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Fig. 8s. tuellement sur l'axe de rota-

tion MI. Dans un temps infiniment petit dt , le point M viendra en N, en vertu de sa viiesse relative ; par suite de la rotation des axes, il décrira aussi , du point C comme centre, avec NC pour rayon, autour de l'axe Ml, un arc de cercle élémentaire, dont Tangle sera égal à cod/, en appelant iù la vitesse angulaire , et le rayon à Vr dt sin 5, en appelant V, la vitesse relative, et J l'angle NMC; en sorte que cet arc de cercle , qui est un infiniment petit du second ordre, a pour valeur coVr sin 5. dt^. D'un autre côté, si (j> est l'accélération, t un temps quelconque, et a l'arc parcouru pendant ce temps, on sait qu'on a en général :

(J=;-CfT^ ou 9=-;^.

Ici l'arc a est égal à wVr sin J. rf^% le temps t est égal à dt^ il en résulte : cp=2ù)Vr sin 5.

Proposition cinquième.

167, — Lorsque les axes de coordonnées mobiles possèdent un mouvement quelconque, le mouvement absolu d'un

point matériel s'obtient à chaque instant en composant son mouvement relatif avec €elui qu'il posséderait, s'il était tout ù coup invariablement lié aux axes mobiles.

£n effet, prenons le point géométrique qui coïncide actuellement avec la position effective du point matériel, et supposons-le invariablement lié aux axes mobiles. Le mouvement de ces derniers, qui constituent un système de forme invariable, pourra être décomposé en une translation égale au déplacement de ce point géométrique, et une rotation autour d'un axe instantané passant par ce même point. Nous nous trouvons ainsi dans le cas, à la fois de la proposition III et de la remarque de la proposition IV. Si donc nous imprimons aux axes mobiles un mouvement contraire de translation .et de rotation instantanées , qui les maintienne au repos , nous voyons que la place réelle occupée par le point matériel , au bout du temps dt^ est donnée par la composition de son déplacement relatif avec son déplacement A' entraînement ; en entendant par là le déplacement qui résulterait pour lui de sa soudaine liaison invariable avec les axes mobiles. Quant au mouvement de rotation instantanée, il n'influe pas sur la position du point matériel, puisque c'est un infiniment petit du second ordre par rapport à des infiniment petits du premier ordre, ainsi qu'on l'a vu dans la remarque précitée. Il n'entre en ligne de compte que pourTaccélération, qu'on a vue être représenlée par coTr sin J. Quant à la vitesse de rotation , elle est nulle à l'instant considéré, toujours pour le même moiif.

N, Ê, Nous désignerons désormais par le terme de rotation composée le mouvement qui résulte pour le point matériel de la rotation instantanée du système. L'épithète de composée est desiinée à rappeler que , tandis que la vitesse angulaire dépend uniquement du mouvement propre aux axes mobiles, le rayon de l'arc décrit dans cette rotaiion

PROPOSITIONS PRÉLIM1ISAIR£S. 373

par le poiiil malériel considéré dépend de la grandeur et de la direction de sa vitesse relative.

Conttéquences.

1° A tout instant, la vitesse réel e est la résulante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.

2^ Si Ton projette le mouvement absolu sur une droite quelconque, Faccélération de ce mouvement projeté est éga'e à la somme des accélérations des mouvements d'entraînement et de rotation composée, également projetés. On peut dire aussi que Faccélération du mou\ement relatif projeté est égale à la diflerence des accélérations des mouvements d'entraînement et de rotation composée, également projetés.

3' Si le mouvement des axes se réduit à une simple translation, la rotation instantanée est nulle : l'entraînement devient égal à la translation, et l'on retombe sur les conséquences du n*' 165.

k"* Si le mouvement se réduit à une simple rotation, on rapportera le mouvement des axes, non plus au mouvement du point supposé invariablement lié, mais au mouvement d'un point situé sur Taxe de rotation lui-même. Alors l'entraînement disparaît , et l'on retombe sur les conséquences du n" 166.

5° Si le mouvement relatif est nul, c'est-à-dire si le point malériel est en repos relatif, la rotation composée est constamment nulle, puisque ce point ne quitte pas l'axe de rotation instantanée, et, par suite, le mouvement réel se réduit au seul mouvement d'entraînement. Cela doii être, car alors le point matériel n'a évidemmeni pas d'autre mouvement que celui qui résulterait pour lui de sa liaison invariable avec le solide géométrique formé par les axes mobiles. Celle circonsiance se produit pour tous les corps placés autour

de nous, et en repos relatif. Les axes coordonnés , auxquels on rapporte leur mouvement, ne sont pas simplement animés d'une rotation provenant de la rotation de la lerre ellemême, mais aussi d'une translation, par suite de ce que la terre se transporte autour du soleil. Le mouvement de ces corps, qui nous semblent en repos, est égal, en réalité, à IVntraînement qu'ils subiraient, s'ils étaient invariablement liés aux axes de coordonnées terrestres.

6° Si le mouvemenl réel est nul, le mouvement relatif est égal et contraire à celui qui réMilte de rentraînemeni, et, en projection, l'accélération relative est égale à la différence d» s accélérations d'entraînement et de rotation composée.

Autres conséquences,

* 7" Si Ton ( onçoit une force capabh; de produire l'entraînement du point matériel, et une autre force capable de produire sa rotation composée, ces deux forces combinées avec celles qui produiraient le mouvemenl relatif auront pour résultante la force réelle.

Réciproquement, la force capable du mouvement relatif, ou ce que nous avons nommé la force apparente, est la résultante de la foj ce réelle et de deux forces fictives égales et contraires aux deux forces d'entraînement et de rotation composée.

8" Si Ton projette le tout sur une droite quelconque, la composante de la force réelle sera égale à la somme df's accélérations des mouvements relatifs, d entraînement et de rotation composée, multipliées par la masse du point matériel.

Rériproqucment, l'accélération du mouvemenl relatif sera égale à la composante de la force réelle, moins le produit de la masse par la somme des accélérations des mouvements d entraînement et de rotation composée.

Ce sont là justement les deux problèmes que nous avons indiqués au n° 160, et dont la solution ne nécessite plus que la connaissance des grandeurs et des directions des vitesses d'entraînement et de rotation composée. Il est visible qu'on pourra les obtenir en fonction : 1° de la position relative du point matériel, à l'instant considéré; 2° du mouvement propre aux axes de coordonnées mobiles. Dans les deux problèmes , on n'aura à déterminer qu'une seule catégorie d'inconnues, savoir : la ftjrce réelle pour le premier, et le mouvement relatif pour le second.

Le chapitre suivant a pour objet d'exprimer les vitesses d'entraînement et de roiaiion composée en fonction des coordonnées mobiles et du mouvement des axes, et, pur suite, de résoudre complètement les problèmes qu'on a énoncés.

Ou n'aura évidemment aucune difliculté pour étendre la solution au cas d'un système de points matériels. Car, pour chacun de ces points , considéré isolément , les vitesses d'entraînement et de rotation composée se déterminent de la même manière, c'est-à-dire en envisageant le mouvement qui résulterait pour ce point de sa liaison invariable avec les axes mobiles, et de la rotation instantanée du solide autour d'un axe passant parce point : c'est-à-dire que chaque point matériel aura son entraînement et sa rotation composée, difiTérents de l'entraînement et de la rotation com* posée des antres ; mais, pour chaque point, ces quantités pourront être exprimées séparément en fonction de la position relative de ce même point et du mouvement propre aux axes de coordonnées.