principe de la conservation des aires. Les remarques relatives au mouvement des êtres animés sont présentées avec beaucoup de netteté dans la Mécanique rationnelle de M. Delaunay. Craignant de les affaiblir en y retouchant, nous nous bornons à les reproduire ici textuellement :

« Si nous supposons, dit ce géomètre, qu'un être animé « soit isolé au milieu de l'espace, qu'aucune force extérieure (( ne lui soit appliquée, et qu'il soit primitivement immobile, « non-seulement cet être animé ne pourra pas déplacer son « centi'e de gravitiî, mais encore il ne lui sera pas possible c( de se donner un mouvement de rotation autour de ce

(c point. En effet, de quelque manière qu'il fasse jouer ses « muscles, il ne peut développer que des forces inférieures; « Tabsencc de toute force cxti'îrieure entraîne donc comme « conséquence que la somme des aires décrites, en projec- (( tion sur un plan quelconque, par les rayons vecteurs éma- « nés de ce point, conserve constamment la même valeur « dans le même temps : donc cette somme d'aires doit rester « constamment nulle, puisqu'elle l'était pendant la première <c durée, en vertu de l'iiypotlièse que nous faisons que l'être <( animé était tout d'abord immobile. Ainsi, lorsqu'il fait « mouvoir certaines parties de son corps de telle manière « que la somme des aires qui leur correspondent, en pro- « jection sur un certain plan, ait une valeur positive, il y a « nécessairement d'autres parties du corps qui se meuvent « en même temps dans un autre sens, de manière à fournir « une somme d'aires négatives sur le même plan, afin que la <i somme totale des aires relatives à toutes les parties du <( corps soit égale à zéro. S'il s'agit d'un homme, par exem- « pie, et qu'il tourne sa tête à droite, le reste de son corps « tournera nécessairement vers la gauche; s'il porte une « jambe en avant, comme pour marcher, le reste de son « corps s'inclinera en sens contraire, c'est-à-dire que la tête « se portera également en avant et le milieu du corps en ar- « rière.

« Lorsqu'un homme est debout sur le sol, et que, primili- « vement en repos dans cette position, il commence à mar- « cher devant lui, il fait passer son centre de gravilé de

<( l'état de repos à l'état de mouvement En vertu du

(( théorème des aires, et conformément à ce que nous avons « dit il n'y a qu'un instant, en même temps qu'il avance une « jambe , le milieu du corps tend à reculer avec l'autre « jambe ; cette autre jambe reculerait en effet, si rien ne s'y « opposait, et le centre de gravité du corps tout entier n'a- « vaucerait pas. La seconde jambe ne pouvant reculer ainsi

292 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

« qiren glissant sur la surface du sol, cette tendauce au glis- « sèment développe un frottement qui s'y oppose, au moins

« jusqu'à une certaine limite

« Do mt^nie lorsqu'un danseur, s'appuyant sur le sol par <c la pointe d'un seul pied, veut se donner un mouvement <c de rotation autour de la verticale passant par son centre « de gravité, il ne peut pas produire ce mouvement par la V seule action de ses forces musculaires, parce que ces for- « ces étant intérieures ne peuvent pas faire que la somme « des aires décrites autour du centre de gravité, en projec- <( tion sur un plan horizontal, passe d'une valeur nulle à une « valeur différente de zéro. Mais si le danseur veiit pirouct- « ter vers la gauche, il donne à son corps un mouvement de <c torsion, en vertu duquel la partie supérieure tourne vers <( la gauche, tandis que la partie inférieure tend a tourner « vei's la droite; ce dernier mouvement ne pouvant se faire « que par un glissement des diverses parties du pied sur le <( sol, il en résulte le développement d'une résistance au <c glissement en chacun des points de contact du pied sur le « sol, et ces résistances sont des forces extérieures, pour « lesquelles la somme des moments, par rapport à la verti- « cale menée par le centre de gravité, n'est pas nulle, de i< sorte que, par suite de l'action de ces forces extérieures, « le corps du danseur peut prendre un mouvement de rota- « tion autour de la verticale. — Lorsqu'il a tourné nn peu « de cotte manière, sans que son pied cesse de toucher le « sol, il le soulève brusquement pour faire disparaître la « torsion qui en est résultée pour son corps, et en répétant « plusieurs fois de suite la môme manœuvre, il parvient à i< se donner un mouvement de rotation assez rapi<le. Si le « danseur était sur un sol très-glissant, ou bien, s'il nes'ap- « puyait sur le sol que par un seul point, il lui serait im- <c possible de tourner sur lui-mémo, comme nous venons de « le dire. »

lo9. — IMao iIh maximuin des aireM. Nous avons une dernière conséquence à déduire du Ihéorème des aires : elle fera Tobjet du présent paragraphe.

La valeur de la somme des projeclions des aires décrites pendant un' certain temps n*est évidemnienl pas la même, quel que soit le plan de projection que Ton choisit. Cette somme doit varier au contraire avec la position de ce dernier. Il y a donc indubitablement un certain plan pour lequel cette somme est un maximum. Cest ce qu'il est d'ailleurs facile de démontrer.

Soient en eflet dX^ d>!^ <D^\ les projections sur les plans coordonnés d'une aire élémentaire da correspondant au mouvement du point matériel m. Appelons $ un plan arbitraire faisant avec les plans coordonnés certains angles a, 6, y. La projection rfco de rfa sur ce plan, aura pour valeur :

, , ( rfX . ^dX' dk"\

= cos xdX + cos êrf)/ -+- cos ydk" ;

d'où l'on tire :

m(ù = cos a . mX H- cos 6 . ml' -h cos y . wiÀ" , et lm(ù = cos a . Iml -+- cos S. 1ml' -h cos y . 1ml",

Mais on sait, d'après le n*» 137, que :

lml={At. 1ml' = I A7 , 1 ml" = i A'7.

Donc :

2m&) = (A cos a -4- A' cos 6 -h A" cos y) ; ^

Or, soit n un plan faisant avec les plans coordonnés des angles dont les cosinus soient proportionnels à A, A', A''^ la

quaulilé entre parenthèses représentera le cosinus de Tangle des deu\ plans 4^ et II, multiplié par une certaine constante. Cest-à-dire que

3lM0») = KCOS(*, II) t.

Cette valeur de 2^ m Qt> sera évidemment un maximum qnand cos ($, 11^ sera lui-même un maximum, ou quand les deux plans se confondront ensemble. En d'autres termes, le plan pour lequel la somme de projection des aires est ma\ima est c^lui qui fait avec les plans coordonnés des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels à A, A', A", et par suite égaux à

WA*-^A*-|-A -' \/A»-^A'> + A"^' \/A^ + A''-hA"^'

Ce plan est appelé plan du maximum des aires. On peut dii-e aussi que c*est le plan du moment maximum de la quantité totale de mouvement ou le plan du moment maximum du groupe de foix^es instantanées capable de réduire le système au repos. Nous i^marquerons en passant que la somme des projections a la même valeur sur tous les plans qui font le même angle avec le plan II, et qu'elle est nulle sur tous les plans qui lui sont perpendiculaires.

Le plan du maximum est aussi nommé plan invariable, parce que sa position ne change pas avec le temps, Celle dernière propriété est une conséquence directe de la proportionnalité des aires au temps. Car, si à un instant quelconque, la somme des projections est maxima, elle devra Tètrc toujours.

La connaissance de la position du plan invariable s'obtiendra en déterminant A, A', A". Or, ces quantités seront connues si à un moment quelconque on connaît les vitesses et les positions des mobiles. En effet, on a :

A = Im

2dl V idv dx

dt

., ., 2dl' ., jdx dz \

dt \dt dt !

^„ ., Ur .. (dz dy \

ce qui détQrininc bien les trois quantités A,A', A", si les coordonnées et les vitesses sont connues à un certain monienl. Quant à Féquation du plan invariable, elle s'en déduira aisément, et sera :

k"x + k'y H- Az = 0.

On voit en même temps que la position du plan se déterminera géométriquement par une construction fort simple ; car, si Ton porte sur les axes des r, des y et des x^ qui sont respectivement perpendiculaires aux plans des xy^ des xz et des yz, auxquels correspondent les projections A, A' et A", si Ton porte, dis-je, des longueurs proportionnelles à ces quantités A, A' et A", la diagonale du parallélipipède ainsi construit sera perpendiculaire au plan du maximum. En effet, le plan perpendiculaire à la diagonale forme, avec les plans coordonnés , qui sont respectivement perpendiculaires aux côtés du parallélipipède, des angles dont les cosinus sont égaux à

Pour l'ensemble du système planétaire, il existe donc un plan invariable, ou un plan pour lequel la somme des aires projetées, respectivement multipliées par les masses de toutes les molécules matérielles, est un maximum. Le grand Laplace, qui le premier a fait ressoitir la propriété du plan

296 LIVRE III. — SYSTÈHtS 3ttAT£ni£LS.

invuriablc et s'en esl servi pour établir un pian aslronomiquc immuable dans la suite des si(>cles, a déterminé sa posilion d*une niani'iv inexaete, d'après laquelle on ne la retrouverait pas la même à divei*ses époques, eu la calculant d'après les mêmes données. L'erreur commise a été celle-ci. D*une part, Laplace avait assimilé chaque planète à un point matériel unique, négligeant ainsi les inégalités de Irajec* toires dues aux positions relatives des diverses molécules de la planète. L'assimilation serait permise si la planète, en même temps qu'elle se meut d*un mouvement général de translation, ne possédait pas un mouvement de rotation sur elle-même, qui change considérablement les aires décrites. D'autre part, Laplace avait négligé les aires analogues dues aux révolutions des satellites, ou plutôt il avait supposé leur masse réunie au centre de la planète, sans tenir compte des différences de trajectoires. Ainsi les quantités dont s'est servi l'illustre géomètre pour assigner la position du plan invariable sont erronées doublement : 1*" à cause des aires dues à la rotation des planètes et du soleil lui-même ; 2" à cause des aires dues ù la révolution des satellites autour de leurs planètes respectives.