THÉORÈME DE LA MOINDRE ACTION

1^5. — Ce théorème ne convient qu'au cas où 1 (Xdx-\- \dy-\-Zdz) est la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées. Il consiste alors dans la propriété suivante :

Entre deux positions quelconques du système, la somme des intégrales relatives à la quantité de mouvement de chaque point multipliée par l'élément de courbe parcouru est toujours un minimum ; ou bien sous une autre forme :

La force vive consommée en un temps donné par l'ensemble du système pour parvenir d'une position à l'autre est toujours un minimum.

que suscite dans les mômes liens la présence du groupe extérieur en équilibre, réactions qui n'ont aucun effet sur le mouvement, et dont le seul résultat est justement de déterminer l'équilibre indirect du groupe en question.

C'est cette seconde catégorie de réactions, invinciblement liées au groupe extérieur, naissant et disparaissant avec lui, qui doit, avec ce groupe lui-môme, être supprimée dans les

équations (A), (A'), sans que les valeurs des seconds

membres soient changées. — On retrouve ici la même observation déjà présentée au n*» 106, à l'occasion de la résistance développée par une surface sous l'influence de forces qu'on applique à un mobile sans en modifier le mouvement. —

Afin de ne pas multiplier les notations, nous désignerons par les mêmes lettres L, M, N, L' cette deuxième catégorie de réactions, en ayant bien soin de ne pas perdre de vue la vraie signification actuelle de ces quantités.

Les conditions d'équilibre des forces données s'exprimeront donc en posant :

et ainsi de suite pour chacun des n points matériels. On obtient par là on équation entre les forces extérieures et les forces intérieures.

On a vu, dans le n" 129, relatif au mouvement, que les

quantités L,M,N, représentaient autant d'inconnues

distinctes qu'il y avait d'équations de liaisons entre les points du système, et que ces quantités L, M, N,.... pouvaient être remplacées par leurs valeurs en fonction desdites inconnues et desdites équations de liaisons. Si l'on effectue la substitution, et qu'on élimine ensuite les p inconnues distinctes correspondant aux p liaisons, on obtiendra 3n — p relatiooa

entre les forces extérieures et les fonctions des liaisons. Ce sont là les équations d'équilibre, exprimant les conditions auxquelles le groupe extérieur doit satisfaire pour être absolument sans influence sur le mouvement du système. C'est par la même élimination qu'au n° 129 on obtient les 3w— p équations du mouvement, qui, réunies aux équations de liaisons, permettent de déterminer la position des points à un moment quelconque. On pourrait du reste se dispenser des raisonnements qui précèdent en recourant directement à ces 3/1 — /) équations du mouvement. Puisque ces équations ne contiennent pas les forces intérieures, il suffît d'égaler les premiers membres à zéro pour avoir les conditions d'équilibre. On retombe alors sur les relations déjà obtenues au moyen des équations (E), (E'),....

Remarques,

1° D'après la manière même dont les Zn — p équations d'équilibre sont déduites, il est évident qu'elles ne contiennent pas les masses des points matériels. Ainsi les conditions d'équilibre sont indépendantes des masses des points auxquels les forces sont appliquées. En sorte qu'on pourrait tout aussi bien étudier les conditions d'équilibre en substituant au système matériel une figure géométrique dont les sommets tiendraient lieu des points. D'où il suit que l'étude de l'équilibre peut être ramenée à n'être qu'une pure affaire de géométrie, après avoir, bien entendu, constaté les lois de la composition des forces en chaque point, lesquelles s'établissent exclusivement à l'aide de la mécanique.

2° Les conditions d'équilibre ne dépendent à chaque instant que de la forme du système, et nullement de la position absolue des points dans Tespace. Car les quantités qui figurent dans les équations de liaisons sont : ou bien la distance

entre deux points attachés aux extrémités d'un lien invariable, ou bien la somme des distances entre des points, deux à deux, pouvant glisser le long d'un fil d'une dimension totale invariable. Donc les équations d'équilibre, qui ne contiennent que des transformations de ces fonctions, ne peuvent être influencées que par des changements entre les distances des points matériels, chose tout à fait indépendante de la position absolue de ces derniers.

Ces deux remarques confirment ce qui avait été énoncé au n° 50.

Conséquences.

!• Si n est le nombre des points matériels, et p celui des équations de liaisons, les équations d'équilibre sont au nombre de Zn — p. Or, les composantes X, Y, Z, X'.... sont au nombre de 3w. Donc il y en a autant d'arbitraires qu'il y a d'équations de liaisons. Ce qui signifie que, ce nombre p de composantes recevant des valeurs quelconques, on pourra toujours réaliser l'équilibre au moyen de valeurs convenables des Sn—p composantes qui restent à déterminer. Si, au contraire, on n'appliquait pas de forces extérieures à tous les points du système et qu'on ne disposât que d*un nombre de composantes inférieur à SH — p, on ne pourrait pas réaliser réquilibre, puisqu'on aurait moins de quantités à choisir que de relations à satisfaire. C'est ainsi, par exemple, que, si l'on avait deux points matériels invariablement unis par une tige rigide, il faudrait, pour réaliser l'équilibre, pouvoir disposer de 6 — 1 ou 5 composantes, ce qui n'eu laisserait qu'une arbitraire. En effet, deux forces extérieures, appliquées à un pareil système, ne peuvent s'équilibrer que si elles sont égales, opposées et dirigées suivant la tige de liaison : il ne reste donc indéterminée que l'intensité commune des deux forces.

En général, le nombre des conditions dVquilibrc augmente à mesure que le nombre d'équations de liaisons diminue, et vice ver g a.

T Supposons que le système se réduise à un assemblage de forme invariable ou à ce qu'on nomme un solide géométrique. L'invariabilité sera obtenue : 1° en unissant trois points, suivant un triangle; T en unissant chacun des autres points aux trois précédents. Si ce système est d'ailleurs parfaitement libre dans l'espace, le nombre des liaisons sera S-H-3(?t — 3) ou on — 6. Le nombre des conditions d'équilibre sera donc 3w— (3n — 6) ou sera égal à 6. Or nous connaissons déjà 6 équations qui conviennent à tous les systèmes libres, et dans lesquelles les forces intérieures ne figurent pas ; ce sont les trois équations relatives aux quantités totales de mouvemeni , et celles des moments (n"* 130 et 136). Comme les résultats de l'élimination ne peuvent changer, quels que soient les procédés employés, les six équations en question donnent précisément les six conditions d'équilibre, en égalant les premiers membres à zéro.

3° Supposons que le système soit à liaisons complètes, ou qu'il y aitSw — 1 équations de liaisons, il n'y aura qu'une condition d'équilibre.

Or, nous connaissons une équation qui ne contient pas les forces extérieures, c'est cdle des forces vives. C'est donc là notre condition cherchée.

L'équilibre sera alors exprimé par la relation

IÇLdx+X dy'A-Zd2)=lVdp=^o .

Remarquons que, dans ce cas, on ne pourrait pas prendre une des équations relatives aux moments ou aux quantités de mouvement, car le système, étant à liaisons complètes, n'est pas libre, et par suite les forces intérieures ne disparaissent pas des équations précitées.

A° Quel que soit le nombre des liaisons, l'équation l(Xdx

'\-^dy-\-ldz) = o est toujours satisfaite, puisque cette équation, ne contenant en aucun cas les forces intérieures, fait nécessairement partie des conditions d'équilibre. Donc, toutes les fois que des forces se font équilibre, la somme des travaux est nulle à chaque instant, et par suite la force vive totale demeure la même.

5° Toutes les fois que le système, dans son mouvement qnelcorique, passe par une position telle que les forces extérieures, à cet instant précis, s'y font équilibre, le travail élémentaire est nul, et conséquemment aussi la variation élémentaire de la force vive. Donc la force vive totale passe par une valeur maxima ou minima.

La réciproque n'est pas vraie, c'est-à-dire que, si la force vive est à un certain moment maxima ou minima, on n'eu peut pas conclure que les forces extérieures passent par une position d'équilibre : car ce qu'où sait seulement , c'est que le travail élémentaire est nul, et cette équation n'est suffisante pour impliquer l'équilibre que si le système est à liaisons complètes.

Remarque. Les conditions d*équtvale?ice de deux groupes de forces appliquées à un système ne diffèrent pas de celles de l'équilibre, puisqu'il suffit d'exprimer qu'il y a équilibre sur le système entre les forces de l'un des groupes et celles de l'autre, prises en sens contraire, conformément à ce que nous avons démontré au n° 122. On aura ainsi ^n — />, conditions d'équivalence entre deux groupes.

Autre remarque,

THÉORÈME DE d'aLEMBERT.

Lorsque, dans l'étude du mouvement (n° 129), on prend les équations (A), (A') et qu'on élimine les forces inté-

xMOUVEMENT GÉNÉRAL. 315

1 ieures, pour obtenir 3/* — p équations entre les forces intérieures et les coordonnées des seconds membres, on effectue identiquement le même calcul que lorsque, dans Tétude de l'équilibre (n" 147), on prend les équations (E), (E).... et qu'on élimine les forces intérieures, pour obtenir 3n — p relations qui expriment les conditions d'équilibre des forces extérieures. Si, dans ces dernières équations, on remplace X, Y, Z, X', respectivement par

^^"^W ^--"^dt^' ^""'"rf^» X-7n-^,....

on aura des équations qui exprimeront qu'il y a équilibre, non plus entre les seules forces X, Y,.... mais entre ces mêmes forces combinées avec d'autres, dont les composantes

auraient pour valeurs — m ^j'^^ j^ 5^^ qui seraient

conséquemment égales et contraires à celles que nous avons nommées (n° 116) forces conservées, dans le cas du système en mouvement. Or, ces relations d'équilibre sont actuellement identiques aux ^n—p équations de mouvement déduites des équations (A), (A').... : car il suffit, dans les calculs effectués sur ces dernières, de faire passer les quantités des seconds membres dans les premiers. D'où il suit :

1° Que les forces extérieures ou motrices d'un système géométrique font équilibre à des forces égales et directement opposées aux forces conservées de tous les points matériels.

2'* Que la recherche du mouvement dû aux forces extérieures peut être ramenée à celle de l'équilibre entre les forces extérieures et les forces conservées, et vice versa.

On énonce quelquefois sous une autre forme l'équilibre entre les forces extérieures et les forces conservées. A cet effet, on nomnie force perdue en chaque point une force qui, combinée avec la force conservée, a pour résultante la force extérieure. De telle sorte que, si ME est la force extérieure

316 rjYRE îir. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

et MC la force conservée, la force perdue sera représentée par l'autre côté MPdu parallélogramme MCEP. On voit par ^E là que cette même force perdue peut être considérée comme la résultante de la force extérieure ME et d'une force égale et contraire à la force conservée. Or, nous avons dit tout à l'iieure que les forces exttTieures et les forces conservées , prises en sens contraires, se font équilibre sur le système. Il revient donc au même d'énoncer que les forces perdues sont en équilibre. C'est d'ailleurs évident de soi, puisque Fig. 2ft. les forces perdues sont égales et opposées

aux forces de liaisons : au moyen de celles-ci, les forces extérieures et conservées doivent se trouver en équilibre.

Nous avons peine à nous rendre compte de l'importance excessive qu'on a attachée au théorème de d'Alembert. Si l'on n'y veut voir qu'une très-élégante interprétation concrète des équations du mouvement, nous sommes pleinement de cet avis. Mais on a dit de ce théorème qu'il était la base de la mécanique, en ce qu'il permettait de ramener les questions de mouvement à des questions de repos. Mais cette réduction n'est qu'apparente, puisque les valeurs des coordonnées mobiles figurent de la même manière, soit qu'on les laisse ostensiblement dans les seconds membres des équations (A), (A').... soit qu'on les dissimule sous la désignation de forces conservées. Nous ne voyons pas davantage en quoi l'intelligence de la théorie du mouvement en est facilitée, puisque ce sont identiquement les mêmes calculs, les mêmes raisonnements et les mêmes résultats, soit qu'on opère sur les équations (A), (A').... soit sur les équations (E;, (E')... Il nous semble bien plus philosophique de n'y voir qu'une interprétation des équations du mouvement. Car rien ne satisfait moins l'esprit que de vouloir, à priori et avant tonte

coiisidéraliou directe de la mécanique, ramener les problèmes dynamiques à des problèmes de statique. On parait ainsi sacrifier les éléments concrets de la question à un artifice analytique.

Le théorème de d'Alembert n*est du reste qu'une application de la proposition très-générale démontrée au n*" 122, et consistant en ce que deux groupes de forces équivalents et de sens contraires se font équilibre. En effet, les forces conservées dont nous parlions ci-dessus sont évidemment équivalentes aux forces motrices, puisqu'elles produiraient le mouvement qui a effectivement lieu. Donc, si on les prend en sens contraires, elles feront équilibre aux forces motrices.

TUÉORÈMË SUR LA STABILITÉ ET l'iNSTABILITÉ

DE l'Équilibre d'un système.

1A9. — On se rappelle la distinction établie entre l'équilibre des forces d'un système et V équilibre de ce système lui même. La première expression signifie que les forces sont sans influence sur l'état du système, qui peut d'ailleurs être doué d'un mouvement quelconque ; la seconde signifie que le système est en repos et que conséquemment les forces, qui y sont d'ailleurs en équilibre, le laissent parfaitement immobile.

L'équilibre d'un système se présente avec deux caractères bien différents. On dit que l'équilibre est stable si le système, étant très-peu écarté de sa position actuelle, tend à y revenir en vertu des forces qui lui sont appliquées; et on dit qu'il est instable si le système tend au contraire à s'en éloigner de plus en plus, jusqu'à ce que, selon la locution vulgaire, il se mette à chavirer. Un exemple de la stabilité nous est offert par un mobile M, placé sur une courbe AS, dont il occupe le point le plus bas, et sollicité uniquement

UVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

par la pesanteur, qui actuellement est équilibrée par la résistance de la courbe. Il est j^ clair que, si ce mobile est très-peu écarté, à droite et à gauche, de sa position, la pesanteur, qui cesse aussitôt d'être équilibrée, puisqu'elle n'est plus normale à la courbe, agit pour ramener le mobile vers sa position d'équilibre , autour de la- Fig. 25.

quelle il oscillera dès lors indéfiniment. Pour peu qu'un certain frottement vienne chaque fois détruire ce mouvement , le mobile finira par s'arrêter dans sa position primitive. L'instabilité aurait lieu au contraire si le mobile occupait le point le plus haut de la courbe A'S' : car, à la suite de tout écart, la pesanteur se mettrait à agir pour faire descendre le mobile, et, par suite, pour l'éloigner à chaque instant davantage de sa situation initiale.

Le théorème que nous voulons démontrer est relatif aux forces qui satisfont à la condition que l(;Xdx-hYdy-\-Zdz) soit la différentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées, — ce qui est, avons-nous vu, le cas général des forces de la nature. — Dans une telle hypothèse, la variation de force vive d'un système, doué d'un mouvement quelconque, entre deux positions déterminées, est représenté par

^C^ii^ij^ij^'ivO — ^C^o>2/o»^oi^'ov)- Lorsque le système passe par une position telle qu'à ce moment précis les forces extérieures s'y trouvent en équilibre, la fonction cj>(^i,i/|,^|...) prend nécessairement une valeur maxima ou minima, puisque le travail élémentaire des forces motrices, qu'elles satisfassent ou non à la condition ci-dessus de la différentielle exacte, est alors égale à zéro. Cela posé, le théorème annoncé est le suivant :

MOUVEMENT GÉiNÉRAL. 319

Si la fonction 9(^1, yi, 2^1, a?'^,.-0 ^'^t un maximum, la position correspondante est une position d'équilibre stable; c'est-à-dire que si le système, au lieu d'y passer avec une certaine vitesse qui Tentraîne au delà, s'y trouvait d'abord en repos, et qu'on l'en écartât très-peu, il tendrait inévitablement à y revenir.

Si au contraire cette fonction est un minimum, la position correspondante est une position d'équilibre instable.

Supposons donc que la fonction prenne une valeur maxima. Soient ^r^, i/y, r^, x\,., les coordonnées correspondant à la position d'équilibre. Imaginons qu'à partir de cette position les mobiles reçoivent de très-petites vitesses, en vertu desquelles, au bout d'un certain temps t, ils occupeiont de nouvelles positions dont les coordonnées a;,, yxiZ^^x\,., différeront fort peu des anciennes. Représentons par/>^ q, r, /)'... ces irès-légèrcs différences, en sorte que a?,=j?o-f-/), 2/1 ^yo-l- ^> ^1=^0 + ^' ;r',=:r'o -h /)'... Je prétends que ces quantités p^ q,r, p'... demeureront très-petites quelle que soit la longueur du temps qu'il plaira de considérer. D'où il résultera que les mobiles ne pourront que se mouvoir à droite et à gauche, dans de très-faibles limites, et linalement reprendront leurs positions premières, pour peu que quelque résistance, telle que le frottement, vienne graduellement amortir le mouvement.

En effet, la variation de force vive, entre les deux positions susdites, sera

= 9(^0-1-;^» 2/0+ 9»- ■•) — 9(^0» yo»^o»--0-

Si l'on développe le premier terme du second nombre suivant les puissances ascendantes de p, q, r,... on sait : 1° que, d'après la propriété des maxima et des minima , la somme des termes dépendant des premières puissances sera nulle ; T que la somme des termes du second degré pourra,

320 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

dans le cas du maximum, se décomposer en autant de carres, précédés du signe mo l n s, qu'W y a dans la fonction de variables indépendantes. Si donc on désigne par R la somme de tous les termes relatifs aux puissances supérieures à la seconde, il viendra :

A', B% C^.. représentant les carrés susdits, qui deviennent naturellement tous nuls en même temps que p, q, r,.,. et qui sont tous très-petits en même temps que ces dernières quantités.

Or, je dis que si les vitesses initiales V^ ont été choisies suffisamment petites , aucun des carrés A^, B^... ne pourra jamais être égal à l^m\^. Car si, à un certain moment, le plus grand de tous, le carré A^, par exemple, pouvait lui . être égal, on aurait :

2 i mVj = — (B^ +0^-1- ....) -h R.

Mais cette relation serait évidemment une absurdité : car si les vitesses Vq ont été prises suffisamment petites, les carrés B^,C%... tous inférieurs à 2{m\^^ qui est une quantité très-petite, sont eux-mêmes fort petits, et, par suite, p^ q, r, sont aussi petits qu'on le voudra. D'après cela, un seul de ces carrés B^, C%... qui ne renferment que les secondes puissances de/>^ q, r,.,, sera plus grand que le reste total R, composé de puissances supérieures à la seconde. Il en résulterait que l'^m V^^ qui est essentiellement positif, serait égal à une quantité négative, ce qui est absurde. Il demeure donc acquis qu'on peut imprimer à tous les mobiles des vitesses suffisamment petites, pour qu'ils ne s'éloignent jamais, quel que soit le temps écoulé, au delà de très-faibles distances de leurs positions primitives.

Si la fonction est un minimum, les carrés B% C^... sont.

d'après les règles précédemment invoquées, affectés du signe + au lieu de l*êlre du signe — . Alors la démonstration ci-dessus ne s'applique plus, et rien ne s'oppose à ce que ces carrés deviennent égaux à l{m\l, et même supérieurs an delà de toutes limites. Donc aussi les variations de coordonnées/?^ q, r,... peuvent prendre des valeurs infmiment croissantes, ce qui est Justement le cas de rinstabilité de l'équilibre.

Nous pouvons faire une application très-simple de ce théorème à un système de corps soumis uniquement à la pesanteur, et liés d'ailleurs entre eux d'une manière quelconque. Prenons l'axe des z vertical, et soit r, t:', tt"... les poids de ces différents corps; z, z* , z",... leurs coordonnées verticales relatives à la position d'équilibre du système. La quantité l(Xdaf-{-Ydy 4-Zrfz) se réduira à (7r+:r'-h7:"H-. ..)rf^, et la fonction (f correspondante sera (tt -Ht:' + ?:"+... y, laquelle, pour la position d'équilibre, aura la valeur 7r2^+7rV+7:'V+... L'équilibre sera stable si cette valeur est un maximum, et instable si elle est un minimum. Or, si II est le poids total du système, et Ç l'ordonnée verticale du centre de gravité, on devra avoir

Cela résulte de 7:=m^, 'n!=m'g,... ll=^^\g, et de la définition du centre de gravité, d'après laquelle

mz-^m'z -i- = MÇ.

La quantité IIÇ, qui représente la valeur de la fonction cp pour la position d'équilibre, montre que l'équilibre sera stable si II Ç est un maximum, c'est-à-dire si Ç est le plus grand possible, et que l'équilibre sera instable si ^ est un minimum. Or, la force II agissant de haut en bas, il faut compter les z de haut en bas. Donc la stabilité correspondra au cas oii le centre de gravité est le plus loin au-dessous du

plan des xtj^ c'ost-à-dîre quand il est le plus bas possible, et rinstabilité, au cas où il est le plus haut possible.

Équations du mouvement et de Téqullibre dans le eas de forées Instantanées.

150. — Nous avons déjà eu occasion déconsidérer des actions instantanées en traitant de Tintroduction et de la suppression brusque des liaisons d'un point matériel.

D'une manière générale on nomme forces instantanées des forces qui jouissent de la propriété d'imprimer des vitesses finies aux masses qu'elles sollicitent pendant un temps extrêmement court et le plus souvent inappréciable à nos organes. Cette circonstance implique que ces forces aient une très-grande intensité : car, si m est la masse qui reçoit la vitesse V au bout d'un temps très-court t, on aura la relation mV=PiT, en représentant par P| une valeur moyenne de la force, telle que, son action ayant lieu d'une manière existante pendant la même durée r, la vitesse communiquée soit précisément celle qui résulte de la force instantanée elle-même. Mais de cette relation on déduit

mV Pi = — , ce qui montre que, la durée de l'action étant trèscourte, la valeur moyenne de la force instantanée est trèsgrande.

Ainsi, considérées en elles-mêmes, les forces instantanées difiërcnt des forces ordinaires en ce qu'elles sont beaucoup plus intenses et beaucoup plus rapides.

Mais une autre différence, essentielle au point de vue du calcul, c'est qu'on ne connaît jamais cette intensité ni la loi de sa variation pendant sa durée. On ne peut donc pas faire figurer ces forces dans le calcul de la même manière que les autres. On y parvient en remarquant que ces forces

sont toujours assignées par la quantité de mouvement qu'elles sont susceptibles de produire. En d'autres termes,

on connaît la valeur de l'intégrale / Vdt, étendue à la du*^

rée T de l'action, valeur qui est précisément représentée par une certaine quantité de mouvement mV, assignée à prtort.

Ainsi, toutes les fois quil s'agira de faire figurer une force instantanée dans les équations, il faudra se rappeler qu'on connaît d'avance la vitesse qu'elle imprime à une certaine masse, supposée entièrement libre, mais qu'on ne connaît individuellement ni P ni t.

D'après cela, les équations du mouvement s'établiront fort Siisément de la manière suivante :

Reprenons les équations ( A ), ( A' ).. . .

et supposons que X, Y, Z, X'... y représentent les composantes de forces instantanées.

Bien que ces quantités ne soient pas directement connues, on n'en a pas moins le droit d'établir les équations ci-dessus, comme dans le cas de forces ordinaires, parce qu'il n'y a aucune raison de supposer que les lois générales de la mécanique ne s'appliquent pas ù ces forces spéciales. Rem'arquons que L, M, N, L'... sont des quantités du même ordre que X, Y,.. . car elles représentent les composantes des réactions instantanées des liens, qui se développent en correspondance des actions instantanées extérieures.

Pendant la durée des percussions ( on nomme ainsi ces actions instantanées) la position des points matériels ne change pas sensiblement, et on peut les regarder comme constantes.