SI

324 UVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

Intégrons chacune des équations ci-dessus par rapport au temps, pour la durée totale des percussions. Les premiers membres représenteront alors les quantités de mouvement engendrées séparément par les forces instantanées et par les réactions correspondantes sur les points matériels supposés libres; les seconds membres représenteront les quantités de mouvement acquises par les points matériels sous la double influence des forces et des liens auxquels ils sont effectivement soumis. Si donc nous désignons par v, u, w, v\,.. les vitesses inconnues acquises par les divers points du système après les percussions, et par a, b, c, a',.,, les vitesses con* nues qu'ils recevraient respectivement des forces iuslantabées, s'ils étaient libres, le^ équations intégrées pourront s'écrire :

ma + l Ldt=mv^ mb + f M(/f=ww, (I) *^"

^ me -\- j Nrfr = miv ,

(!') m'a'-h rV(lt=imv\

On a vu au n" 129 que les quantités L, M, N, L... représentent en réalité autant d'inconnues distinctes i\ i"... qu'il y a de liaisons ; et que, si l'on fait la substitution dans les équations du mouvement, on fait figurer chacune de ces inconnues, multipliée par une certaine fonction des coordonnées. Les intégrales ci-dessus représentent donc/> intégrales

distinctes, de la forme / ^idt , respectivement multipliées

par certaines fonctions des coordonnées. Ces fonctions sont en effet hors de l'intégration, puisque la position des mobiles est considérée comme ne changeant pas pendant la durée de la percussion. On peut éliminer ces p intégrales, traitées comme autant d'inconnues, entre les équations (I), (!')...

ci-dessus ; et on obtiendra 3m — p relations renfermant les 3/» inconnues v, u, w, v',,.. Maïs, d'un autre côté, ces vitesses doivent satisfaire aux liaisons du système. Si donc on diffcrentie par rapport au temps chacune des équations de liaisons,

on aura/) nouvelles relations, où flgureroni^ , t^ ,.•• c'est-

ù-direr/ii.... On aura ainsi finalement 37i équations pour déterminer les 3n \itesscs composantes, qui sont les incon* nues de la question. Quant aux coordonnées qui figurent aussi dans ces relations, elles ne sont point inconnues, puisque les percussions n'altèrent pas les positions des mobiles, et que celles-ci sont naturellement supposées connues au moment où les percussions commencent à agir.

Ainsi on déterminera les vitesses engendrées par des forces instantanées, absolument comme on détermine des vitesses, au bout d'un temps quelconque, produites par les forces ordinaires.

Pour le mouvement du système, qui fera suite aux percussions, nous n'avons rien à ajouter : car nous nous retrouverons dans le cas normal d'un système qui se meut dans de certaines conditions de liaisons, en vertu de certaines vi* tesses initiales, et qui peut d'ailleurs être ou non sollicité par des forces motrices.

Nous avons Implicitement admis, dans la théorie qui pré<cède, que toutes les forces étaient instantanées.

S'il y avait aussi des forces ordinaires , ce ne serait pas une difficulté; car, leur intensité étant très-faible par rapport aux percussions, on n'en tient aucun compte pendant la durée t; en sorte que les résultats déduits subsistent intégralement.

Les équations d'équilibre s'obtiennent avec la même fhcilité. Il suffit d'égaler à zéro les premiei*s membres des 3n— p équations du mouvement, ou de refaire le raisonnement connu sur les relations suivantes :

126 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

l'a' 4- rV* = o ,

Quant aux conséquences générales, relatives tant au moutement qu'à Téquilibre, qu*on pourrait présenter sur les percussions, la mélhode est trop semblable à celle des forces ordinaires pour que nous croyions utile d*y revenir.

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