CHAPITRE PREMIER

160. — Jusqu'ici nous avons supposé que les axes de coordonnées auxquels on rapportait le mouvement étaient fixes dans l'espace ; en sorte que le mouvement des points matériels considérés était leur mouvement réel ou absolu. Par suite, les relations établies entre ces mouvements et les forces correspondantes étaient les relations qui leur convenaient véritablement, et qui permettaient de trouver la valeur des uns en fonction de celle des autres.

Il n'en serait plus ainsi si les axes de coordonnées étaient eux-mêmes doués d'un certain mouvement dans l'espace. Alors, pour un observateur placé sur ces axes et entraîné

avec eux , les points matériels pnraîtraient avoir un autre mouvement que celui qu'ils ont réellement. Ils pourraient même sembler se déplacer lorsqu'ils seraient au contraire absolument invariables. En d'autres termes, l'observateur dont nous parlons constaterait ce qu'on est convenu de nommer le mouvement relatif à^Q ces points matériels. Par suite, les relations qu'on établirait entre ce mouvement, tel que l'observation le manifeste directement, et les forces qui sollicitent les mobiles seraient essentieUement erronéesi et conviendraient, non aux forces réelles, mais aux forces qui semblent les mouvoir, et que pour cette raison on nomme forces apparentes.

AHisi, on appelle mouvement relatif à'nn point matériel ou d'un système de points, le mouvement qui s'effectue par rapport à des axes de coordonnées mobiles. On appelle forces apparentes celles qui semblent agir sur les points matériels, ou qui seraient capables de produire ce mouvement relatif envisagé comme un mouvement absolu.

Les forces réelles ne produisant pas le mouvement relatif, mais bien un mouvement réel qui diffère essentiellement de ce mouvement relatif, on appelle forces fictives les forces qui devraient être combinées avec les forces réelles pour engendrer le mouvement relatif traité comme un mouvement absolu. En d'autres termes, les forces^fictives sont des forces qui, combinées avec des forces réelles, conserveraient au mouvement des points matériels son même aspect , si les axes cessaient tout à coup d'être mobiles et devenaient de véritables axes fixes. Au moyen de l'introduction des forces fictives , l'observateur, entraîné tout à l'heure avec les axes mobiles, ne s'apercevrait pas qu'ils sont devenus fixes.

Les problèmes que le présent livre a pour objet de résoudre sont les deux suivants :

l"" Étant connu le mouvement des axes de coordonnées

mobiles, aiusi que le mouvement relatifdes points matériels, trouver les forces réelles qui les sollicitent;

2° Etant connu le mouvement des axes ainsi que les forces réelles qui sollicitent les points matériels, trouver leur mouvement relatif.

Subsidiairement, la solution de chacune de ces deux questions permettra de déterminer les forces fictives, ou, ce qui revient au même, le groupe des forces apparentes.

161. — Pour obtenir ces résultats, nous démontrerons un certain nombre de propositions préliminaires. Mais, dès maintenant, il est bon de faire sentir la haute utilité des problèmes que nous avons en vue. On peut dire qu'ils sont les seuls qui aient véritablement une portée objective, et que les livres précédents ont traité d'une pure abstraction, dont Tunique objet était de fournir une base aux déductions actuelles. Car, dans la nature entière, ou tout au moins dans notre système planétaire, il n'y a pas un seul point qui soit réellement fixe. La Terre, à la surface de laquelle s'accomplissent la plupart des mouvements qu'il nous importe d'étudier, est douée d'une rotation autour de son axe des pôles et d'un mouvement révolutif autour du Soleil. Cet astre luimême, qu'on avait longtemps cru immobile dans l'univers, est réellement emporté! dans l'espace avec une vitesse considérable, ^dont la valeur et l'exacte direction sont d'ailleurs encore inconnues. Il serait donc impossible de faire choix d'un système d'axes de coordonnées qui ne fût pas en mouvement. Nous sommes destinés à n'étudier jamais que des mouvements relatifs; ce qui rend extrêmement désirable de connaître les équations exactes qu'on peut établir entre ces mouvements et les forces réelles. Sans cela nous serions exposés à prendre pour une force réelle ce qui serait une force apparente, et, par suite, nous commettrions les plus grandes erreurs dans notre appréciation des propriétés mécaniques de la matière.

Si, malgré cet obstacle fondamental à Tétude directe des phénomènes du mouvement, nous avons pu établir la théorie des mouvements absolus, et, ce qui semble surprenant, la baser sur robservalion naturelle elle-même, c'est que, grâce aux énormes dimensions de notre planète par rapport aux positions relatives des mobiles que nous y considérons, on peut envisager généralement le mouvement des axes coordonnés comme identique à celui de tous ces corps euxmêmes : car les uns et les autres participent à la vitesse quelconque de la région terrestre qu'ils occupent : en sorte que ce mouvement commun n'influe pas sur les mouvements relatifs, ainsi que nous l'avons exposé dans notre loi fondamentale. D'où résulte que les équations qui conviennent aux forces et aux corps dans ces mouvements relatifs conviendraient encore si le globe était dans un repos absolu. Mais on conçoit que cette circonstance avantageuse ne se présente pas pour les mouvements à grande portée, comme ceux de l'astronomie. Si de leur observation on voulait déduire immédiatement les forces réelles correspondantes, on commettrait de grossières erreurs dues à l'influence du mouvement des axes auxquels on aurait coutume de les rapporter. La théorie du mouvement relatif est donc de première nécessité en astronomie. Dans les phénomènes terrestres euxmêmes, cette connaissance pourra être fort utile, non au point de vue du mouvement absolu, — comme nous l'avons expliqué plus haut, — mais au point de vue des mouvements que nous réalisons autour de nous, comparés les uns avec les autres. Pour n'en citer qu'un exemple, nous dirons que dans un corps solide réel, — où les molécules, comme on sait, ne restent pas à des distances invariables, mais subissent entre elles de très-petits déplacements, — il peut être fort intéressant d'étudier ces mouvements relatifs , abstraction faite du mouvement général du corps lui-même. La théorie que nous nous proposons d'établir permet d'ap-

précier la valeur des forces capables de ces petits déplacements.

162. — Comme dernières définitions, indispensables à ce qui va suivre, nous rappellerons certains termes, dont nous avons déjà fait usage, et dont il importe ici de préciser nettement le sens.

On nomme solide géométrique un système de forme invariable ou dans lequel les distances mutuelles des points restent constamment les mêmes. Ces solides sont dits géométriques par opposition aux corps solides naturels ou phygiques, dans lesquels les particules ne gardent point les mêmes distances relatives pendant le cours du mouvement. Les solides géométriques ont d'ailleurs une forme quel» conque, et les points matériels sont plus ou moins nombreux, plus ou moins espacés, sans aucune analogie nécessaire avec les corps effectifs.

Lorsque le mouvement d'un système invariable s'effectue de telle façon que tous les points matériels décrivent des trajectoires égales et parallèles, on désigne ce mouvement sous le nom de translation. Il est clair qu'en pareil cas la vitesse est la même pour tous les points : cette vitesse commune est fréquemment appelée vitesse de translation. On voit aisément qu'un solide géométrique ne saurait avoir de translation s'il possède quelque point fixe; et que, s'il y a quelque point assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, la translation ne peut avoir lieu que parallèlement à cette courbe ou à une ligne tracée sur cette surface. On voit également que toute droite menée arbitrairement dans le système se transporte parallèlement à ellemême.

Lorsque le mouvement du système consiste à tourner autour d'une droite, on nomme ce mouvement rotation. Dans ce cas, tous les points matériels décrivent des arcs de cercle parallèles , perpendiculaires à la droite fixe, et proportion-

iicls à leurs distances à cette droite. Oo peut exprimer la vitesse de tous les points en fonction de celle de Tuii d'eux : car la vitesse d*un point quelconque est égale à celle du point choisi, multipliée par le rapport des rayons. Ordinairement le point qu*on choisit est celui qui est situé à Tunité de distance, et ou désigne sa propre vitesse sous le nom de vitesse de rotation ou de vitesse angulaire. La vitesse d'un point est donc égale à la vitesse de rotation multipliée par le rayon du point considéré. — La vitesse angulaire elle-même, qui n'est que la vitesse absolue d'un certain point , est égale, d'après la définition générale du n° 4, à la limite du rapport de la longueur parcourue au temps, ou de l'arc décrit au temps, puisque, le point étant situé à l'unité de distance, l'arc et l'angle décrit ont la même valeur numérique. La droite fixe autour de laquelle tourne le solide se nomme axe de rotation. — On remarque immédiatement que, pour qu'un pareil mouvement puisse avoir lieu, il faut que le système n'ait d'autres points fixes ou assujettis que ceux qui se trouvent sur l'axe de rotation.

ProposilioB prentiére.

163. Lorsqu'un système invariable possède un point fixe, son mouvement, quel qu'il soit, consiste, à chaque instant, à tourner autour d'une certaine droite passant par ce point fixe.

Soit le point fixe du système, M et M' deux points quelconques, MV et MT' les directions de leurs vitesses à l'instant considéré. Pendant le temps infiniment petit suivant, la droite OM décrira un élément de surface conique, situé dans le plan des deux droites OM et MV ; et tous les points de cette droite parcourront des éléments rectilignes, contenus dans l'élément plan, parallèles entre eux et perpendi-

culaîres à la direction OM. Si donc on conçoit un plan mené par OM, normalement à l'élément plan décrit, et entraîné

dans le mouvement de la droite OM, tous les points de ce plan décriront des éléments rectilignes qui lui seront perpendiculaires ; ce qui montre que son mouvement doit consister à tourner autour d'une certaine droite passant par le point P'8. 29. et contenu dans ce plan

lui-même. On verrait, de la même manière, que le mouvement d'un second plan mené par OM', et normal au plan des deux droites OM' et M'Y', doit consister à tourner autour d'une certaine droite qu'il contient et qui passe par le point 0.

L'intersection des deux plans normaux est la seule droite autour de laquelle ils puissent tourner en même temps. Donc le système entier tourne autour de cette intersection, qui reste immobile à la fois dans le solide et dans l'espace, et qui est conséqucmment l'axe de rotation. Mais cela n'est vrai que pour un temps infiniment court; car, aussitôt après, OM et OM' décriront de nouveaux éléments de surfaces coniques qui ne seront pas dans les mêmes plans que les anciens. Par suite, les deux plans normaux n'auront plus les mêmes directions, et leur intersection changera, tout en continuant néanmoins de passer parie point fixe. Ainsi, pendant ce deuxième instant, ce sera un nouvel axe et une nouvelle rotation. La perpétuelle mobilité de l'axe lui a fait donner le nom à'axe instantané de rotation.

Le mouvement quelconque d'un système solide, assujetti à pirouetter autour d'un point fixe, se réalise donc par la succession d'une infinité de rotations de durées infiniment

petites, à chacune desquelles correspondent un axe instantané et une vitesse différente.

Cette conception est de même nature que celle de la translation d'un point unique. Pour se rendre compte de la trajectoire de ce point, on imagine qu'il décrit successivement une infinité d*éléments rectilignes dont l'ensemble constitue la courbe continue.

Remarque. — L'axe instantané change bien évidemment de position à la foi* dans le corps et dans l'espace, d'un instant à l'autre ; ou plutôt , c'est à chaque instant une nouvelle file de points immobiles du corps qui sert d'axe de rotation, et cet axe ne se confond pas, dans l'espace, avec la place qu'occupait l'ancienne file des points, puisque l'intersection des deux plans qui le déterminent a changé de direction. Ainsi, c'est une nouvelle ligne tracée dans le système, et cette ligne occupe une autre position. — Réciproquement, Taxe instantané ne peut rester le même dans le solide sans demeurer immobile dans l'espace.

16/i. — Le mouvement élémentaire d'un système invariable quelconque peut être décomposé en une translation

égale au mouvement absolu d'un de ses points , et une -^ rotation autour de ce point considéré comme un point fixe.

Suit M, M', M", ... des points du système, qui, dans le mouvement quelconque de celui-ci, parcourent, pendant tm temps infiniment potit, les éléments rectilignes M N,

Fig. SO.

M'N', M"W. .. et occupent conséqiiemmeni les positions N,N',N"....aubout de Tinstant ronsi'léré. J<* dis qu'on pi-ul amener tous ces poinis à ces diverses positions, en Imaginant qu'ils participent tous à une translation égale au mouvement de l'un d'eux, du point M, par exemple, et qu'ils effectuent, en outre, une rotation autour d'un axe instantané passant par ce même point. Prenons, en effet, M' m', M"m".... égaux et parallèles à MN. La seule translation du système, représentée pir MN, amènerait ces divei^ points en N,m',m",.... Mais d'un autre côté on sait que le système peut être amené de la position Nm'm".. . à la position NN'N''.... par une rotation autour d'une droite passant par le point N : car, par hypothèse, ces deux positions conviennent également à l'invariabilité de forme du système. Donc le système peut être amené de la position MM'M".... à la position NN'N".... 1** au moyen d'une translation égale au déplacement du point M ; 2° au moyen d'une rotation autour de ce point considéré comme fixe.

On peut continuer le même raisonnement pour tout le cours du mouvement, ei Ton voit que le mouvement total du solide, au l'Otit d'un temps quelconque, est représenté par uni* perpétuel e combinaison de translations égales aux déplacements d'un des points , et de rotations autour d'axes instantanés, entraînés par ce point le long de sa trajectoire absolue.

Memurque. — On peut varier à l'infini la combinaison d'une translation ei d'une rotation pour pi*oduiie le mouvement élémentaire effectif d'un solide géométrique : car le point choisi dans la démonstration qui précède, pour donner le mouvement de ttanslation, est piMS tout à fait arbitrairement, et rien n'empêche d'en prendre un autre à la place, pour lequel la translation et la rotation nécessairement différentes , se composeront toujours néanmoins en un même mouvemeni effectif du système.

366 UVRE IV. — MOm'EMENT RELATIF.

De plus amples développemeots seront donnés nitérieurement à ce sujet dans la Mécanique spéciale, quand nous nous occuperons en particulier des corps solides. Ce que nous présentons ici est uniquement destiné à IVtnde du mouvement relatif en général, ou plutôt doit nous permettre de tenir convenablement compte du déplacement des axes mobiles, qui constituent de véritables systèmes de forme invariable.

PrapMitira traisièMe.

165. — Lorsque les a\es de coordonnées mobiles possèdent une simple translation, le mouvement absolu d'un point matériel s'obtient en composant son mouvement relatif avec le mouvement des axes mobiles.

Soit M un point matériel, dont le mouvement est rapporté à un système d'axes OX, OY, OZ, doués euxmêmes d'une translation dans l'espace. Soit MN

. le mouvement absolu de ce

point matériel, pendant un

temps t, etOX, OT', OT

la position des axes mobiles au bout du même temps. Le mouvement relatif du point Fi?» 81- M sera son mouvement réel

observé des axes OX, O'Y', O'Z', comme si ceux-ci étaient restés fixes. On ne changera riei à l'aspect des choses, en imprimant à l'ensemble des axes et du point matériel un mouvement commun. Or, imprimons un mouvement qui ramène les axes à leur position primitive. Le point N se trouvera alors trans-

porté eam, qu'on détermine en menant Nm égal et parallèle à 00'. Le point m sera la position relative du point matériel au bout du temps /, c'est-à-dire sa position appréciée comme si les axes de coordonnées étaient restés fixes. Au lieu de ramener les axes en une fois après le mouvement MN, on peut supposer que le mouvement commun ait été introduit dès l'origioe, et de manière à maintenir constamment les axes à la même place, en sorte que le mouvement Mm se dessine graduellement aux yeux de Tobservateur, au lieu du mouvement réel qu'il ne peut constater directement.

D'où il ressort qu'à tout moment les choses se passent pour l'observateur comme si le mobile possédait, non son mouvement réel M N, mais une combinaison de ce mouvement avec un mouvement Nm égal et contraire à la translation des axes. En d'autres termes, le mouvement réel résulte de la composition du mouvement relatif avec la translation ; ou bien le mouvement relatif résulte de la composition du mouvement réel avec une translation inverse de celle des axes.

Conséquences.

1° A tout instant, la vitesse réelle est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse de translation.

2* Si Ton projette le mouvement absolu sur une droite quelconque, l'accélération de ce mouvement projeté est égale à la somme des accélérations de la vitesse relative et de la vitesse de translation, également projetées.

On peut dire aussi que l'accélération du mouvement relatif projeté est égale à la différence des accélérations de la vitesse réelle et de la vitesse de translation, également projetées. .

3^ Si la translation est uniforme, l'accélération du mou-

vement relatif projeté est égale à ruccélération du mouvement réel, également projeté.

k"* Si le mouvement réel est nul, le mouvement relatif est égal et contraire à la translation.

5"* Si le mouvement relatif est nul, c'est-à-dii*e si le point est en i*epos relatif, le mouvement réel est égal à la translation.

Proposition quatrième.

166. — Lorsque les axies de coordonnées mobiles possèdent une simple rotation, le mouvement absolu d'un point matériel s'obtient en composant son mouvement relatif avec la rotation des axes mobiles.

Soit M un point matériel

/T // ^^ ^^"^ ^^ mouvement c st rap-

porté à un système d'axes doués d'une rotation autour d'une certaine ligne fixe.

Soit IK cette droite fixe, "q k m N la courbe réelle, décrite

Fig. S2. par le point M, au bout du

temps /, et V IT l'angle dont le système des axes coordonnés a tourné tout d'une pièce autour de la ligne I K, au bout du mémo temps. La rotation est indifféremment variée ou uniforme. C'est celte rotation qui aura pour effet de dissimuler à l'observateur le véritable mouvement du point M, et de lui foire attribuer à ce point une position autre que N, à cause, précisément, de ce que le mouvement est rapporté aux axes comme si ceux-ci étaient fixes.

Rien ne nous empêche , dans la position actuelle du point matériel en N, de faire tourner le système des axes et de ce point matériel, supposés invariablement liés, d'un angle

NCm égal à VIT, mais engendré en sens coniraire, de telle sotte que, lorsque le point N est en m, la ligne TI coïncide avec VI, et, par suite, les axes mobiles sont remis dans leur position primitive comme si leur mouvement rotatoire n'avait pas existé. Il est clair que la rotation que nous im-^ primons actuellement aux axes et au point matériel ne change aucnne distance mutuelle, et par conséquent n'altère pas la position relative du point matériel par rapport aux axes mobiles. Le point m représente ainsi la position réelle N, appréciée par l'observateur comme si les axes étaient restés fixes.

Au lieu de ramener les axes en une fois après le mouvement MN, on peut supposer que la rotation commune soit imprimée d'une manière continue , au fur et à mesure du déplacement réel du point M, et de telle sorte que les axos de coordonnées soient constamment maintenus à la même place. Alors la trajectoire Mm se dessinera graduellement aux yeux de l'obseivnteur, et lui représentera la trajectoire réelle MN qn'il ne >oit pas directement.

Les choses se passent donc à tout moment pour l'observateur comme si le mobile possédait, au lieu de son mouvement réel , un autre mouvement résultant de la composition de ce mouvement réel avec un mouvement égal et contraire à hi rotation des axes. Ainsi le mouvement réel peut s'obtenir en composant le mouvement relatif avec la rotation; ou, ce qui revient au même, le mouvement relatif s'obtient en composant le mouvement réel avec une rotation inverse de celle des axes.

Conséquences,

1** A tout instant, la vitesse réelle est la résultante de Ja vitesse relative et de la vitesse de rotation. Nous ferons remarquer que cette vitesse de rotation dé-

peud à la fou et du mouveuieiU rotatolre des axes et du mouvement relatif. Eu effet, elle est égale, a chaque instant, à la vitesse angulaire muliipHée par la distaqce du point matériel à Taxe de rotation. Or, cette distance dépend uni-^ quement du déplacement relatif: car, si le déplacement relatif était nul, elle demeurerait constante.

2° Si l'on projette le mouvement absolu sur une droite quelconque, l'accélération de ce mouvement projeté est égale à la somme des accélérations de la vitesse relative et de la vitesse de rotation , également projetées (cette vitesse de rotation étant toujours, bien entendu, rapportée à la position du mobile relativement à la droite fixe).

On peut dire aussi que Taccélération du mouvement relatif projeté est égale à la différence des accélérations de la vitesse réelle et de la vitesse de rotation, également projetées.

â"" Si le mouvement réel est nul, le mouvement relatif est égal et contraire à la rotation : ce qui signifie que les objets semblent tourner autour de la droite fixe du même angle dont tournent les axes de coordonnées eux-méipes, mais en sens inverse.

C'est l'apparence qu'offre pei*pétuellement l'aspect du ciel. Les corps stellaires semblent tourner autour de l'axe terrestre, et décrire chaque jour une circonférence entière, quoique ce soit la terre qui, en réalité, tourne sur eilenBéme, et que les étoiles puissent être considérées conmie inimobiles. Les étoiles ont bien aussi un mouvement réel , mais , vu rextréme éloignement, ce mouvement n'influe pas sur le phénomène observé.

U° Si le mouvement relatif est nul , c'est-à-dire si le point est en repos relatif, le mouvement réel est égal à la rotation. C'est l'apparence qui se manifeste pour la plupart des objets autour de nous. Ils nous semblent immobiles , parce qu'ils participent réellement à notre propre rotation.

JRemurque. — Si le point matériel passe , à un certain

moment, par Taxe de rotation, la vitesse angulaire est nulle pour lui, à ce moment précis, et sa vitesse réelle est simplement égalé à sa vitesse relative.

Mais cet état ne dure qu'un instant, car, immédiatement après, le point matériel, par suite de son mouvement, quitte Taxe, et la vitesse de rotation se rétablit pour lui aussitôt. L'accélération qui , conséquemment, n'est pas nulle à cet instant, peut toujours être exprimée en fonction de la vitesse ^^^ relative et de la vitesse de rotation des axes à ce même instant. Car soit M la position du point matériel , ac-