m (fv dvr 4- Wr ^Mr 4" «v rfwv

Or, le mouvement d'entraînement est compatible avec l'état du point matériel, s'il est libre ou sll est assujetti à demeurer sur quelque courbe ou surface qui soit elle-même invariablement li(^e avec les axes mobiles. Dans ce cas, on peut prendre le mouvement d'entraînement pour déplace-

meut virtuel dans le mouvement absolu, et par suite on peut établir Téquation des moments virtuels :

Xvc dt 4- YMe dt 4- Ztt?c ^^ = ^ i^^^^^ + Y- w» dt -f-

, dw ,\

ce qui fait disparaître les trois premiers termes de chacun des membres de Téquation (3). La somme des trois termes restant dans le premier membre pourra s'écrire PVr dt cos (P, Vr). Quant aux autres termes du second membre, on a évidemment :

m (l\. dVr -h Ur dUr -\- Wr dWr) =

= d\m {vj. -f- w? -f- w?) = rfi m V? ;

a un autre côte, remarquons que ^ -77 » m-rrjm -7—

sont les projections , suivant les axes, de la force capable dlmprimer au point matériel son mouvement dentraînement : en appelant celte force Pe, les trois termes qui s*y rapportent pourront s'écrire PcVrrf^ cos (Pc , Vr). En sorte que réquation (3) devient :

P V.. dt cos (P,Vr) =d^m V? 4- PeV, dt cos (Pe,Vr) ,

d'où Ton déduit la relation déjà trouvée :

rf± m V? = j P cos (P,V..) — Pe cos (Pe,Vr) j Vr t/( .

On passe de là aisément au cas d'un système géométrique parfaitement libre : car le mouvement d'entraînement d'un point quelconque peut toujours être pris pour mouvement virtuel : il est compatible avec les liaisons du système, puisque, celui-ci étant supposé libre, rien n'empêche de le faire participer, à un moment donné, an mouvement des axes mobiles. Au contraire, s'il existait quelque point indi-

viduelleraciit assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, la démonstration ne s*âppliquerait plus; car le mouvement du système conçu à un certain moment comme invariablement lié avec les axes ne serait plus compatible avec l'état des liaisons, à cause de rassujeltissement supposé. Nous retrouvons donc ici la même remarque présentée plus haut, relativement au travail de la force intérieure d'assujettissement, qui ne disparait pas de réquation des forces vives. Le seul cas oii, malgré les assujettissements individuels, la démonstration ci-dessus s'appliquerait toujours, et où, par conséquent, le travail des forces intérieures correspondantes ne figurerait pas, serait évidemment celui où toutes les courbes et surfaces d'assujettissement, au lieu d'être fixes, auraient le même mouvement que les axes : car, par suite de cette circonstance, . l'entraînement continue a être compatible avec l'état des liaisons. C'est justement le cas examiné plus haut, de la force vive d'un point matériel glissant sur une courbe ou sur une surface en mouvement.

172. — Il est iniéressanl de voir ce que deviennent les théories que nous venons de présenter, lorsque les axes mobiles, au lieu d'avoir le mouvement le plus général que nous leur avons supposé, ne possèdent qu'une simple translation, qui, conséqucmmenl, n'altère pas leur direction primitive dans toute la suite de leur déplacement.

Les équations du mouvement relatif sont dans cette hypothèse :

/ (Pxr „ . T -i ^'^

I wi -TT- = P cos « 4- I cos A — m -r^ ,

(Ar) m -^ = PcosS + Icosfz-7/i^,

f à'^z, ,^ . ^ dX

\m -jY = P cos y 4- I cos y — m ~.

£n effet, la force de rotation composée disparaît; quant à la force d'entraînement, elle est, pour chaque point, égale à la masse multipliée par Taccélération de la translation commune, ou multipliée par Taccéléralion du déplacement de Torigine des axes mobiles, dont nous désignons les coordonnées par ?, y), Ç.

Rien n'empêche de prendre les axes fixes parallèles à la direction constante des axes mobiles : alors les composantes des forces seront les mêmes par rapport a Tun ou l'autre système d'axes. Les équations ci-dessus peuvent alors s'écrire :

(Pxr ^r , et

m -r„- = Z + N — w» TT • dt^ dO-

On voit qu'elles ne diffèrent de celles du mouvement absolu que par la présence du dernier terme. Pour que l'identité fut complète, il faudrait qu'on eût :

clP\ __ dh __ d^^ __

d'où l = ct^ r, = c'ty Ç = c"t ,

Cj c et c" étant des constantes. Ainsi, quand la translation des axes est un mouvement rectiligne et uniforme, les équations du mouvement relatif sont identiques à celles du mouvement absolu. On ne doit pas s'en étonner, car les accélérations suivant les coordonnées sont les mêmes dans les deux mouvements, puisqu'à chaque instant les coordonnées absolues sont égales aux coordonnées relatives augmentées respectivement de quantités proportionnelles à la première puissance du temps.

On déduit de la dernière forme donnée aux équations (A ) diverses conséquences.

Les équations du centre de gravité sont :

di^ dt^ dt^ '

M îÇ^ * = I m ^ = 2 Z - 31 ^ ; di^ di^ dt^

en représentant par M la masse totale et par x^, y^, 2, les cooîxionnées relatives du centre de gravité. Nous voyons donc que le mouvement relatif du centre de gravité a lieu comme si toutes les masses étaient condensées en ce point, et qu'elles y fussent sollicitées par toutes les forces du système, auxquelles on ajouterait une force égale [et contraire à celle qui pourrait communiquer à cette masse totale le mouvement de Torigine des coordonnées.

Si les forces iwlles sont nulles, le mouvement du centre de gravité ne sera pas nul ou uniforme , comme lorsqu'on le rapporte à des axes fixes, mais il sera égal et contraire à la translation de Torigine des coordonnées. Il serait nul ou uniforme, dans le mouvement relatif comme dans le mouvement absolu, si la translation des axes étiiit elle-même rectiligne et uniforme.

Voyons également ce que devient le théorème des aires dans le cas d'une simple translation. Les équations dififèreront de celles du mouvement absolu, en ce qu'il faudra ajouter aux moments des forces extérieures réelles les moments des forces égales et contraires aux forces de translation. Pour réquation qui se rapporte au plan des xy^ par exemple, il

faudrait introduire le terme— -//i( ^jTr — ^y, J, lequel

THÉORiK (rÊNÉRALK. (|0i

peut se meltre sous la forme — f ^ Imx, — ^ ^//ij^r J.

Il en sera de même pour Jes deu\ autres équations ; en sorte que les relations des aires deviendront les suivantes : ,

i (Z yr — Y^O -- [^ Imyr — ^ Imzj = Im — ^ ;

Xr , X'r , /."r désignaut les projections des aires décrites

sur les plans de coordonnées mobiles. Ces équations seront

identiques ù celles qui conviennent au mouvement absolu,

si les termes dus aux forces de translation sont nuls, ce qui

peut avoir lieu d'une de ces trois manières^

1° Quand la translation est rectiligne et uniforme; parce

d'^'i dH dX . . ^. .^ „ qu alors -jr^^ii-rfi sont individuellement égaux a zéro.

2" Quand Toriginc des coordonnées mobiles coïncide constamment avec le centre de gravité du système ; parce qu'alors, en vertu des propriétés connues du centre de gravité, on a : ImXt =o, 2my, =o, ImZf =o.

3° Quand la force qui pourrait produire la translation de

l'origine des coordonnées est dirigée constamment vers le

centre de gravité; parce que cette force étant, dans tons les

„ . d'^l dH d% ^ . ,.

cas, proportionnelle a -ni» ^i ^2>"^^'*^*^yP^^"^s^^^^'»^"^

à dire qu'on a :

dt^ di^ de

m représentant par x^y y,, r„ les coordonnées relatives du

kêi LIVEE IV. -- MOCTElfESfT lELATlF.

ceotre de gravité. Mais, M étant la masse totale, les théorèmes coomis donnent :

M J», = ImT, , My, = 2my, , Mz^ = Itm,,

Les relations ci-dessiis peuvent donc se mettre sous la forme :

^ ith. d^

di^ dt' dt"

ce qui annule évidemment les moments des forces de translation.

En BOUS résumant, on voit que, lorsque les axes mobiles se transportent parallèlement à eux-mêmes, d'un mouvement recliligue et uniforme, les équations du mouvement relatif et les propriétés qui s'en déduisent sont identiquement les mêmes que dans le mouvement absolu; et que, lorsque, la translation des axes étant quelconque, on place Torigine de leurs coordonnées au centre de gravité, les équations des aires subsistent encore intégralement.

Ces conséquences sont applicables à un système d'axes mobiles placés au centre de la terre, pendant un temps assez court pour qu'on puisse regarder le mouvement de ce centre comme rectiligne et uniforme. Les équations du mouvement d'un système de points matériels, rapportés à de pareils axes pendant cette période, ne diffèrent pas dans leur forme des équations qui conviennent à des axes absolument fixes.

De l'erreur eommise dans l'appréclatioB des forces vives qaand on nésH^e les monvements relatifs d'an système.

173. — La théorie des forces vives dans le mouvement relatif nous permet de déduire «ne conséquence fort impof-

THÉORIE GÉiNÉRAL£. /|03

tante que nous allons exposer, et dont nous indiquerons la principale application.

Supposons que dans un système quelconque de points matériels en mouvement on introduise subitement des liaisons telles que tous ces points soient désormais assujettis à demeurer à des distances invariables les uns des autres, c'est-à-dire à constituer un solide géométrique. C'est ce qu'on nomme abréviativement solidifier le système. La force vive du système avant la solidification est, comme on sait, égale à la force vive après, plus la force vive due aux vitesses perdues ou gagnées par suite de la solidification (n° 152). Soit donc, pour un point quelconque, V la vitesse avant, Ve la vitesse après et Vr la vitesse perdue ou gagnée ; on a :

ou bien rf2imV2 = d2imVî-f-d2imV^

D'un autre côté , concevons trois axes mobiles , dont le mouvement soit à chaque instant celui que prendrait le système des points matériels, s'il était tout à coup solidifié. Cette concordance est toujours possible, puisque les trois axes constituent de leur côté un solide géométrique. Le mouvement des points matériels avant la solidification, par rapport à ces axes mobiles, est précisément le mouvement perdu ou gagné par la solidification : c'est aussi ce que nous avons nommé plus haut mouvement relatif. Quant au mouvement du système, après la solidification, c'est ce que nous avons appelé mouvement d'entraînement , c'est-à-dire le mouvement que recevrait chaque point matériel, si tout à coup, dans la position où il se trouve, il était invariablement lié aux axes mobiles : car, par une telle liaison, opérée en chaque point, le système se trouve solidifié. Nous aurons donc, d'après ce qui a été démontré au troisième paragraphe

Mh LIVRE IV. — UOLVEMEMT RELATIF.

du n* 171, en supposant dVi Heurs le système parfaitement libre :

(G,) (il { m y\ = lYrdt [V cos (P, V.) — P. cos (Pe, V.)].

Nous pouvons négliger ici le travail dû aux forces intérieures des liaisons mutuelles, si nous admettons qu'on évalue la force vive pour des époques où les points matériels repassent par des positions telles que leurs distances redeviennent les mêmes qu'auparavant ; ou si le système est à Ihiisons giH)métriques.

l.oinhinons cette équation avec la pi*écédente; on en ihHhiil :

Jl \ mV; = dli mV* — dl{ m\] = c^ rfi i iwV- — l\,dt [P cos (P. V.) — P. cos (Pe, Vj].

\)m sjMi «fdiiileiirs que, dans le mouvement absolu,

rf:E ; ■• V* = l\dt P cos (P, V) .

\>«v lll^<<$^pMMrs. esealettenl le travail des forces de liai* ^•MJv. m>^\^»in jn i i W« «utees resliiciioiis que plus haut. i\ ^vMi#|i^4^ ^Vmv J kf m ièrps ëqnatioiis :

4)l,,^X - ^>i ^i ro»:p.T — ivifrpa» ;p,T.^ — V ff |x X n'^th >U) ;rrsf>IUkMie ^ \% rt de V« , sa projection >a«N \ti Mi^^u^i ^ ^^ ing^- r <t$c «r^saAe à ta tomic des pro-

X xVsv^fv. X .• X . hNïs^ ï\. V. ^ L V n nMii ^ ctidessBs se

^\\ii|K«%\^»K ^vtv ^rlHtûu irv^r 4*^fllk' '^ M <euMiffaii pour v« \\vsv%i\: >«^K|i<v <rHR< ljWi«o! Ui ^ilhSsie .lÉiDfAf dfl point

THÉORCE GÉNÉRALE. UOi

P étant la force réelle qui le sollicite. Ce système, qui serait précisément le système précédent solidifié à un moment donnée aurait pour équation des forces vives :

(2) dlim \l =l\,dtP cos (P, V.) .

Il résulte de ce rappi-ochement que, si, dans un système quelconque, on prend pour équation des forces vives réelles réquation (2), c'est-à-dire si Ton assimile le syslème quelconque à un système constamment solide, on commet, entre deux époques pour lesquelles les distances mutuelles des points redeviennent les mêmes , une erreur représentée par rintpgrale, prise entre ces époques, du dernier terme de réquation (1), lequel exprime le travail de la force d*entf aînement estimé dans le mouvement relatif.

Si les déplacements relatifs des points matériels sont assez petits pour n'être pas aperçus par nous, le mouvement apparent du système n'est autre chose que le mouvement qu'il aurait, s'il était réellement solidifié , c'est-à-dire invariable* ment lié à des axes mobiles. Ce sont les vitesses des points dans ce mouvement apparent qui figurent dans l'équation (2). L'erreur commise provient de ce qu'on néglige les très-petits déplacements relatifs qui ont lieu réellement en même temps que le mouvement d'ensemble, et qui s'exercent par rapport aux axes mobiles, invariablement liés au système conçu tout à coup comme solidifié. Nous verrons dans la Mécanique spéciale, à l'occasion des corps solides physiques, dans quel cas le travail dû à la force d'entraînement et à la vitesse relative est tout à fait négligeable dans le calcul.

Remarque. — Il est presque superflu d'ajouter que, si l'on évaluait la force vive entre des époques pour lesquelles les points ne repasseraient pas par le« mêmes distances mutuelles, il y aurait à tenir compte du travail des forces intérieui'es, lequel dépend, comme on sait, de l'écartement ou

irm r». — wsk^vêêsw icLiTir.

éà nopn«!iiPSP«c •Ip« fiMb KiterKif . liais, lorsque les ■rw> i' .« fc ' tt m r'feifiih' itiof «no-fctËts, «• peat toojoors adnt^rcve pie ji «inuciim 4^ Ji iwifif aloiae pas seosibleokhc i^ir .* ^HfiJiLiciiML 'iit ^ i4ce1^ ^e. On sait, en effet ^ lU , TiB», R. -^^jot 11 liTî!!? witoi^il^ et r la distance, le mvaîl »» w ii! i< air i* •*;*€ ««fiii" par IMr, ef« par soite, le invafi i^iifr» ^«^n •«w^pK^ «tfg lr iQ <w f < s sera représenté par 1% .Ar. f« •i»»*ÛBaac par R. I ntmisil^ BMiyenne, et par Ar b varûDA* <(fc( fecare («tre ks de«x époqves ooD^idérées. SiV^myfmt ^yuAtét :^«m^B»Cese«t b Béne forme, on poom c« lenae. pcbqae Ar est li é s p e tit av bout d\iii très Um^.

Qaam asx forces drassajetûsscBeol, c'est-a-dire celles qoi proTieDaenl de robli^stioB iMfiridBelle des points à de- ■eorer s«r des oovrties cm des sorbces données, elles n'introdairont ancnn terne dans Féqnatîon des forces vives, si les flMNnrenents rebtifs sont assez petits pour que le système ait Ympp&remee dfnn solide géométriqne. Car cette assimibtion implique que le mouvement du système réel , conçu tout à coup comme solidifié, est compatible avec ses liaisons effectives. Le travail des forces intérieures disparaît donc, ainsi qu*on Ta dénnontré au n** 171. Mais si, an contraire, les mouvements relatifs avaient des grandeurs quelconques, il ne serait plus eiLact de dire qoe le mouvement da système solidifié est compatible avec ses liaisons. Les forces d'assujettissement donneraient lieu à un terme de la forme 2IVe dt cos (I, Ve) lequel s'ajouterait au dernier terme de la relation (1) ci-dessus, ponr représenter l'erreur totale qu'on commettrait, en assimilant le système à un solide géométrique, dans l'appréciation de ses forces vives réelfes.