THÉORÈME DES FORCES VIVES

i/iO. — Définition. On nomme force vive d'un ensemble quelconque de points matériels la somme des forces vives de tous les points. — Il est à remarquer que tous les termes de cette somme sont essentiellement positifs, puisque dans le produit ^ m VMa vitesse figure au carré.

Cela posé, reprenons les équations (A), (A'), .... relatives aux divers points d'un système dynamique ou géométrique.

La combinaison des trois équations (A) qui concernent le seul point m permet, comme on sait, d'établir pour ce point la relation des forces vives, dans laquelle la force en évi-

MOLVEMI-M (iÉiNÊUAL. 2i)7

dence est la force molncc louUe du point m, c'est-à-dire Teiiscmble des forces extérieure et intérieure. Distinguons ces deux forces dans la relation en question, de même qu'elles sont distinguées dans les équations fondamentales (A). Cette relation sera donc :

Elle signifie que le travail élémentaire de la force extérieure, plus le travail élémentaire de la force intérieure, est égal ù la variation élémentaire de la force vive du mobile. On peut également la mettre sous la forme

(0 Pdp-\-ldi=dimV',

en repi*ésentant par dp et di les projections, sur la direction de la force P et de la force I, de l'espace élémentaire parcouru dg. Pour le point m', on aura une relation toute semblable, et de même pour chacun des autres points matériels. Si nous ajoutons toutes ces équations entre elles, le second membre de Téquation finale représentera la force vive totale du système ; quant au premier membre, il désignera, d'une part la somme des travaux des forces extérieures, et d'autre part la somme des travaux des ftorces intérieures : ce que nous écrirons ainsi, d'après les notations précédemment adoptées.

(L) iVdp-^ lldi = ld{ mW

Actuellement, distinguons les deux natures de système : car, à l'inverse des théorèmes déjà étudiés, les résultats ne seront plus ici les mômes, selon qu'il s'agira d'un système géométrique ou d'un système dynamique.

1/il. — Occupons-nous, en premier lieu, des systèmes géométriques.

Je disque le terme 11 di^ du à toutes les forces intérieures, disparaît nécessairement de l'équation (L).