Actuellement, reprenons les équations (Ar

m -Tj == P cos a + I cos A — Pe cos a.. — Pc ces «c ,

I d}y (Ar) \ m -^ = P cos 6 + I cos fjt — Pe cos 6. — Pc cos 6c ,

m --TY = P cos 7 + I cos y — Pe cos y^ — Pc cos 7c ;

et voyons ce que deviennent pour le mouvement relatif les différents théorèmes démontrés pour le mouvement absolu.

Nous rappellerons que dans les équations ci-dessus il n'y a plus de trace des axes fixes, et que toutes les quantités y sont estimées par rapport aux axes mobiles , en sorte que ces équations sont bien celles qui conviennent à un mouvement relatif dans lequel on fait complètement abstraction de la mobilité des axes, et où Ton agit exactement comme si Ton avait affaire à un mouvement absolu.

D'une manière générale, on voit que toutes les propriétés du mouvement réel peuvent être étendues au mouvement apparent, pourvu qu'on adjoigne constamment aux forces réelles

deux forces fictives égales et contraires à la force d'entraînement et à la force de rotation composée. Dès lors il n'y a aucune difficulté à approprier à ce nouveau mouvement tous les énoncés qui se rapportent a^i mouvement absolu. Nous pourrions donc nous dispenser d'entrer dans aucun détail à cet égard. Toutefois, nous passerons en revue les propriétés les plus importantes, autant pour familiariser l'esprit avec le mouvement relatif que pour faire ressortir un certain nombre de conséquences.

1° Quantité totale de mouYemcnt et centre de gravité d'un système, — Si l'on établit pour chaque point matériel des relations analogues au groupe (Ar), et qu'on ajoute ensuite toutes les équations concernant le même axe, on aura trois équations finales, dans lesquelles toutes les forces intérieures disparaîtront, car ces forces, étant égales et opposées deux à deux, donnent, suivant les axes mobiles aussi bien que suivant les axes fixes, des sommes algébriques de composantes identiquement nulles. En conséquence, la quantité totale de mouvement, projetée sur une direction quelconque, sera égale à la somme des impulsions des forces réelles extérieures et des forces fictives, projetées sur la même direction ; et le centre de gravité se mouvra comme si toutes les masses y étaient condensées, et toutes les forces extérieures et fictives transportées parallèlement à elles-mêmes. Si les forces extérieures sont elles-mêmes réciproques, ou plutôt si toutes les forces réelles se réduisent à des forces intérieures, ainsi que cela a lieu pour l'ensemble du système planétaire, la quantité totale de mouvement et le déplacement du centre de gravité, rapportés aux axes mobiles, seront dus aux seules forces fictives correspondant au mouvement de ces axes. C'est là ce qu'on doit observer quand on rapporte le centre de gravité du système solaire à des axes qui participent au mouvement terrestre.

2° Théorème des aires. — Il est pareillement évident

que les termes provenant des forces intérieures disparaissent , et que , si en outre les forces extérieures sont réciproques, la somme des masses respectivement multipliées par les projections des aires décrites sera égale à la somme des moments des projections des forces fictives.

3" Théorème des forces vives. — La variation élémentaire de la force vive de chaque point, estimée dans le mouvement relaiif, sera égale au travail élémentaire de toutes les forces, réelles et fictives, de ce point : ce travail étant pareillement estimé dans le mouvement relatif. £n effet, le travail de la force réelle extérieure aura pour expression Prf#rCOs(P,rf*r), en appelant dsr le déplacement relatif infmiment petit : celte expression pourra se mettre sous la forme PVrrf/cos(P,Vr); le travail de la force réelle intérieure s'écrira de même IVrrf^cos(I, Vr); celui de la première force fictive sera ~ P. Vrrf^cos(Pe , Vr) ; quant à celui de la force fictive égale et contraire à la force de rotation composée, il sera évidemment nul, puisque la direction de cette force est perpendiculaire à la direction de la vitesse relative : c'est du reste ce qu'on vérifierait également en multipliant respectivement par v^dt, u,dt, tcM les derniers termes des équations (Fr), et ajoutant, ce qui donne le travail de cette force : la somme des quantités ainsi formées se réduit à zéro. Finalement l'équation de la force vive d'un point matériel se simplifie et devient :

(Hr) rfimV? = jPcos(P,Vr) + Icos(r,Vr)— PeCOs(Po,V..) j Vr dt:

Par suite, l'équation des forces vives d'un système quelconque, dynamique ou géométrique, sera :

(L.) ld\mV=--ly,dt j Pcos(P,Vr)-Mcos (r,V..)— PeCos(Pe,V..) j ;

ce qui signifie que la variation élémentaire totale de la force vive relative d'un système quelconque est égale à la somme

39/l LIVRE IV. — HOCTEMEIIT RELATIF.

des trayaux élémentaires des forces réelles (e\lérieares et iniéiieures), el des forces fictives égales et contraires aux forces d^entrainement; ces travaux étant tons estimés dans le mouvement relatif comme sll s'agissait du mouvement absolu.

Si le système est géométrique, le terme du aux forces intérieures disparait, ainsi qu'on Ta démontré au n"" 1^1, par suite, réquation des forces vives devient :

(Gr) (11^, mVÎ = l\r (/r j P cos (P,V.) — P^ oos (Pe,Vr)

Ces relations ne diffèrent de celles qui se rapportent au mouvement absolu qu'en ce qu'on y introduit un terme dû au travail des forces fictives égales et contraires aux forces d'entrainement, c'est-à-dire égales et contraires aux forces qui seraient capables de produire le mouvement de chaque point s'il était tout à coup invariablement lié aux axes mobiles.

L'équation (Gr) ne convient qu'aux systèmes géométriques parfaitement libres. Je veux dire par là que, si quelque point s'y trouvait individuellement assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, le terme du an travail de cette force d'assujettissement ne disparaîtrait pas de l'équation. Ce travail, représenté par IVrrf^ cos (I, Vr), ne serait pas nul effectivement, parce que la direction de la force I, normale à la surface, n'est pas perpendiculaire à la direction de la vitesse relative, mais seulement à la direction de la vitesse réelle, qui est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. Dans le mouvement absolu, cette circonstance ne se produit pas, et le travail disparaît toujours dans l'équation des forces vives, parce que c'est précisément la vitesse réelle qui y figure.

L'équation de la force vive d'un point matériel, dans le mouvement relatif, nous permet d'apprécier ce que devient la même équation dans le mouvement absolu, lors(]|ue le

point est assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface qui, au lieu de rester fixe, est elle-même douée d'un certain mouvement dans Fespace. En effet, si Ton prend un système d'axes rectangulaires invariablement liés à la courbe ou à la surface, les équations de cette courbe ou de cette surface, relativement à ce système d'axes mobiles , seront les mêmes que dans le cas où tout est fixe. Or, nous pouvons rapporter le mouvement du point matériel aux axes mobiles, ce qui nous fait rentrer dans la théorie précédente du mouvement relatif. Il y aura donc lieu d'en appliquer les conséquences, et, par suite, d'établir l'équation (Hr) ; en remarquant que le terme dû à la force d'assujettiiïSement I disparaît, puisque, la vitesse relative s'exerçant suivant la courbe ou la surface , la direction de la force lui est perpendiculaire ; de sorte que la relation de la force vive, convenable au cas où la courbe ou surface d'assujettissement est mobile, est celle-ci :

d{ mVj = j P COS (P,Vr) — Pe ces (Pe,Vr) j Vr ^/f ;

dans laquelle Pe représente la force qui serait capable de produire l'entraînement du point matériel, si on le supposait tout à coup invariablement lié avec la courbe ou la surface mobile. Cette relation diffère, comme on voit, par suite de la présence de cette force fictive, de la^ relation qui convient à la fixité de l'assujettissement.

Remarque, — L'équation des forces vives peut être établie directement, par la considération des moments virtuels, et sans passer par les équations générales (Ar) d'où nous l'avons déduite.

En effet, remarquons que le mouvement absolu d'un point matériel peut être considéré comme résultant 1** de son mouvement relatif; 2" d'un mouvement égal à celui qu'il recevrait s'il était tout à coup lié d'une manière inva-

396 U\KE IV. — MOl'VEMENT RtLATIF.

fiable avet^ les axes mobiles. La vitesse absolue est la résaliaote, à chaque instant, de la vitesse relative et de la vitesse d'entraioenient. Soit V, W et W ces trois vitesses, r, li, ir, Tr, iif ir,, et r», m», tr* leurs composantes suivant trois a\es fixes : de sorte qu'on a :

r = r, -h r« , « = m, -+- m^ , tr = Wr 4- Wc .

Le principe des forces vives dans le mouvement absolu donne :

(I) </ i m V- = P V rfr cos (P,V) ;

en représentant pour abivger par la seule lettre P la résultante de toutes les forces, tant intérieures qu*extérieures, qui sollicitent le point m ; soit d*ailleui*s X, Y, Z les composantes de P. On peut remplacer Féquation ci-dessus par

(2) \ vdt 4- Y udt + Z mit = m {vdv + udu 4- wdiv) .

A cause des relations qui existent entre les trois vitesses, absolue, relative et d*entrainement, cette équation devient :

(3) Xiv dt -h Yi/.. dt -h Zir, dt -h Xiv dt 4- \u, dt + ZWr dî = i j dv , du , dw\

(, dvt j (/tie , dwA