LIVRE III

Pour ce qui est des forces d'assujettissement ou des forces proveuaut de l'obligation individuelle des points à demeurer sur des courbes ou des surfaces données, cela est évident à priori y car on sait que les espaces élémentaires parcourus sont perpendiculaires à la direction de ces forces, et que par suite les travaux correspondants sont nuls. Quant aux forces de liaisons mutuelles, nous le démontrerons aisément. Soient en effet deux points matériels M et M', unis par la tige rigide ou le fil invariable MM'. Ces deux points, dans leur mouvement élémentaire, prennent des positions quelconques N et N', infiniment rapprochées de leurs positions primitives, et telles d'ailleurs que NN' égale MM'. — Les deux points N et N' ne sont pas généralement situés dans le même plan que M et M', en sorte que le quadrilatère M N N' M' est gauche. — Pendant ce mouvement, le point M est soumis à une force de liaison I suivant MM', et dirigée par exemple de M vers M' ; et réciproquement, le point M' est soumis à une force égale et inverse , — I.

Le travail de la fBrce I pendant le déplacement élémentaire sera I x M N . cos (MN, MM'), et le travail de la force — I sera — I x M'JV'. cos (M'N', MM'). Je dis que la somme de ces deux travaux

I i MN . cos (MN, MM') — M'N', cos (M'N', MM') }

FIg. 22.

est identiquement nulle.

Pour le montrer, menons N'n égal et parallèle à MM', cl joignons M//, Nw. On sait que

MN . cos (MN, M^l') = M/i . cos (Mw, M^l) -f-Nw. cos (Nit. MM), parce que la projection, sur une droite quelconque MM', du

MOUVEMENT GÉiNÉRAL.

côté MN qui ferme le polygone M/iN esl égale à la somme des projections des autres côtés Mm, Nw, de ce polygone.

Or Mm . cos (Mm, MM')= M'N' . ços (M'N', MM) : donc, en substituant dans la somme ci-dessus des deux travaux élémentaires, on trouve qu'elle se réduit à

IX Nw. cos(Nw, MM').

Mais mN' et j\X' sont égaux tous deux à MM' : donc Nn est rélénienl d'une circonférence décrite du point N' comme centre, avec mN' pour rayon. Donc la projection de cet élément sur le rayon m]\', ou, ce qui revient au même, sur la droite parallèle MM', est nulle, puisque cet élément esl normal au rayon.

Donc enfin la somme des deux travaux élémentaires dus à la liaison des deux points matériels est nulle.

Si le lien, au lieu dVlre uue lige ou un fil invariable, était un fil le long duquel les points pourraient glisser, on arriverait au même résultat.

-j^^ En effet, supposons que les deux points jN M et j\r, par suite du glissement, ne gardent pas la même distance pendant le mouvement, et soit N^ et N' leurs positions voisines; N'N^ étant, par exemple, plus grand que MM'. Joignons M/i, mN^.

La somme des deux travaux se réduira comme précédemment à

I X wN^ . cos (nN, , MM) ,

Fig. 25.

quantité qui n'est pas nulle, puisque N'N, n'est pas égal à mN', et que par suite mN,

n'est pas l'élément d'une circonférence. Prenons NN' égal

à mN', et joignons Nn. On sait que •

wNj . cos («N^, MM')=>'». cos(Nn, MM') -{- INN, . cos(NiN,, MM').

Le preiiHCf icMiiie du second membre est nul, comnioon Fa vu précédemment, en sorte que finalement la somme des deux travaux se réduit à I . NN, cos wN'N, . Mais le cosinus d'un angle infiniment petit est égal à Tunité. Si donc on représente par dl la variation élémentaire de distance des deux points, on voit que le travail du aux forces de la liaison est égal à

\dl,

quantité qui doit d'aileui's être affectée du signe moim^ puisque la force est supposée dirigée en sens contraire de la variation de distance, et que, conséquemment, si Tune est estimée positivement, Taulre doit fêlre négativement. Eu sorte que la véritable valeur du travail élémentaire est

expi*ession dans laquelle la force et la longueur sont essentiellement positives.

Si au lieu de s*éloigner les deux points se rapprochaient, le travail élémentaii*e serait

-\-\dl.

Cela posé, considérons plusieurs points M, M', M",

M^**)) dont les deux extrêmes sont invariablement liés à nn fil, tandis que les autres glissent librement le long de ce fil. Le travail de toutes les forces intérieures, dirigées suivant les poitions du fil comprises entre les points deux à deux, sera égal à la tension du fit, qui est la même partout (n" 121), multipliée par la somme algébrique des rapprochements et des éloignements. Or, la totalité du fil gardant la même longueur, — ce qui fait que la somme des rapprochements et des éloignements est égale à zéro, — il en résulte que le travail élémentaire dû à toutes les parties de celte liaison est nul à chaque instant.

MOUVFMENT GÉNÉRAL. 301

Actuellemeut, si nous l'cvenons au terme 11 di de l'éqnalion (L) ci-dessus, on voit que les divei^sos catégories de travaux dont se compose cette somme sont nulles séparément. Donc ce terme disparait, et par suite Téquation des forces vives du système géométrique se réduit à

(G) lVdp = dl{my''^

ce qui montre que dans un système géométrique la variation élémentaire de force vive est égale à la somme des travaux élémentaires des forces extérieures, et que par suite la variation de force vive, dans un temps donné, est égale au travail des forces extérieures pendant le même temps. Ce résultat a lieu quelles que soient les liaisons géométriques, et quels que soient aussi les assujettissements des diverses parties du système. On voit, d'après la même équation (G), que la variation de force vive d'un système est absolument égale à celle qui se produirait si tous les points matériels étaient entièrement libres et indépendants les tins des autres.

Si les forces extérieures sont nulles, ou si, sans être nulles, elles satisfont à la condition que la somme de leurs travaux élémentaires est perpétuellement égale à zéro, la force vive totale du système demeure constante. Donc, si un système géométrique est, à un certain moment, abandonné par les forces qui le sollicitaient, ce système continuera à se mouvoir de telle façon que la force vive totale ne soit pas altérée. La vitesse individuelle des divers points pourra varier à rhifiui, mais ces variations se combineront de manière à ce que 2^mV* garde la même valeur. C'est ce qu'on nonime le principe de la conservation des forces vives, tout à fait analogue à celui de la conservation de la quantité de mouvement.

Lorsque les forces extérieures ont, à un certain moment,

302 MVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

des valeurs telles que la somme de leurs travaux élémentaires soit nulle, la variation correspondante de la force vive est elle-même un maximum ou un minimum. Réciproquement, si cette dernière condition a lieu, on est assuré que les forces extérieures passent par des valeure telles que la somme de leurs travaux est momentaKcment nulle.

\U2. — Remarque importante. Lorsqu'un système géométrique est à liaisons complètes, c'est-à-dire constitué de telle sorte qu'un seul mouvement y soit possible dans le» deux sens, on a nécessairement alors, entre les n points matériels, 3n — 1 équations de liaisons, qui sont autant de relations entre les seules coordonnées. Pour que le problème soit résolu, il suffit d'avoir une seule équation de plus entre ces mêmes coordonnées et les forces extérieures du système, car on dispose alors de Zn équation^ pour exprimer les 3m coordonnées en fonction des forces extérieures. Toutes les forces intérieures sont par cela même éliminées. Or, cette nouvelle équation est précisément fournie par la relation (G) des forces vives, que nous venons de trouver, et qui ne contient pas efTectivement les forces intérieures. — Cette équation des forces vives est celle à laquelle on arriverait infailliblement si, au moyen des Zn équations (A), (A'),.... et des 2)71 — 1 équations de liaisons, on éliminait toutes les quantités dues à la présence des forces de liaisons. Nous avons ainsi a notre disposition un procédé immédiat pour trouver le résultat de cette élimination. — Cette remarque trouve une fréquente application dans les mouvements des appareils spéciaux, connus sous le nom de machines, à l'aide desquels l'activité humaine réalise les effets mécani-. ques qu'elle a en vue. La plupart du temps ces appareils sont des systèmes qu'on peut Irès-approximalivement regarder comme géométriques, et qui sont alors caractérisés par la condition d'être à liaisons complètes. Aussi, pour la détermination du mouvement, y fait-on un perpétuel usage de

réqiiation des forces vives, de pi^éférence à tout autre mode analytique.

Os machioes sont réellement des systèmes dynamiques, 011 une multitude de mouvements individuels se produisent. Maïs tous ces mouvements, à l'exception du principal, qui est celui qu'on a en vue, sont à peu près négligeables, et Ton regarde alors tous les points comme assemblés par des liens géométriques absolus. — Cest la même assimilation qu'on fait lorsqu'on parle de farces extérieures et de forces d* assujettissement. Dans le sens rigoureux des mots, il n'y a que des forces intérieures, puisque tout système, considéré en lui-même, n'est malgi^é nous qu'une partie intégrante du système dynamique de l'univei^s. Chaque fois qu'on emploie de pareilles locutions, il faut sous-entendre qu'on ne tient pas compte des corps environnants, ni des réactions qui s'y produisent, ni du mouvement réel qu'y reçoivent les courbes ou les surfaces censées fixes. C'est donc parce qu'on néglige volontairement la contre-partie de ces forces prétendues extérieures ou d'assujettissement, que la fraction de matière à laquelle on restreint les déductions peut être envisagée comme un système dans lequel existeraient des actions sans réciprocité.

\ho. — Considérons maintenant les systèmes dynamiques.

L'équation des forces vives est, comme on a vu, celle-ci :

(L) 2P(//7 4- ^\di = dl \ mn

Le terme dû aux forces intérieures ne disparaît plus, parce que la démonstration contenue dans le n° 1^1 n'est pas applicable à ce genre de liaisons. Mais si l'on reprend ce qui a été dit à celte occasion, on voit que le travail élémentaire dû aux deux forces mutuelles qui s'exercent entre deux points quelconques est toujours représenté par Rrfr, R désignant l'intensité de ces forces mutuelles, et dr la variation

de distance des deux points. Le signe 4- ou le signe — doit d*ailleurs être adopté, suivant que la force agit dans le sens de la variation de distance ou en sens Contraire. — La relation des forces vives des systèmes dynamiques sera donc :

(n) l?dp ± indr = Id '^mV ;

ce qui montre que la variation élémentaire de force vive est égale à la somme des travaux élémentaires des forces extérieures, plus ou moins la somme des produits obtenus en multipliant chaque force mutuelle par Téloignement ou le rapprochement des deux points entre lesquels elle s'exerce. On peut dire aussi, en passant à l'intégrale, que la variation de force vive, dans un temps donné, est égale à la somme algébrique des travaux dus aux forces extérieures et aux forces intérieures.

Il résulte de là que, s'il n'y a pas de forces extérieui*es, la force vive varie seulement d'après le travail des forces intérieures, et, si la force vive demeure constante, c'est qu'à tout moment le travail des forces extérieures est égal et contraire à celui des forces intérieures.

Ces faits nous montrent une différence radicale nouvelle jjui sépare lés systèmes dynamiques d'avec les systèmes géométriques : dans les premiers, le travail des forces intérieures influe sui* l'état de la force vive, tandis que dans les derniers ce travail est toujours nul. Pour qu'il fût nul aussi dans les premiers, il faudrait, ou que les distances des points deux à deux ne variassent pas pendant le mouvement (ce qui revient à dire que le système se comporterait comme un coips solide), ou que, les forces mutuelles ayant la m^me intensité entre plusieurs points, la somme des éloignements fut égale à la somme des rapprochements (ce qui reviendrait au cas géométrique de points matériels glissant le long d'un fil invariable).

Dans le système planétaire, toutes les forces se réduisent

à des actions miilucllos s'exerçint deux à deux entre dos points dont la distance varie perpctucllement. Il en rfeiille que la force vive augnfiente ou diminue toujours, à l'inverse de ce qui se passe pour la quanfilé de mouvement qui, comme on Ta vu, demeure constante.

144. — Supposons que toutes les forces tant intérieures qu'extérieures d'un système soient fonction des coordonnées des points d'application, et que la quantité l(Xdx~{- Ydy-\-Zdz)y où X,y,Z désignent maintenant la force totale^ soit la différentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées,/(ar,y,z,a?', y',.")> J6 veux dire pur là qu'on ait :

Xilx 4- Yrfy -h Zrfz 4- X'dx -j- Ydy' -h .... =

D'après cette hypothèse, l'intégrale totale de la quantité 2 (Xdx+X dy-^Zdz) sera précisément éga'e à cette foncliou f(jff,y,z,x\y',,,,.).

L'équation des forces vives, intégrée entre deux positions du système, donnera :

^i?nY5--2-;7nV5=/'(.r^,y,,2:pa;',,....)--/'(.r„,yo,Zo,T'o,... ).

Donc, toutes les fois que le système passera par une position telle que fQc^y^z^x\,„,^) prenne la même valeur en y remplaçant ar, 2/, z, y,.... par les coordonnés correspondant à cette position spéciale, la variation de force vive depuis l'origine repassera aussi par la même valeur, ce qui revient à dire que la force vive du système sera la même pour toutes ces positions spéciales.

Cette circonstance, où 2 (X rf;r -|- Y rfy -h Z dz) est une différentielle exacle, se produit notamment quand les forces motrices sont dirigées vers des centres fixes et qu'elles sont fonction des distances de leurs points d'application à ces centres. Il en est de mémo quand les forces se réduisent à des

actions mutuelles s'excrçant entre les points deux à deux et fonction des distances de ces points. En effet, s'il s'agit, par exemple, d'une action mutuelle entre les points m etm', on a ;

X(ùc + Ydy + Zdz + X'dx' -h Y'dy' 4- Z'dz' = Rrfr ;

et comme d'ailleurs

r» = (^ - xy + (y - yr + {z - zy ,

il s'ensuit que Rrfr, et aussi la somme de toutes les quantités analogues, est la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées.

Nous concluons de là que dans un système dynamique, réduit à des forces intérieures fonction des distances, la force vive passe par la même valeur toutes les fois que les distances des points redeviennent les mêmes. Lors donc que dans le mouvement de ce système les points s'écartent ou se rapprochent, il y a gain ou perte de force vive, mais la valeur primitive se rétablit quand le système reprend la même forme, quel qu'ait été d'ailleurs son déplacement général dans l'espace. On voit ainsi que dans le système planétaire, où toutes les actions semblent dépendre uniquement des distances, la force vive totale, qui varie incessamment, passe périodiquement par la même valeur, aux époques où les distances mutuelles des astres se retrouvent dans le même état qu'auparavant. On pourrait nommer ce théorème principe de la périodicité de la force vive.

Cette conséquence s'applique évidemment aux systèmes géométriques dont les forces extérieures satisfont à la condition ci-dessus, puisque, dans tous les cas, le travail des forces intérieures est égal à zéro.

Un autre exemple très-simple de la périodicité de la force vive est celui où un système quelconque, dont les forces intérieures seraient géométriques ou fonction des distances.

serait sollicité extérieurement par la seule force de la pesanteur. La variation de force vive, entre deux plans horizontaux, serait PA, P étant le poids moteur, et h la distance des deux plans. Toutes les fois que le point auquel est appliqué le poids P repasserait par le même plan, par suite du mouvement général du système, ce dernier posséderait la même force vive, et il en perdrait ou en gagnerait toujours la même quantité en s'élevant ou s*abaissant d*un plan à l'autre.

On peut ajouter, ainsi qu'on Ta déjà vu pour un point matériel unique, que la somme 2 (Xdx-^Y dy -^Zdz) n'est jamais une difTérentielle exacte lorsque les mobiles éprouvent des frottements ou la résistance d'un milieu. Nous ne reproduirons pas la démonstration, qui est identiquement celle du n° 88. Nous nous bornerons à constater que dans ce cas la force vive du système ne redevient pas la même lorsque les mobiles reprennent leurs situations relatives. Mais il y a toujours diminution de force vive, si, — comme cela a lieu d'ailleurs invariablement, — la résistance du frottement ou du milieu s'exerce en sens contraire du mouvement.