CHAPITRE
Étant connu le mouvement des axes de coordonnées mobiles , ainsi que le mouvement relatif des points matériels, trouver les forces réelles qui les 9oUicitent, ou, ce qui revient au même, trouver leur mouvement absolu ;
ou réciproquement :
Étant connu le mouvement des axiSy et les forces réelles qui sollicitent les points matériels, trouver leur mouvement relatif.
16S. — Ces deux problèmes n'en forment qu'un en réalité: aussi nous occuperons-nous, sans considération oxcinsive de Tnn d'eux, d'établir les relations qui existent entre les diverses quantités qui y figurent.
Soit OX, OY, OZ, trois axes de coordonnées rectangulaires absolument fixes dans l'espace, OrXr, OrYr, OrZr trois axes rectangulaires mobiles qui sont les axes de coordonnées du mouvement relatif. Le mouvement de ces axes
mobiles sera délcrminé par la coniiaissauce, à toul iustani, de la positioQ de leur origine el des angles qu'ils forment
respectivement avec les axes fixes. Nous désigne-»
rons donc par ^, », 2;, les coordonnées de cette ori* gine, et para, a\ a'\ h^ h\ b" et c^ c\ c" les cosinus des angles formés par chacun des trois axes ^ mobiles avec les trois axes fixes. On sait d'ailleurs que les valeurs de ces co« Fig. sa. sinus satisfont à certaines
équations de condition, qui sont :
iab + a!b' + a!'b" = o, |ca-hc'a'4-cV = o, \bc + b'c' + b"c" = o.
Le premier groupe exprime que la somme des carrés des cosinus des angles formés par un même axe mobile avec les trois axes rectangulaires fixes est égale à Tunité ; le second groupe exprime que les axes mobiles, deux à deux, forment des angles droits, c'est-à-dire constituent aussi un système d'axes rectangulaires. Les neuf cosinus ne représentent donc en réalité que trois variables distinctes.
Cela posé, soit m un point matériel quelconque du système, dynamique ou géométrique, que l'on considère. Désignoi^ par x, y^ z les coordonnées mÂ, AB et OB prises par rapport aux axes fixes , et par Xr, yr^ z, les coordonnées vikr , ArBr et Or Br pHscs par rapport aux axes mobiles. Les pnemières seront celles du mouvement absolu ou
réel, les secondes celles du mouvement relatif ou apparent. Soit enfin X, Y , Z et L, M , N les composantes suivant les axes fixes des forces intérieure et extérieure qui sollicitent le point m. Ce sont là les composantes de la force réelle totale; seulement on a mis en évidence les deux natures d*actlons qui la constituent.
Actuellement, il s*aglt de trouver, enti^e ces diverses quantités, des relations qui permettent de résoudre les problèmes qui se rapportent au mouvement relatif.
Les équations du mouvement absolu du point m sont, comme on sait, les suivantes :
Les coordonnées du mouvement absolu et celles du mouvement relatif, n'étant autres que les coordonnées d*un même point rapporté à deux systèmes d'axes rectangulaires différents, sont liées entre elles par les équations qui permettent de passer d'un système d'axes à un autre, équations qu'on a établies en géométrie analytique, et qui sont :
U = ?. -h «^r + %r -h CZr ,
(s) \y = in-\-a'xr-{-b'y 4- c'a:,, 2 = 5-4- a"xr-hb"yr -+- C"Zr .
Différentions deux fois, par rapport au temps, chstcune de ces trois équations, en remarquant que toutes les quantités qui y figurent doivent participer à la différentiation, puisque les coordonnées relatives, aussi bien que l'origine et la direction des axes mobiles, varient à la fois avec le temps. Si nous effectuons les calculs , et si m)us multiplions de part et d'autre par m^ il viendra, en tenant compte des équations (A):
THÉORIE GÊKÊRAtK. 379
, (Px, , .(Py, , 'riA
„ /cii?r da' dy, db' . rf^:. dc'\ „ Idx, dà' dy, db" . dz, dc"\
+ ^'^{-dr'-dr-^w-dr-^w-df)''
relations fort simples en réalité et qui se déduisent immédiatement les unes des autres par suite de la symétrie des quantités.
Remarquons, avant d'aller plus loin, que ces équations (C) peuvent fournir la solution complète de la question : car elles expriment la force réelle totale ou le mouvement absolu en fonction de quantités qui dépendent exclusivement du mouvement relatif et du déplacement des axes mobiles ; en sorte que, si ces deux dernîei^s mouvements sont connus, le mouvement réel ou les forces qui le produisent s'en déduisent aussitôt; et réciproquement^ si le mouvement réel est connu, ainsi que le mouvement des axes, on en déduit le mouvement relatif du point matériel. D'ailleurs des relations analogues peuvent être écrites pour chaque autre point matériel du système : ce seront les mêmes valeurs de ^, yj, Ç, a^ A^....
et d'aulres valeurs de j?, y, z, Xr, yv> ^r, qui y figureront. On aura ainsi le mouvement total qu*on se propose de déterminer; et quant à la séparation des forces réelles en forces intérieures et en forces extérieures, elle s'effectuera comme il a été exposé dans le livre précédent, c'est-à-dire au moyen des équations de liaisons. Il n'y a donc théoriquement aucune difficulté.
168(6w). — Mais les équations (C), sous la forme qu'on vient de leur donner, ne révèlent rien directement sur la manière dont le mouvement relatif influe sur l'apparence da mouvement réel. Ces équations en fournissent la valeur algébrique, mais elles ne font point pénétrer, pour ainsi dire, dans la connaissance concrète du phénomène. Aussi, allonsuous leur faire subir certaines transformations qui puissent mettre les résultats en harmonie avec les propositions démontrées plus haut.
A cet effet, remarquons en premier lieu que si le point m^ au lieu d'avoir son mouvement propre indépendant des axes mobiles, était tout à coup invariablement lié avec ces axes, et avait pour seul mouvement celui qu'il recevrait alors de cette liaison, les valeurs de ses coordonnées absolues ne seraient plus les mêmes que précédemment ; mais, pour les obtenir , il suffirait de remonter aux valeurs (*) de a?, y, ^, et d'y supposer que les coordonnées relatives ^r, yr, Zv ne varient pas avec le temps. Car, dans cette hypothèse, la situation du point matériel par rapport aux axes mobiles ne change pas pendant le mouvement de ces derniers, ce qui revient à exprimer qu'il est invariablement lié avec eux. La force absolue capable de donner au point m un tel mouve-
' ,jt d}ji^ d}y d^z ,,
ment serait represent^^e par f^-Tjï^ ^^2' ^^;7T2 7 ces dérivées étant prises comme si Xr^ j/r, z, étaient indépendantes du temps dans les valeurs («), et comme si £, y;, Ç, a, a\ a'\ h,., en étaient seuls dépendants.
La différentiatîon, faite à ce point de vue, donne, pour les
, d^x d^y d^z valeurs de ^ , ^, -5^ :
(Pr,
di'
dt
r + yr-zjH-z,
rf<='
rfV dF
Zt
d}£ di^ ■
Ainsi, les quatre premiers termes des seconds membres des équations (C) représentent les composantes, suivant les axes fixes, d'une force capable de communiquer au point matériel le mouvement qu'il prendrait s'il était tout à coup invariablement lié aux axes mobiles, de manière à former avec eux un solide géométrique^ aux mouvements duquel il participerait dès lors exclusivement. Cette force, que nous avons déjà été amenés à considérer dans le premier chapitre, ' a reçu le nom de force d'entraînem&nt. Représentons-en les composantes par X« , Y< , Ze . Il vient en conséquence :
/ dxr d^^,dyr db^^^àz, dd\ ^"^Xdt ' dt'^ dt' dt '^It' dt)*'
IF
^^ \dt ' dt dt ' dt de ' dt )' Avant de pousser plus loin cette transformation, posons
382 LIVRE IV. - MOUVËIIKNT BELATIF.
certains résultats algébriques qui nous servtroiil à simplifier les calculs. Si Ton différentie les six équations (1) qui expriment les conditions auxquelles satisfont, dans tous les cas, les cosinus, on en tire les six relations suivantes :
lada H- a'da! -\- a"da" = o ,
i adb -h a'db' -h à'db" = — {bda -h b'da' + b"da") ,
\cda-^ cda' + C'da" ^—{adc + a'dc' + a!'dc"),
\ cdc -h c'dc' H- c"dc" = o ,
i bdc + b'dc' + b"dd' = — {cdb + ddV + d'db") .
Pour abréger, nous écrirons :
ode + aW + a"dc" = qdt , bda-V-b'da!'+b"da" = rdti
Pj 9, r, étant des fonctions convenables du temps, telles que leurs intégrales soient égales aux intégrales totales des premiers membres. On peut considérer tous les cosinus comme dépendant exclusivement de ces trois quantités, puisque, selon notre remarque, les neuf cosinus ne représentent réellement que trois inconnues distinctes.
Reprenons maintenant la transformation des équations(D), qui se trouvera facilitée par les relations que nous venons d'écrire.
Multiplions respectivement ces équations (D) par a , a', a'\ et ajoutons-les membre à membre. Dans cette somme, le
terme -j^ ^ sera multiplié par a'-ho'^4-a"^, quantité qui
est égale à Funité ^ les termes ^^, ^% seront multipliés par ab-\-a'h''\-a"b"^ ac-{'a'c''\-a"o'\ quantités qui sont
nulles. Des réductions analogues se produiront dans les termes suivants, eu vertu des relations (2) et (3). Finalement, toutes les simplifications faites, Téquation deviendra :
a (X -h L) + a' {Y 4- M) + a"(Z + N) = aXe H- aT. + a"Z, +
Mais remarquons que, a, a', a'' étant les cosinus des angles formés par les trois axes fixes avec Taxe des jt mobiles, et X, Y,... étant les projections sur les mêmes axes fixes des forces extérieure et intérieure qui sollicitent le point m, le premier membre de cette équation représente la somme des projections sur Taxe des x mobiles de toutes les composantes de ces forces, c'est-à-dire la composante de ces forces elles-mêmes suivant cet axe. Pareillement, les trois premiers termes du second membre représentent la composante de la force d'entraînement , suivant le même axe des x mobiles. Désignons par a, ê, y, les angles de la force réelle extérieure avec les axes mobiles ; de même par X, |x, v, a, , Se , y. , les angles de la force réelle intérieure et de la force d'entraînement avec les mêmes axes. Désignons d'ailleurs par P, I et Pe ces trois forces, et par i?,, i/r, irr, les projections de la vitesse relative sur les axes mobiles. L'équation ci-dessus peut alors s'écrire :
m -jT = P ces a 4- I cos X — Pe cos «e — 2m {qwt — rur) .
Si les mêmes calculs qu'on vient de faire sur les équations (D),enles multipliant par a, a', a", sont répétés en les multipliant par À, b\ h'\ on obtiendra une équation semblable à la précédente et se rapportant à l'axe des y mobiles, au lieu de l'axe des x. Enfin, en multipliant par c, c', d' , on aura la relation concernant l'axe des z mobiles. Le système des équations (D) se trouvera ainsi remplac<'î par le suivant :
Z%k LIVRE IV. — MOUVEMENT RELATIF.
m-7y = Pcosa-|-IcosX — PeCOsa» — 2m {^av- rw,),
(F) ^ m -j^ = P cos S 4- 1 cos y. — P^ cos oc — 2m (ry^ — ptiv),
m -jj^ c=Pcosy-i-Icosv — Pecosy. — 2m {pu, — ^r).
ir>9. — Nous allons déduire de ces équations plusieurs conséquences intéressantes.
1° Les premiers membres représentent les composantes suivant les axes mobiles d'une force capable de produire le mouvement du point matériel par rapport à ces axes considérés comme fixes. Celte force est donc ce que nous avons appelé la force apparente. L'ensemble des trois équations nous montre que la force apparente est la résultante de la force réelle ( extérieure et intérieure) et de deux forces fictives, dont Tune a été reconnue être égale et contraire à la force d'entraînement, et dont l'autre, conséquemment, ne peut qu'être égale et contraire à la force de rotation composée.
La valeur de la force d'entraînement est fournie par les expressions (^) : ses composantes suivant les axes fixes sont les suivantes :
Ces valeurs ne dépendent, à chaque instant, que delà position relative du mobile à ce même instant et des lois du mouvement dos axes mobiles par rapport aux axes fixes.
La force de rotation composée a pour projections sur les axes mobiles :
2m {qwr — rur) , 2m {rv, — pWr) , 2m {pu'r — qv,). Si donc ou la désigne par Pc, on a :
Pc = 2mi/iqii\ — 7niry -h (rv, — pw.y -h {pu, — qv.f .
Ces valeurs ne dépendent, à chaque instant, que de la vitesse relative du point matériel à ce même instant, et dos quantités />, g, r, c'est-à-dire des lois du mouvement des axes mobiles.
2° Les termes qui figurent dans les équations (F) représentent aussi bien les accélérations du mouvement projeté sur les axes que les composantes des forces correspondantes suivant les mêmes axes. On retrouve ainsi les résultats connus, savoir : que Taccélération du mouvement relatif projeté sur une direction quelconque est égale à Taccélération du mouvement réel moins les accélérations des mouvements d'entraînement et de rotation composée.
3« Représentons par «c, Se, 7c, les angles de la force de rotation composée avec les axes mobiles. Les équations (F) pourront se mettre définitivement sous la forme ;
m ~j^ = P CCS a 4- 1 cos A — Pc ces Oe — Pc ces ofc ,
(A,) < m -^l = P cos 6 -M cos |UL — Pe coà 6e — Pc cos 6c ,
wi -^ = P cos 7 4- I cos V — Pe cos 7c — Pc cos 7c.
Nous voyons d'après cela que le mouvement relatif d'un point matériel appartenant à un système quelconque peut être traité comme un mouvement absolu, pourvu qu'on ajoute aux forces réelles deux forces fictives égales et contraires aux forces d'entraînement et de rotation composée. En d'autres termes, entre les coordonnées relatives du point matériel et les composantes de toutes ces forces suivant les axes
386 LIVRE IV. — MOlîV£li£NT RELATIF.
mobiles, il existe identiquement les mêmes relations qu'entre les coordonnées absolues et les composantes des forces motrices suivant les axes fixes.
170. — Ou peut donueri la valeur de la force de rotation composée une autre forme qui mette mieux en évidence la manière dont elle agit sur le point matériel.
Je remarque premièrement que la direction de cette force est perpendiculaire à deux droites qui feraient avec les axes mobiles des angles ayant respectivement pour cosinus les quantités :
Vr Ut Wr
Vv] -h u] + n) ' Vvl + u] -h w\ ' Vv\ -f- ul + wl'
et
Vp'-hq'-hf^' Vp^ + f + r'' V^+VTV^'
Il suffît, pour le démontrer, de chercher la valeur de Tangle que fait la direction de la force avec chacune de ces deux droites, et de vérifier que le cosinus est identiquement , nul. En effet, faisons le produit des cosinus, deux à deux, des angles formés respectivement par la force et par la première droite avec chacun des axes mobiles. Ce produit donne, comme on sait, le cosinus cherché : or, le numérateur est égal à
quantité qui se réduit identiquement à zéro, quand on effectue les calculs indiqués. On verrait de la même manière que le numérateur de la fraction qui exprime le second cosinus se réduit également à zéro.
Soit donc M la position du point matériel par rapport aux axes mobiles, à Torigine de Tinstant considéré, MVr la direction de la vitesse relative par rapport aux axes mobiles,
et MN la longueur du déplacement subi pendant Finstant
dt, en vertu de cette même vitesse et par rapport aux iÉémes axes mobiles. Soit enfin M I la position de la droite qui fait avec les mêmes axes mobiles des angles dont les cosinus
sont respectivement égaux à —7====== ==
Il est clair que la droite MVr, qui est la di-
rection de la vitesse l'clative, fait avec les axes mobiles des
Vf
angles dont les cosinus sont représentes par — 7- , ,
xy-1 ■ ' 2 . =^^ T7=r7==Tf==ï' ^^^ ^^"^ ^^8"^^ MVr et
M I sont donc celles dont on a parlé ci-dessus. Puisque la force que nous considérons en ce moment est perpendiculaire à leurs deux directions, elle est perpendiculaire aussi à leur plan ; donc son action sur le point matériel N se réduit à rélever normalement au-dessus de ce plan. Mais, pendant un temps infiniment petit, les quantités />, g, r peuvent être considérées comme constantes; par suite, la direction MI est aussi constante, ou, si l'on veut, cette droite reste immobile. Le mouvement imprimé par la force consiste donc ù décrire im arc de cercle infiniment petit, autour de M I comme axe, avec N(> comme rayon, et normalement au plan \'rMI. xAinsi, pour le point matériel considéré, la droite MI est Taxe instantané de rotation autour duquel tourne le système entier des axes mobiles, pendant le temps rf/, quand on conçoit le mouvement de ce système comme décomposé en une translation égale à Fentraînement du point, et en une rotation autour de ce même point. Actuelle-
ment, supposons que par le point M on mène deux systèmes d*axes coordonnés, l'un parallèle aux axes fixes, Tautre parallèle aux axes mobiles dans leur situation actuelle et invariablement lié avec eux. Les valeurs des angles a, a\ a" y b... conviendront à ces nouveaux axes, ainsi que les variations que subiront ces angles par suite de la rotation autour de M I. Les coordonnées du point N, par rapport à ces nouveaux axes mobiles, seront égales respectivement à
Vfdt , Urdt , Wtdt ,
puisque M N est la longueur parcourue, pendant Tinstant dt, avec la vitesse relative. Par conséquent, les coordonnées du même point N, par rapport aux nouveaux axes fixes, seront respectivement
{av, -i-bu,-\- cwr) dt , {a'vr -\- b'u, + c'av) dt ,
(a"Vr + 6"Wr -h c"Wr) dt.
Si nous voulons exprimer qu'il y a une rotation instantanée autour de Taxe INI 1, il faut difTérentier ces coordonnées du point N, en y regardant «, A, c, a'.. . comme dépendant seules du temps, et rr, w,... comme ne changeant pas. Soit iî la vitesse angulaire de rotation, et a, 6, y ses angles avec les nouveaux axes fixes : la vitesse absolue du point N sera 12. NC; et on aura, pour les trois axes :
«,., ,. f da db , dc\ ,
.,„ ,. s f fia' db' . dc'\ ,
>C . 12 . cos 6 =^v, ^-t- «, ^ + ,tv^) dt ;
^,^ ,, / da" db" dc"\ ,
NC.i).cosy=^.,-^+«,-^ + uv-^Jrf<.
Multiplions la première équation par a, la deuxième par «', la troisième par a", et ajoutons : la somme des premiers membres représentera la projection de la vitesse iî.NC
sur l'axe des x mobiles; la somme des seconds membres contiendra des quantiu^s qui figurent dans les relations du n" 168 (bis). Si Ton fait les réductions qu'on a indiquées à cette occasion, il viendra :
N(l . ù cos a, = {qwr — rw,) dt ,
en représentant par a, Fangle formé par la vitesse relative avec Taxe des x mobiles.
On obtiendra de la même manière :
NC . iî cos Sr = {rvt — pwr) dt , NC . îî cos 7r = {pu, — qVr) dt.
Faisons les carrés et ajoutons : nous aurons :
NC ,. . . .
"dt V{qiVr — rUrY + [rVr — pWrY + {pVr — ?IV)*.
Mais, si nous désignons par 5 l'angle formé par la vitesse relative MN avec l'axe instantané M I, il vient :
NC =3 MN . sin 5 = V,d< sln J ;
d'où, en substituant :
Î2 . Vr sin (î = \/{qWr — rurf -f- {rv, — pWrf -h (pwr — qVrY.
Par suite, la valeur précédemment trouvée de la force de rotation composée prend la forme
Pc = 2miîVrSin3;
ce qui nous montre que celte force est égale au double produit de la masse par la vitesse angulaire et par la vitesse relative projetée sur un plan perpendiculaire à Taxe instantané do rotation, et qu'elle est à la fois perpendiculaire à la direction de la vitesse relative et à celle de l'axe instantané. On pourrait trouver directement cette valeur par la considération géométrique déjà présentée dans la remarque du
Il" 166. Pendant la rotalion instantanée, on peut, en effet, regarder la force comme constante en grandeur et en direction ; si donc on désigne cette force par Pc et par e l'arc infiniment petit parcouru, on a
e=ï — rff% dou Pc = -7;2-,
ni ' ar
( L'arc € est un infiniment petit du deuxième ordi'e, puisque le rayon NC et l'angle décrit sont tous deux Infiniment petits. ) Or, e=ii^C.di = Ù\r s\ï\5,dt^ ; conséquemm^ant, comme plus haut, Pc= 2 wiiîV, sin $,
Cette méthode est, comme on voit, beaucoup plus simple; mais elle ne doit pas dispenser de la précédente, qui démontre l'identité de cette valeur de la force avec celle déjà trouvée sous une autre forme analytique.
Remarque. — On peut obtenir une valeur très-simple de la vitesse angulaire II En effet, on vient de trouver :
Or Vr = Vv\ + u\ H- w\ ,
sin J = l/l — cos^S.
Mais 5 étant l'angle des deux directions MI et MVr, on aura la valeur de son cosinus en faisant la somme des produits, deux à deux, des cosinus des angles que ces deux angles forment avec les axes. Donc, en ayant égard à la valeur ci-dessus de Vr , on trouve :
.«„ ^ pVr + qUr -f- rWr
ces r — ^ '-
et par suite :
THÉORIE GÊNÉRAT.E. 391
Si Ton substitue la valeur de Vr sin 5 dans la première relation , on obtient la valeur de lî, qui, toutes réductions faites, est la suivante :
Ainsi la vitesse angulaire autour de Taxe instantané de rotation est simplement fonction de />, ^, r, c'est-à-dire fonction des cosinus des angles que les axes mobiles forment avec les axes fixes.
On voit en même temps que les produits de cette vitesse par les cosinus des angles que fait Taxe instantané avec les axes mobiles sont respectivement égaux à />, g, r. Ces trois quantités représentent donc les projections, à tout instant, de la vitesse angulaire sur les axes mobiles.
