CHAPITRE III

AUTRE MANIÈRE DE PRÉSENTHl LES RÉSULTATS ÉTABLIS DANS LE CHAPITRE PRÉCÉDENT, OU MÉTIKHffî DES MOUVEMENTS ' VIRTUELS.

15i!i. — Nous nous proposons ici d*appiiquer aux systèmes géométriques la méthode qui a fait Tobjet du cinquième chapitre du livre ii, et qui au fond ne diffère pas de celle qui a été employée dans le chapitre précodent. Elle repose sur le principe deg moments virtuels étendu aux assemblages quelconques de points matériels et consistant en ce que :

Dans tout mouvement d*un système géométrique libre ou assujetti, la somme des moments virtuels des forces extérieures est égale ù la somme des moments virtuels des forces conservées.

Quant aux systèmes dynamiques, l'usage de cette méthode est tout à fait sans intérêt, ainsi que nous le verrons plus loin. Il en est de ces systèmes comme du point matériel libre, au n° 117.

Nous allons d'abord reprendre, en les généralisant, les définitions posées dans le chapitre précité.

Définitions.

On nomme positions virtuelles des points matériels d'an système quelconque, les positions que pourraient occuper simultanément les points (le ce système, sans altérer les liaisons de toute nature auxquelles ils sont soumis; ou, eo d'autres termes , les positions compatibles avec TensenUe des liaisons du système.

On nomme de même motwemenU ou déplacements mr^ tuels des points , les mouTements simultanés dont les tra-* jectoires ne passeraient que par des positions virtuelles.

Ainsi :

Pour un système dynamique libre, tous les points de l'espace sont des positions virtuelles; car avec des forces d'intensité et de direction convenables on peut y amener simultanément tous les mobiles de ce système, sans altérer en rien leurs liaisons, qui se réduisent à de pures forces mu*tuelles qu'on peut toujours combattre par des actions extérieures suffisantes.

Au contraire, pour deux mobiles, par exemple, liés en-^ semble au moyen d'une tige invariable, les positions virtuelles seront restreintes à celles qui satisferont à la condition que la distance reste égale à la longueur de la tige de liaison $ en sorte que, si Tun des mobiles occupe déjà une certaine position déterminée, le mouvement virtuel de Tautre ne peut se produire que suivant la surface d'une sphère dont le centre serait le premier mobile, et le rayon la tige considérée. Si en outre l'un des mobiles est assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, il faudra que les positions virtuelles satisfassent a une nouvelle condition, consistant en ce que le mobile en question n'abandonne pas cette courbe ou cette surface.

Pareillement pour trois mobiles, dont deux liés aux extrémités d*un fil et le troisième glissant le long de ce fil, les positions virtuelles seront restreintes à toutes celles pour lesquelles la somme des deux distances demeure constante; et, si en outre les deux points matériels extrêmes sont invariablement fixes, les positions virtuelles du troisième se réduiront aux points d'un ellipsoïde , et ses trajectoires virtuelles à toutes les lignes qu*on pourra tracer sur celte surface.

N. B, Dorénavant, quand nous parlerons de positions virtuelles et de mouvements viituels , il sera entendu qu'il s'agit spécialement des positions infiniment voisines et des éléments rectilignes qui les joignent aux mobiles du système.

Quaut aux momenU virtueU, aux forces conservées, etc. , nous n'avons rien à ajouter à ce qui a déjà été convenu dans lenMlG.

Cela j[)osé, nous allons procéder à la démonstration du principe des moments virtuels.

155. — Soit donc un système quelconque, dynamique ou géométrique, libre ou assujetti. Soit m un point matériel de ce système, P sa force extérieure, I sa force intérieure, et X, Y, Z, L, M, N les composantes de ces deux forces suivant les axes de coordonnées. Soit enfin une droite quelconque, menée par le point m, et ^s une portion arbitraire de cette droite, dont les projections, suivant les axes, seront désignées par d;r, îy, ôz, de telle sorte que les angles de cette même droite auront respectivement pour cosinus

Ts' h' Ts'

Nous supposerons d'ailleurs, comme au n° 117, les quantités $Xf 3y, Szy Ss infiniment petites, ce qui n'altérera en rien la généralité de la position de cette droite.

MÉTHODE DES MOUVEMENTS VIRTUELS. a37

En s'appuyaot sur le même principe que dans le n° prëcitéy on établira la même relation (2), savoir .

X$x H- Y$y H- Ziz + L$x -+- M$y + Nîz = /dv ^ , du ^ , dw ^\

laquelle signifie que le moment de la force extérieure, plus le moment de la force intérieure, suivant une direction tout à fait quelconque, est égal au moment de la force conservée; proposition qui n'est que la transformation algébrique de celle qui exprime que dans le mouvement projeté suivant une droite quelconque la somme des composantes des forces extérieure et intérieure est égale à la masse du mobile multipliée par son accélération. Nous partons ainsi de la même base qui a servi à édifier les théoi*ies du chapitre précédent : nous devrons donc arriver exactement aux mêmes résultats.

Pour un autre point matériel m' on établira une relation tout à fait semblable. Si nous en faisons autant pour chacun des points du système, et que nous ajoutions ensemble toutes les relations ainsi obtenues, il viendra :

équation dans laquelle les directions de toutes les droites menées par les divers points sont absolument arbitraires. Si nous voulons que les moments considérés soient des moments virtueh^ il faut exprimer que les directions de ces droites sont celles de déplacements compatibles avec Fensemble des liaisons du système.

Quand le système est dynamique, toutes les directions sont virtuelles, ainsi qu'on Ta expliqué plus haut. Par couse-

qucnt, Sx, 5y, $z, Sx'.... peuvent avoir des valeurs tout à fait quelconques et indépendantes les unes des autres, ce qui exige, pour que Téquation ci-dessus soit constamment satisfaite, qu'on ait séparément pour chacune de ces quantités :

en sorte q.u'on i^etombe immédiatement sur les équations connues du mouvement des systèmes dynamiques ; aussi ne nous en occuperons-nous pas davantage.

Si au contraire le système est géométrique, toutes les di- 'rections ne sont pas virtuelles. Mais pour celles qui satisfont à cette condition, je dis que la somme des moments •correspondants, dus aux forces intérieures, est nécessairement nulle. Pour le démontrer, il suffît de refaire des raisonnements identiques à ceux qui ont déjà été présentés au n? li!ii, quand il s'est agi de faire voir que la somme des travaux élémentaires des forces intérieures est égale à zéro dans les systèmes géométriques libres ou assujettis. £n effet, tout ce que nous avons dit alors reposait sur les deux bases suivantes : 1° que les liaisons subsistaient intégralement au bout du déplacement considéré ; 2° que ce déplacement était infiniment petit. Or, ici les liaisons subsistent dans toutes les positions virtuelles du système, puisque c'est là la définition même des positions virtuelles. D'ailleurs, les lignes Sx, Sy, .... qui joignent ces positions virtuelles aux mobiles sont, par hypothèse, infiniment petites. Donc la même démonstration subsisterait pour fbire voir que la somme des moments virtuels des forces intérieures est nulle. Par suite l'équation (a) se réduit à ceile-ci :

(M) I{XSx^XSif-hZSz) = 2.m(^ Sx -h^Sy + ^ Szy

£lie exprime que la somme des moments virtuels des forces extérieures est égale à la somme des moments virtuels des forces conservées.

£lle est identique dans sa forme avec celle qui conviendrait .à un groupe de points matériels libres indépendants les uns des autres. Mais il y a dans le fond cette différence essentielle, que les droites Sxy dr^, ..., au lieu d'être menées dans l'espace d'une manière quelconque, ne représentent plus que des directions compatibles avec l'ensemble des liaisons du système. En sorte qu'il faut exprimer que les points de l'espace qui ont pour coordonnée* ^H-5j7,yH-5y,2rH-5z, z' + Sx'j sont des positions virtuelles, ou, en d'autres termes , que ces coordonnées satisfont aux équations de liaisons, aussi bien que les coordonnées or, y^ z, x\ .... elles-mêmes.

Soient donc /'=o, <p = o, X=o, .... les diverses équations de liaisons du système. Il faut y substituer x -{-èx^ ^ + ^^ 9 .... à la place de>r, y, .... ce qui nous donne :

^J, + ^ay-h^5z + ^d.'+ =o.

' dx

(N) /<te dy ^

<te^-"+ =°'

Ce système d'équations(N),réuni à l'équation (M), exprime les conditions de la question, puisque les droites par rapport auxquelles sont pris les moments des forces se trouvent assujetties à n'avoir que des directions de mouvements virtuels.

Les quantités ^or, ^^, iz^ Sx\ .... étani d'ailleurs quelconques, dans la limite des restrictions que nous venons d'indiquer , il faut en éliminer autant que possible entre

les équations (N) et (M), et ensuite annuler séparément le coefficient de chacune des quantités restantes. S*il y a p équations de liaisons, on pourra éliminer/) de ces quantités, ce qui réduira à Sn — p le nombre de celles qui continueront à figurer dans Féquation (M) ; et en égalant à zéro leurs coefficients, on aura 3n — p équations entre les forces extérieures et les coordonnées. Ce seront là les 3n — /i équations du mouvement, qui, réunies aux p équations de liaisons f:==. o, cp=o, .... permettront de résoudre complètement le problème.

Les 3n — p équations dH mouvement que nous obtenons ainsi sont identiques à celles qu'on trouvait par une autre méthode dans le chapitre précédent. On se rappelle, en effet, que le procédé de calcul consistait à exprimer L, M, N,.... en fonction des tensions du système et de leurs angles, entre les points deux à doux ; que ces tensions constituaient autant d'inconnues distinctes qu'il y avait d'équations de liaisons; qu'on éliminait entre les Zn équations (A), (A').... ces p inconnues, et qu'il restait finalement 3n — p relations entre les forces extérieures et les coordonnées. Or, quelle que soit la méthode suivie, on ne peut jamais arriver qu'à un même système d'équations provenant de l'élimination. Par conséquent, les 3n— p équations ne différent pas de celles déjà trouvées.

156. — Nous n'avons rien spécifié sur la manière de faire l'élimination des p quantités $a?, 5y, .... entre l'équation (M) et les équations (N). Il est certain, en eflct, que le résultat est parfaitement indépendant du mode de procéder; par conséquent, il n'y a pas lieu de s'en préoccuper au point de vue de la marche générale du raisonnement.

Mais les procédés de calcul, bien que donnant des résultats définitifs identiques, déterminent, dans la transition, certaines formes d'équations qui peuvent mettre en évidence des propriétés intéressantes à remarquer.

A cet effet employons, pour effectuer réliminatiou dont nous avons parlé, la méthode dite des coefficientM indéterminée, à laquelle nous avons déjà eu recours au n" 118. Cette méthode consiste, comme on s'en souvient, à multiplier chacune des équations par une constante indéterminée, à ajouter toutes les équations entre elles, et u déterminer ensuite ces constantes par la condition que les multiplicateurs des inconnues, qui contiennent nécessairement les constantes en question, soient séparément nuls.

Multiplions donc respectivement les équations (N) par des coefficients indéterminés X, fx, v, .... et ajoutons toutes ces équations avec Téquation (M); il vient alors :

Choisissons les indéterminées X, jut, v, .... de telle sorte que chacun des multiplicateurs de 5;r, 5y, .... soit nul. Il vient alors les Zn relations :

(I') l ^ -.àf d9 dw

„,,.<//■, rf<? . dv'

3/!|2 IIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

Si entre ces ^n équations on élimine X, fx, v, .... il restera 8» — p relations entre les forces extérieures X, Y, Z, X', ... et les coordonnées. Ce seront précisément les 3/i — p équations du mouvement cherchées.

Sans effectuer cette élimination, nous allons déduire des équations (L) une conséquence intéressante.

Remarquons, en effet, qu'en représentant par L, M, N les trois composantes suivant les axes des forces de liaisons agissant sur le point m, parU, M', N', les composantes analogues pour le point m\ et ainsi de suite ; on a les Sn relations connues :

(A) X + L = mJ. Y+M = m^, z i-N=m^,

(AO X'H-L'=m'^ •

En comparant ces relations, chacune à chacune, avec les relations (L), on voit que, les seconds membres étant égaux, les premiers doivent Têtre aussi, et que par suile on a :

'=^I+kS+

Considérons d'abord la première de ces relations. La quantité L , qui est la composante suivant Taxe des a? de la force totale des liaisons aboutissant au point m, est égale à la somme des composantes des forces qui représentent respectivement ces diverses liaisons : c'est donc là ce que

représente aussi le second membre. Or, le terme X -J- étant

le seul où figure Téquation de liaison /*= o , est aussi par conséquent le seul qui puisse représenter la force de liaison correspondant à cette équation /'=o et agissant au points.

Donc y^-f- est égal à la composante suivant Taxe des x

de la force intérieure en m due à la liaison f=o. Et ainsi de suite pour chacun des autres termes. La seconde équa-

tion montrerait pareillement que X -j- est égal à la compo^

santé suivant Taxe des y de la force intérieure en m due à la liaison f= o. Et de même pour tous les autres termes et pour toutes les autres équations.

Ainsi les trois quantités X ^ , X ^, l-J- représentent

respectivement les trois composantes suivant les axes de la

force intérieure en m due à la première liaison f= o. Sem-

blablement les trois quantités f* ;t-* , 1^ T^ > P- 7^ ^^"^ '^^

composantes de la liaison ({• = o ; etc., etc.

Par suite, les valeurs de ces diverses forces intérieures sont faciles à calculer; car, soit i la force intérieure agissant en m et due seulement à la première liaison /*= o : ou aura, en appelant a, ê, 7 ses trois angles avec les axes :

i cos a = X :/- , 1 ces 6 = X :/-, i ces y = X -,- ;

ax 'dy ' dz

d'où résulte

eu désignant abréviativement par H la quaniiié

ZkU LIVBE III. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

On a de même :

cos a = H -/- , cos S = H -3^ , cos 7 = H •:p-\ dx dy ' dz

On trouverait pareillement, pour le point m\ que la force intérieure t\ duc à la même liaison /'==o, donne lieu aux relations

i=^, cosa'=H'^, cosê'=H'^ 0087'= H' ^; H dx* dy ' dy

et ainsi de suite pour chaque liaison et pour chaque mobile. Coniéquenees,

1*- La constante indéterminée X est proportionnelle à la force intérieure due en chaque point à la liaison /'=o ; la constante fx est pareillement proportionnelle à la force intérieure due en chaque point à la liaison c^=o ; etc.

îi° La force intérieure i, qui agit en m par suite de la liaison /'=o, est normale à la surface qu'on obtiendrait, si, dans réquation f=^o^ on regardait toutes les coordonnées, excepté celles du point m , comme constantes , ou , en d'autres termes, si Ton regardait tous les points comme fixes et le point m comme seul mobile. C'est ce qui résulte des valeurs des cosinus des angles , qui sont justement celles qui conviennent à la normale de la surface en m , et qu'on a eu occasion de rappeler au 11° 101. Cette conséquence était, du reste, facile à prévoir: car le mobile m, par suite de sa liaison /'=o, se ti'ouve assujetti :

Soit à demeurer à une distance invariable d^nn antre mo-^

bile, ce qui Tobligc à se mouvoir sur la sphère dont celui-ci est le centre ;

Soit à glisser le long d'un fil dont les deux extrémités sont Invariablement liées à deux autres mobiles, ce qui Toblige à se mouvoir sur Téllipsoïde dont les deux derniers mobiles sont les foyers ;

Soit à demeurer sur quelque courbe ou surface donnée, indépendante des autres points.

Dans tous les cas, la force intérieure, due à la liaison, se trouve nécessairement normale à la surface représentée par réquation /'=o, où toutes les coordonnées, autres que celles du point m, seraient regardées comme constantes.

Z"* Les forces intérieures , dues à la même liaison dans différents points, sont numériquement égales et opposées deux à deux. En effet, Téquation /'=o, soit qu'elle exprime que la distance des deux points ?n et m reste constante, soit qu'elle exprime que ces deux points glissent le long d'un fil de telle manière que c'est la somme des distances partielles qui est constante, est nécessairement symétrique, au signe près, par rapport aux coordonnées ar, y, z^ et a?', y\ z' : car ces quantités figurent dans Téquation /'=o par des binômes, tels que (^—j:'). D'après cela, les quantités -j- et -T^,

seront égales et de signes contraires, et H et H' seront égaux. Donc les intensités de i et i\ dans les relations cidessus, seront égales , et les cosinus de leurs angles seront égaux et de signes contraires. Ainsi ces forces seront égales et opposées, et ne seront autre chose que la tension que nous avons déjà désignée par i' dans le n* 1 29. Les valeurs de

L, M, N, L' écrites ci-dessus mettent bien clairement

en évidence la véritable signification de ces quantités dans les équations du mouvement (A), (A'),.... On voit qu'elles représentent en chaque point la somme des composantes, suivant le même axe, de toutes les forces intérieures provc-

346 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

naiU (les liaisons inuluelles aboulissaiit au même point. Si quoique mobile se trouve spécialement assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, la constante indéterminée par laquelle ou aura multiplié Téquation correspondante aura la même signification que plus baut, relativement à la réaction normale de cette courbe ou de cette surface.

157. —Actuellement revenons à Téquation générale des moments virtuels,

(M) l{X$x+\Sy + Z$z)=lm(^^$x+^$tj+^izY

et montrons comment elle se prête à toutes les déductions déjà obtenues dans le chapitre précédent.

1° — Propriétés de la quantité de mouvement et du eentre de gravité. Si le système est parfaitement libre , on peut prendre pour positions virtuelles des points matériels celles qui se trouveraient à rextrémité d'éléments rectilignes égaux et parallèles , menés dans des directions quelconques par ces divers points matériels. Car la figure géométrique affectée par ces positions est la même que celle qu'affectent les mobiles : par suite , les liaisons existant entre ces mobiles conviennent à ces positions. De telles positions virtuelles résulteraient de la translation de tout le système, parallèlement à lui-même, et sans en altérer aucunement la forme géométrique. Dans le cas où nous nous plaçons, les

quantités $x, Sx', sont égales entre elles ; de même Jy,

Jy',.... et de même aussi Szj Sz', L'équation des moments devient donc :

$xlX+$ylY+$zlZ=Sxlm^-\-Sylm^+Szlm'^^ .

Or, $x, $y, àz étant indépendants entre eux, puisque les

MÉTHODE DES MOUVEMENTS VIRTUELS. ^hl

éléments rectilignes peuvent être menés dans une direction quelconque, on doit avoir séparément :

Ces équations ne pourraient évidemment pas être obtenues sK y avait dans le système quelque mobile assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée. Car l'élément recliligne, mené par ce mobile dans une direction quelconque, sortirait de la courbe ou de la surface, et, par suite, Textrémité de cet élément ne constituerait pas pour le mobile en question une position virtuelle.

Les relations que nous venons de déduire étant identiques à celles du n° 130, on peut en tirer toutes les conséquences connues, relativement à la quantité de mouvement et au centre de gravité.

2° — Propriétés des aires. Si le système est toujours parfaitement libre, nous pouvons prendre pour positions virtuelles celles qui se trouveraient à l'extrémité d'éléments rectilignes, proportionnels à leurs distances respectives à une droite quelconque, et perpendiculaires à ces distances. Ces positions virtuelles sont, en d'autres termes, celles qui correspondraient à une rotation simultanée de tous les points matériels autour d'une droite quelconque, sans altérer la forme du système. Il est visible que, les relations géométriques entre ces positions étant les mêmes qu'entre les mobiles, les équations de liaisons seront satisfaites par ces nouvelles coordonnées. Or, dans une semblable hypothèse, les quantités ^jr, Sx\ dy, Sy'.... ont entre elles une certaine dépendance, que nous allons trouver.

Soit X, fx, y les angles d'une droite quelconque, menée par l'origine des coordonnées, et par rapport à laquelle on conçoit la rotaiion qui établit les positions virtuelles dont nous venons déparier. Toutes les quantités Ja-,dy,.... pour-

ront être exprimées en fonction de ces trois angles. En effet, 1° le déplacement $g possède une direction perpendiculaire à celle de la droite : donc le cosinus de Tangle est nul, ce qui s'exprime , comme on sait, par la relation :

(i) Sx cosX H- $y CCS |ui -h ^2 €08 V = o ;

2° La distance de la position virtuelle à Torigine est égale à la distance du mobile lui-même ; donc on a

{x 4- $xy -h (y 4- Syy+ (z-h Szy = x^ -hy^ -^ z^ ,

ce qui se réduit à

(2) x$x + ySy +2$z = o ,

Ces équations (1) et (2) permettent de trouver $Xj Jy, Sz en fonction d'une constante indéterminée h-, les valeurs sont :

$x= {z cos II — y cos v) A ; (a) $y = {xœsv — 2 cos X) A ; $z = (y cos X — a? cos fj,) h.

On aurait pour $x'j Sy, Sz' les valeurs analogues :

$x' = {z' cos fji — y' cos v) h' ; (a') $y' •= (x' cos V — 2' cos ).) A' ;

Sz' r= (y' cos X — x' cos f/) h'.

Avant de poursuivre, je remarque que les indéterminées h et A' sont égales. Cela résulte d'une condition que nous n'avons pas encore exprimée, et qui consiste en ce que les deux déplacements sont proportionnels à leurs distances à la droite, ou, ce qui revientau même, en ce que la longueur comprise entre les deux positions virtuelles est la même qu'entre les mobiles : ce qui donne, après réduction, l'équation :

(3) X $x'+ y $y' + z$z' + x'$x -^ y' $y -{- z' Sz = o

d'où l'on tire, en y remplaçant 5^?, 5y, 5z, $x\ $ij\ $2' par leurs valeurs ci-dessus :

(A' — A) { cosX (y'2:— 2'y)4-C0S ii{z'x'-x'z) -{- cmv{x'y^y'x) j = ,

relation qui né peut être satisfaite, pour des valeurs quelconques de \ fx, V, qu'autant que A' = A.

Pour chaque autre point du système, on trouverait un groupe semblable à (a), dans lequel figurerait toujours la même constante indéterminée A. Si maintenant on porte les valeurs de tous ces déplacements virtuels dans Téquation des moments, celle-ci devient, en supprimant la constante A commune à tous les termes :

cosvl{Yx - \y) 4- cos p2 (Xz — Zx) + cosX2(Zy-. Yz) =

. ^ fdiv du \

Pour que celte relation soit satisfaite, quels que soient X, [Xj y, il faut qu'on ait séparément :

2,(ÏX'^Xy) = lml^x^j^yj ; X(X.-Z., = I,» (*.$.);

équations qui ne sont autres que celles du n? 136, d'où sont déduites toutes les propriétés des moments et des aires.

On arrivei*ait plus simplement aux mêmes résultats, en remarquant que les positions virtuelles correspondant à une

550 UVRË m. •— SYSTEMES MATÉRIELS.

rolaiion du système, au lieu d'être établies par rapport à une droite quelconque, pourraient Tèlre par rapport à chacun des trois axes successivement. Car ce qui est vrai pour les trois axes est vrai pour une droite quelconque, et vice versa.

Supposons donc qu'on prenne d'abord pour positions virtuelles celles qui corrcspoudraient à une rotation autour de Taxe des x. Dans ce cas, on a pour le point matériel m :

de même pour le point matériel m' :

et ainsi de suite pour chacun des autres points.

Mais remarquons que la proportionnalité des déplacements 5*, J^V--- aux distances à Taxe des x donne :

^s = Il Vy"- + z" , J^' = A Vy'"- + 2" ,.

h étant une constante indéterminée. Par conséquent, les quantités ci-dessus deviennent ;

Jo; = o 5y == — hz ^z = hy

§x'=0 ôy'==: — hz' §z'=hy\

En faisant la substitution dans l'équation des moments virtuels, elle se réduit simplement à

On obtiendrait les deux autres relations en imaginant tour à tour une rotation par rapport a l'axe des ^et à l'axe des z.

f 30 — Théorénc! des forées vUes. On peut prendre pour déplaeemenl virtuel du système son déplacement eficetif pendant un temps infiniment petit. Car, au bout du temps dt, les positions réelles des points du système sont compatibles avec les liaisons, telles qu'elles existent à cet instant précis : mais ces liaisons sont elles-mêmes alors ce qu'elles étaient auparavant, puisqu'elles sont indépendantes du temps. Donc les liaisons avant le déplacement conviennent encore après, et, par suite, les éléments reclilignes, qui joignent ces positions voisines, sont des déplacements virtuels. Or, si Ton introduit cette hypothèse dans l'équation des moments virtuels, elle devient :

2(Xeir+Yrfy + Zrfz) = 2m (^rfx+^rfy + grfz) ;

ce qui est justement la relation connue des forces vives.

168. — Equilibre. Pour retrouver les propositions de l'équilibre, nous devons introduire dans l'équation des moments virtuels la définition que nous avons donnée de cet état particulier des forces appliquées au système, état qui consiste en ce que ces forces peuvent être introduites ou supprimées, sans que le mouvement ou le repos du système soit en aucune façon modifié.

Or, il est clair que, pour que les choses se passent ainsi, il faut de toute nécessité que le premier membre de Téquation des moments virtuels soit égal à zéro ; faute de quoi le second membre ne resterait pas le même, et, par suite, le mouvement changerait, selon qu'on supposerait les forces existant ou n'existant pas.

L'équation qui exprimera la condition d'équilibre sera donc celle-ci :

à laquelle il faut joindre, bien entendu, toutes les équations

(N) du 1)'' 155, puisque les quaniilés d^r, dy, au lieu

d'être absolumcut quelconques, sont assujetties à avoir des valeurs telles que toutes les équations de liaisons soient satisfaites par les coordonnées des positions correspondantes.

Pour que des forces appliquées à un système géométrique se fassent équilibre, il faut donc que la somme de leurs moments virtuels soit nulle. On peut aisément mettre en évidence les 3w — p conditions déjà trouvées, auxquelles les forces extérieures doivent satisfaire. Il suffit de reprendre le calcul fait ci-dessus pour établir les hn — p équations du mouvement; c'est-à-direqu*il suffit d'éliminer p quantités Ja?, 5y, Jr, ^x' au moyen des relations (N), de substituer leurs valeurs dans l'équation (E), et d'égaler ensuite à zéro les coefficients des 3n — p quantités restante^. Il reviendrait, d'ailleurs, au même d'aborder directement les 3«— p équations du mouvement , et d'annuler le premier membre de chacune d'elles. De quelque manière qu'on fasse le calcul, on aboutira nécessairement aux mêmes conditions que dans le chapitre précédent.

Il est bien visible que réciproquement, toutes les fois^que la somme des moments virtuels est nulle , les forces sont en équilibre : car l'équation (E) représente en réalité 3n— /i équations distinctes, qui ont précisément pour résultat d'annuler les premiers membres des 3n — p équations du mouvement. D'où il suit que le mouvement n'est pas changé, selon qu'on suppose les forces extérieures suppiimées ou établies dans le système.

On voit en même temps que, toutes les fois que les forces se font équilibre, on a :

ce qui signifie que la somme des moments virtuels des forces conservées est constamment nulle.

Ou iréprouYC aucune difllcultë ;i Urer de réquatiou (E) toutes les conséquences relatives à Téquilibre. Le théorème de d*Alembert s'établit de la manière suivante : Un système étant en mouvement sous ractiou de forces extérieures quelconques, établissons Téquation des moments virtuels (M) relative a ce mouvement, ei mettons en facteur commun chacun des coefficients $Xj Jy, Sz. Cette équation prend alors la forme :

Rien ne nous empêche de considérer X— m -r-j-, Y— m-vf,

if 2

Z — m --r^ comme représentant, pour chaque point, les trois

composantes d'une certaine force qui lui serait appliquée ; et, d'après ce qui vient d'être dit plus haut, on voit que ces nouvelles forces sont en équilibre sur le système. C'est ce qu'on énohce en disant que les forces extérieures font équilibre à des forces égales et contraires aux forces conservées ; ou que les forces perdues du système se font équilibre.

On présente souvent de cette manière la mécanique des systèmes de points matériels; c'est-à-dire qu'on commence par établir que, duns un système en équilibre, la somme des moments virtuels est nulle ; et on ramène ensuite les problèmes du mouvement aux problèmes de l'équilibre, en exprimant que l'équilibre a lieu pour les forces perdues du système , et que couséquemment la somme des. moments virtuels de ces dernières est égale à zéro. On nomme cette méthode eonibinaison du théorème de d'Alembert avec le principe des moments virtuelg. Mais malheureusement ce n'est là qu'une transformation factice des problèmes du mouvement ; car , malgré l'énoncé différent qu'on donne ainsi à l'équation (M), on ne fait pas autre chose en réalité qu'exprimer l'égalité entre la somme des moments virtuels

des forces extérieures, d'une part, et la somme des moments virtuels des forces conservées, d'autre part. Quant aux calculs, ils restent identiquement les mêmes : il est indifférent

en effet d'opérer l'élimination de $x, îy, Sz, au moyen

de l'équation (P) ou au moyen de l'équation (M), puisque ces deux équations se confondent l'une avec l'autre.

Nous croyons inutile de reproduire ici tout ce qu'on a déjà vu sur l'équilibre, et qui se déduirait évidemment du principe des moments virtuels, en raisonnant de la même manière que pour le mouvement.

159. — Introduetlon et rupture brusque des llalsous. Les théorèmes des n^ 151 et suivants se démontrent sans la moindre difficulté.

Examinons d'abord le cas de l'introduction de liaisons.

On peut toujours supposer qu'à partir du moment où l'introduction commence, et pendant la durée de l'introduction, aucune force extérieure ordinaire n'agit sur les points matériels, car l'action de ces forces disparaît devant celle des forces instantanées qui interviennent dans cette période.

L'équation des moments virtuels, à l'origine de l'introduction, sera donc :

Or nous pouvons prendre pour déplacement virtuel à cet instant, c'est-à-dire pour déplacement compatible avec l'état actuel des liaisons , un déplacement qui , après l'introduction, sera compatible avec le nouvel état du système; et notamment le déplacement effectif qui succède immédiatement à cette introduction : car, d'une part, la position des points matériels, avant et après, se trouve la même, puisque la durée de introduction est infiniment petite ; et, d'autre part, le déplacement effectif étant compatible avec les anciennes liaisons augmentées des nouvelles, e$t, à plus forte

raison, compatible avec les anciennes liaisons seulement. Si donc nous représentons ce déplacement effectif par dx^^ ^Vx'i d^\y nous aurons :

ou bien, Im i-^ ^^^ + "T^ ^" + "T^ ^^) = ^ •

Prenons Tintégrale par rapport au temps, pour la durée extrêmement petite de Fintroduction ; on aura , en représentant par v^yU^y w^ les composantes de la vitesse V4 qui succède immédiatement à Tintroduction :

en remarquant que, pendant cette durée, les quantités dx^y dy^y dz^ ne changent pas , et sont conséquemment hors de l'intégration.

Cela posé, soit U une vitesse dont les composantes suivant les axes soient respectivement égales à v—v^y u — w^, 11? — w^, La vitesse initiale V, qui a i?^ m et tr pour projections , est la résultante de la vitesse U et de la vitesse V^

dxt du. dz, ^qui a pour projections v^, u^ et iTi ou -tt^ > -^ » -7-* . U est

donc ce que nous avons nommé antérieurement la vitesse perdue, et V^ la vitesse conservée.

L'équation précédente devient, en introduisant ces notations :

-.2mUV, ^^. U ^v; U ^V, ÏÏ^y = 2mUV,cos(U, y,) .

D*un autre côté, puisque V est la résultante de tl et de V^, on a :

V» = L> + Vj + 2 U V, cos-(U, VJ .

et par suite, en multipliant par î^ m, et faisant la somme de toutes les relations analogues pour les divers points matériels du système :

1 1 m V« =2 i m Vj + 1 i m U* +2 mU V, C09 (U, V,) .

A cause du résultat précédent, celte équation se réduit à celte qu'on connaît déjà :

2 1 m V» = I i m Vj -h 2 i m U» .

On démontrerait de la même manière le théorème relatif à la rupture brusque des liaisons.