CHOCS ET EXPLOSIONS
• 151. — Jusqu'ici nous avons supposé que les liaisons géolaétriques du système existaient dès Torigine du monvement. Nous allons maintenant entrer dans des considéralions analogues à celles du n"* 113, c'est-à-dire examiner le cas où soudainement, pendant le mouvement des points malériels, ceux-ci se trouveraient assujettis à certaines liaisons nouvelles. C'est ce qui aurait lien, par exemple, pour deux points matériels, attachés aux exti*émités d'un fil flottant, et qui auraient des mouvements les éloignant de plus en plus Tun de l'autre. Tout à coup, la distance des deux points ayant atteint la limite de longueur du fil, celui-ci se tendra et produira une action brusque en vertu de laquelle le mouvement antérieur des deux points sera modifié de manière à rester désormais compatible avec leur distance devenue invariable.
Nous ne nous proposons pas de déterminer tous les élé-
ments du mouvement qui succède ainsi à un brusque phénomène d'introduction ou de suppression de liaisons dans l'intérieur d'un système géométrique. Nous voulons seulement démontrer deux théorèmes, relatifs à la force vive, et qui ne sont que la généralisation de ceux déjà démontres pour le point matériel unique. Conservons d'ailleurs pour chaque point les mêmes expressions de vitesse conse^'vee, perdue et gagnée. Les deux théorèmes en question sont les suivants :
1° Quelles que soient les liaisons brusquement introduites entre les points d'un système, ou entre ces points et des courbes ou des surfaces fixes, la force vive du système avant l'introduction est égale à la force vive après, plus la force vive correspondant à l'ensemble des vitesses perdues et gagnées par les divers points du système.
T Quelles que soient les liaisons brusquement supprimées, la force vive après la suppression est égale à la foice vive avant, plus la force vive correspondant à l'ensemble des vitesses perdues et gagnées par les divers points du système.
£u résumé, l'introduction de liaisons diminue la force vive, et la suppression l'augmente de la quantité qui correspond aux vitesses perdues et gagnées. Quant à ces vitesses elles-mêmes, elles sont, dans les deux cas, augmentées pour certains points, diminuées pour d'autres, mais contribuent toutes à la fois soit à la perte, soit au gain de la force vive totale du système.
152. — Introduction brnsqne de liaisons*. Nous examinerons successivement l'efTet produit par chacune des liaisons qui peuvent figurer dans la con^titution d'un système géométrique, et qui se réduisent à celles-ci : 1° tige ou fil invariable liés par les deux extrémités à deux points matériels-, 2' fil le long duquel certains points glissent librement. - Quant aux surfaces ou aux courbes fixes, nous
328 LIVRE Jll. — SYSTÈMES MATÉRIELS.
n'avons pas besoin de nous en occuper, puisque le tlicoivnic est, on ce qui les concerne, démontré au n" U/i.
Soient donc en premier lieu deux points matériels M et j\r, douf's de vitesses qui, à un certain moment, sont dirigées suivant M V etM'V. Supposons que tout à coup ces deux points soient assujettis à rester désormais à la distance invariable M jM', où ils se trouvent actuellement. Cette introduction de liaison aura pour effet de transfor. mer les vitesses MV et M'V en ^ deux autres MV^, et M'V^, telles
que , pendant l'instant dt qui Yl suivra immédiatement Faddition de cette liaison, les deux mobiles arriveront respectivement aux positions N et N', lesquelles satisfont à la condition que la dislance NN' égale MM'.
Or, on peutconcevoirla vitesse V comme décomposée en deux Fiu. 27. autres, Tune dirigée suivant M 3»'
et égale à la vitesse conservée V^, Faulre dirigée suivant le prolongement du lien MM' et dont je représente la valeur par U. La vitesse V est ainsi la résultante de V^ et de U,
Le mouvement du mobile s'effectuerait tout naturellement suivant MN, si la vitesse Vj existait seule, au lieu de V. Mais puisque ce mouvement se produit effectivement, sous l'influence de la liaison introduite, il en résulte que cette introduction revient à anéantir subitement la vitesse U. Donc l'action de la liaison correspond à celle d'une Ibrce instantanée qui, pendant un temps extrêmement court, imprimerait une vitesse égale et contraire à la vitesse U.
Pareillement, pour le mobile M', on voit que la liaison revient à produire instantanément une vitesse égale et contraire à la vitesse U' qui, combinée avec VJ, redonne V.
MOLVEMEM GÉNÉRAL. 329
Cela posé, je dis que la somme des forces vives des deux points, après riiitroductioii de la liaison , est égale à la somme des forces vives primitives, diminuée de la somme des forces vives dues auxvitesses U etU', qui, dans la construction de la figure, sont toutes deux des vitesses perdues, maïs qui pourraient être, Tune perdue, Tautrc gagnée.
En effet, on a :
V = Vj + L*-^ — 2U V, cos (U, VJ ,
et par suite :
1 mV= ^ mVj + -; mU' — mUVj cos (U, Vj) (I)
de même
im'Y' = i m'y] + 1 m' U'^ — m'U' v; cos (L', v;) (2)
d'où, en ajoutant :
(3) ;-wV2+ im' V" = JmV{ -f- im' V'J + ' mU^^- i m'L'^ —
— mU V, cos (U, V,) - m'U'V; cos (U', v;).
Mais remarquons que l'action int<'rieure, développée par la liaison en M, au moment de l'introduction, est, comme on l'a déjà dit, égale et contraire à l'action développée en M'. Donc wiU et m'U', qui représentent respectivement les quantités de mouvement communiquées par ces deux actions aux deux mobiles, pendant la durée extrêmement courte de l'introduction, sont égales et de signes contraires. Les deux derniers termes de la précédente équation peuvent alors s'écrire :
mU[V, cos (U. V,) — v; cos (U', V;)] ;
or
Cette quantité devient donc :
mU dt
[mN. cos (M N , MM) — M'iN'. ces (WN', MM') | .
La quantité entre parenthèses est celle qui figure dans la démonstration du n° 141, et nous avons fait voir alors qu'elle est identiquement nulle. On peut la retrancher, et par suite la relation (3) se réduit à
'jinV 4- l m'V'2 = -; mVj + { 7n' VJ — (1 mU^ + ^ w' U'^) ;
ce qui est justement ce que nous voulions prouver.
On démontrerait d'une manière analogue , et en s'appuyant sur la seconde partie du même n" 141, que la relation ci-dessus a encore lieu lorsque certains points glissent le long d'un lil. Elle a donc lieu finalement pour rcnsemblc des points du système. Comme d'un autre côté elle se vérifie pour les cas d'assujettissements individuels, il en résulte qu'on peut écrire en général :
ou , ce qui revient au même :
N. B. Il est visible d'ailleurs que parmi les vitesses U quelques-unes peuvent être gagnées et non pet^dues. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, si, la liaison étant une tige rigide, la vitesse M' T était dirigée au-dessous de M' V^. Mais le même résultat subsisterait toujours, comme il est facile de s'en convaincre.
Si l'on suppose les vitesses M V et M' V faisant entre elles un angle aigu, et qu'on prenne des tiges MM' de plus en plus courtes, on arrivera, à la limite, au choc immédiat de deux points matériels l'un contre l'autre, assujettis aprcs
MOUVEMENT GÉiSÉRAL. 331
leur choc à rester au contact. Les résultats qui précèdent s'appliqueront intégralement à ce phénomène.
Donc, d'une manière générale, toutes les fois qu'entre les points matériels d'un système on introduit brusquement de nouvelles liaisons, ou quil survient des chocs entre des points qui restent au contact après le choc, il y a toujours perte de force vive, et cette perle est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées par les divers points.
Il n'en est pas de même de la quantité totale de mouvement, qui ne change pas par suite de Tintroduction de liaisons mutelles, et qui ne varierait qu'autant qu'on introduirait des assujettissements individuels. Les réactions instantanées ou continues des liens , étant toujoui-s égales et de signes contraires, sont nécessairement sans influence sur la quantité de mouvement; ainsi, du reste, que nous l'avons examiné en détail aux numéros 130 et suivants. Il n'y a rien de surprenant à ce que la force vive change quand la quantité de mouvement ne change pas : cela tient à ce que la vitesse figure différemment dans chacune des deux expressions, et que des variations de sens contraires, qui se compensent dans des quantités prises à la première puissance, ne se compensent plus quand ou les prend à la seconde.
153. — Suppression brusque des llalsoas. Supposons actuellement qu'au lieu d'une introduction de liaisons on ait une suppression brusque ou une explosion, qui ait pour résultat de rompre violemment les liens et de lancer les iim>biles dans des directions quelconques , autres que celles qu'ils auraient respectivement suivies en veitu de leurs liaisons primitives. Je dis que dans ce cas il y aura toujours accroissement de force vive, et que ce gain sera égal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées par les divers points matériels.
Soient en effet deux mobiles qui, d'abord assujettis à rester
LIVBE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.
à la même dislance l'un de Tautrc au moyen d*un lien inva* riabic MM', sont tout à coup lances suivant des dii*ections quelconques M V^ et M' VJ, à la suite d'une rupture brusque de ce lien.
Désignons par V et V les vite&ses respectivement possédées par les mobiles avant Texplosion , vitesses en vertu
desquelles ils seraient venus au bout d'un instant di oc^ cupor des positions N et M', telles que NN' égale MM', si la liaison avait persisté dans le trajet
En raisonnant comme on Ta fait pour le choc , on verrait que l'explosion produit ieffet d'une force instantanée qui imprimerait aux mobiles, suivant la direction MM', des vitesses U et U', telles que les vitesses conservées \^ et Y\ soient respectivement les résultantes de ces vitesses U et U' composées avec les vitesses V et T.
Par suite on a :
imy] + { m'V'î = ;-mV* + \m'r^ + \ml}^ +im'U'' —
— mU[V cos (V,13) —y cos(V,U')].
Ou a mis ?nV en facteur commun , d'après la remarque déjà faite que mV et m'IJ' sont égaux et de signes contraires.
Or, nous venons de démontrer, au sujet de l'introduction brusque, que la quantité entre parenthèses est nulle. La proposition annoncée en résulte, et on retendrait sans difcttlté aux autres liaisons géométriques ainsi qu'au cas de deux points matériels, primitivement unis et au contact, et brusquement séparés à un certain moment.
Fig. 28.
MOUV£MEXT GÉNÉRAL. 333
Finalement donc, toutes les fois que dans un système quelconque il se produit des ruptures brusques de liaisons ou des explosions entre les divers points de ce système, il y a gain de force vive, et ce gain est c'gal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées par les divers points du système.
Ces phénomènes sont d*aiileurs sans aucune influence sur la quantité totale de mouvemeut.
