CHAPITRE PREMIEB

MOMENTS DINERTIE, AXES ET CENTRES DINERTIE.

Les théorèmes que nous nous proposons de démontrer dans cet appendice sont purement géométriques, c'est-àdire tout à fait indépendants des considérations du mouvement, lis sont destinés à fournir des résultats qui trouveront leur principale application dans la mécanique spéciale.

Définitions, 17/i. — On nomme moment d'inerfîe d'un point matériel

par rapport à une droite le produit de ia masse de ce point par le carré de sa distance à cette droite.

Conune on le voit, le mot inertie employé dans cette expression n'a aucun rapport avec le sens qu'il reçoit dans la lot d'inertie, ni avec la locution vicieuse dVwer/«^ delà matière. Il est fâcheux qu'on ait ainsi dérivé le sens véritable du mot, ou plutôt qu'on ait fini par ne lui en donner aucun ; car il est visible qu'au point de vue de l'étymologie l'expression moment d'inertie ne signifie absolument plus rien. Il eut été bien préférable qu'on se servît d'un terme entièrement nouveau pour désigner ce produit, ou que, si on voulait le rattacher à d'autres mots déjà connus, on adoptât une locution composée avec ceux de muasse et de rotation: car nous verrons plus tard, dans la Mécanique spéciale^ que, lorsqu'on fait tourner un point matériel autour d'un axe fixe auquel il est invariablement lié, le produit ci-dessus joue, dans cette rotation, le même rôle que la masse dans le mouvement ordinaire. Mais, pour ne pas déroger aux usages reçus, nous garderons l'expression de moment d'inertie, en insistant sur ce qu'il ne faut chercher à rattacher ici au mot d'inertie aucun sens déjà connu.

Réciproquement, on appelle axe d'inertie la droite par rapport à laquelle on prend le moment d'inertie. Il y a une infinité d'axes d'inertie, comme il y a une infinité de moments d'inertie.

Si l'on est amené à considérer spécialement des axes d'inertie qui se coupent en un même point, on nomme ce point centre d'inertie.

Pour un groupe de points matériels, distribués d'une manière quelconque dans l'espace, indépendants ou liés entre eux, on nomme moment d'inertie du groupe, par rapporta une droite, la §omnie des moments d'inertie de tous les points par rapport à cette droite. De sorte que, si m, m', w".... sont les masses de divers points, r, r , r", leui*s

distances respectives à Taxe d'inertie, le moment d'inertie total sera égal à mr^ H- m'r'* H- m" r"^ -h..., quantité qu'on représente ordinairement par Imr^,

La grandeur du moment d'inertie varie évidemment avec la position de la droite. On conçoit dès lors qu'entre cette position et la grandeur du moment correspondant il puisse y avoir des relations intéressantes à connaître. C'est justement là l'objet des théorèmes renfermés dans le présent chapitre.

Remarque, — Le moment d'inertie ne varie pas lorsque les points matériels, au lieu de consener leurs situations actuelles, tournent d'une manière quelconque autour de l'axe d'inertie, de manière à décrire des cercles perpendiculaires à cet axe. Car, toutes les distances restant alors les mêmes, les produits mr^^ tnr"^,,, conservent leurs valeurs primitives.

Proposition première.

175. — Le moment d'inertie d'un groupe de points matériels , par rapport à un axe quelconque , est égal au moment d'inertie pris par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité du groupe, plus le produit obtenu en multipliant la masse totale par le carré de la distance des deux axes, ou, ce qui revient au même, par le carré de la distance du centre de gravité au premier axe.

Plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité, et prenons pour axe des z une droite parallèle à l'axe d'inertie donné.

Soit donc OX, OY, OZ les axes de coordonnées, AB l'axe d'inertie parallèle à OZ, et M un point matériel, de masse m.

Le moment d'inertie du système, par rapport à A B, est égal à la somme des produits analogues à m M 1', M I étant

APPENDICE. ~ THÉORèllES GÉOMÉTRIQUES.

la |>eq)eudiculaîre abaissée surAB. Le moiBeDt d'inertie par

rapport à OZ est la somme

des produits analogues à MK', MK étant la perpen-

diculaire abaissée sur OZ. U s'agit de faire voir que :

-^ -f- M . KÏ^ ,

M étant la niasse totale et

K I la distance des deux axes

Fig

. Sd

parallèles.

En effet , soit x, y^ z les coordonnées du point M, et a, g celles du point A on Taxe A B coupe le plan des ory. On a :

STl' = PÂ' = (^ — (^Y -h (y - ê)-' = a;2 -f- y2 4. «2 | g2 «.

25u; — 2êy = MK' -f- KÎ* — 2aaî — 26y , à cause de x'-\-y'=m^ , et a^ -+- 6^ = KÎ' .

£u multipliant par la niasse ?n, il vient :

Faisant la somme de toutes les relations analogues pour les divers points matériels, on obtient :

2m MÏ* = 2 m MK* -|- M . Kp — 2«2?na? — 2g 2 wy.

Mais, puisque Torigine des coordonnées est au centre de gravité, les sommes 2m^, 2my sont nulles, ainsi qu'on Ta démontré au commencement du livre Ht. Donc, enfin, on a la relation annoncée, qu'on écrit ordinairement sous la forme :

(^) l.mi'' = 2mR» -f- Ma» ,

AXES ET MOMENTS iVlNERTIE. 611

en désignant par r ia distance à un a\e quelconque, par R la distance à un axe parallèle passant par le centre de gravité, et par a la distance des deux axes.

Pour tout autre axe d'inertie parallèle au précédent, le nouveau moment sera égal à 2mR^, qui ne change pas, plus Ma^, où a seul a changé.

On représente généralement la quantité 2mR*, constante pour tous les axes parallèles, par M.K^ : ce qui fait que la proposition ci-dessus est exprimée par la relation :

Consequenceê.

i"* Parmi tous les moments d'inertie relatifs à des axes parallèles, celui qui est pris par rapport à Taxe passant par le centre de gravité est un minimum,

2** Les moments d'inertie pris par rapport à des axes parallèles également distants du centre de gravité sont tous égaux entre eux.

S° La différence des moments d'inertie pour deux axes parallèles quelconques est égale à la masse totale multipliée par la différence des carrés des distances du centre de gravité aux deux axes.

li° Si le moment d'inertie est, comme on vient de voir, susceptible d'un minimum, il ne l'est pas d'un maximum : car en prenant l'axe suffisamment éloigné du centre de gravité, on peut faire croître au delà de toute limite le terme correspondant à la distance des deux axes parallèles.

Remarque. — Nous avons dit plus haut qu'on représentait habituellement par M.K^ le moment d'inertie ImR^ par rapport à un axe quelconque. La longueur K est cntière-

ment déterminée, puisqu'elle est égale à —-^Tï—. Il est aisé

kï2

APPENDICE. — THÉORÈaiES GÉOMÉTRIQUES.

de voir que si tous les points matériels du groupe considéré étaient distribués sur une surface cylindrique de révolution, dont l'axe serait Taxe d'inertie supposé et le rayon la longueur K, leur moment d'inertie serait encore égal à M R^ ou 2mK^. Ainsi, K est le rayon d'un cylindre de révolution tel que, si toute la masse y était répartie d'une manière quelconque, le moment d'inertie serait le même que pour le groupe donné. Cette longueur K a reçu quelquefois le nom de rayon de giratian. Nous en verrons plus tard le motif.

Proposition deuxième.

176. — Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque est égal à la somme des moments d'inertie par rapport a trois droites rectangulaires menées par un même point de cet axe, respectivement multipliés par le carré du cosinus de l'angle correspondant, moins les doubles sommes des rectangles interceptés sur ces droites respectivement multipliées par les produits des cosinus correspondants, deux à deux.

Soit A B un axe d'inertie quelconque, et OX, OY, OZ trois droites rectangulaires menées par un même point de cet axe, et faisant avec lui des angles a, ê, y. Soit M un point matériel du groupe, et a?, y, z les longueurs interceptées par ce point ^ sur ces trois droites comme axes de coordonnées. Représentons par L le moment d'inertie du système par rapport à l'axe AB, et par a. A, c les moments d'inertie par rapport aux droites OX,OY,OZ.

Fig. 37.

Jo (lis qu'on aura :

En effet, le carré de la distance M I d'un point quelconque à Taxe AB a pour valeur :

Ôm' . sin- MOI = Ô>ï' (1 — cos^ MOI) ;

mais

cos MOI = ^ <^s « + ^ ces g -h ^ cos y.

En substituant, il vient :

Ml^ z= OM^ — (a7C0sa + y cosê + 2:cos7)^=a;^-|-2/^H-2^ — — (x cos a + y cos S -h 2 cos 7)^.

. Développons le carré indiqué dans le second membre. L'équation peut alors se mettre sous la forme :

MÏ^ = a?2 (I — cos^a) 4- 2/M* — cos^ ê) -|- ;^2 (i — cos^ 7) — — 2xy cos a cos c — 2xz cos a cos 7 — 2yz cos 6 cos 7 .

Mais on sait qu'entre les angles a, ê, 7 existe la relation rosV. -f-cos^6H-cos^7=l. Par conséquent, on peut, dans cette équation, remplacer

1 — cosV.

par

cos^ê H- cos*^7 ;

1 — cos^S

par

cos^a + COS27 ;

1 — cos^7

par

cos^a H- cos^o.

Si nous faisons la substitution et si nous mettons en facteur commun chacun des carrés des cosinus, nous obtiendrons :

— 2xy cos a cos ê — 2xz cos a cos 7 — 2yz cos S cos 7 •

^utiQiiitiUf lue «c fil iHûtun^ juitfflme et umâes les éqoa-

V <!*nf 1» iroit> luifïkff^ ^ ^ '. "Mai cosstaats pour tODS i» pÊÊÊÊÊ^ fi 4PBR. ^v fMiMiffM, «■ pot Mettre leurs niiûuih> biiT^ du «îpH 2. ;

jT <^KKe2.flB jr^r^' Tflppewte' fe» ■ûf t dlaertie, pris fiiir noQtiin i» ifi àriùkt i^TL <'«t-â i fc i t la qpaBlitë désignée

Oaa Ty^ttiuii Jtiat^ ptraêtt aîKî et tnwver la YSlenr du iMflimi i^matàt jKHD SB x%!fr ifekiii«q»e possaot par m paiM ÀouK*. ^paaaâ {a cfiasaii ks WÊamteuts pour trois dM»<4> q»e4o»^f^ fOtsBiBt par le Mae poiat el rectan-

176 Aht . — Jb«ifcailiB»éédHwde€ctteproposîtîoB«ne

C0wieric«> qaV4i BMse par le poîat O aotaiit d'axes dîner* lie qÊt'iM le T{«df:i. et presoss sn* diacnn des axes une lo^vear 0\ e^ale a rawtê dirbêe par le nombre qni repré- MJH la ncûe cmee dn ■ w wtn t dlnertie correspondant. Tossles poials X ainsi obmns appartiendront à la snrface dTnn eUipsc^ide dont le centnf est placé an point O on an centre des moments

En effet, soit r« r, T les coordonnées d^'im quelconque de ces points X, et L le moment dlnertie ponr Taxe correspondant A B.

On a d*abord :

• "*^=A' "«^=uk- '^"y=^'

mai», par hypothèse, ON = -y= ; donc

cosoL = l l/L , cos o = y; \/l , cos y = Ç \/L .

Pour avoir le lieu des points N, il faut, entre ces tisois relations et Féquation (e) qui donne la valeur de L, éliminer les angles a, S, 7, qui varient d'un axe d'inertie à l'autre.

En icûsant la substitution des valeurs des cosinus dans réquation (^•), on voit que L disparaît comme facteur commun aux deux membres, et il reste entre ?, y;, Ç la relation suivante :

Cette équation est celle d'une surface du second degré^ dont le centre est en 0^ puisque les termes du premier degré manquent. Il est visible, en outre, que cette surface ne peut être qu'un ellipsoïde : car, la valeur L étant toujours positive et finie, la longueur du rayon vecteur, égale à r7j=, est

elle-même réelle et finie. Donc la surface ne peut être un paraboloïde, ni un hyperboloïde à une ou deux nappes.

Nous nommeiX)ns désormais cet ellipsoïde ellipsoïde central, afin de rappeler qu'il a pour centre le centre d'inertie.

Le point étant arbitrairement choisi, on voit qu'à chaque point de l'espace correspond, pour un même système de points matériels, un ellipsoïde central différent, pour lequel les rayons vecteurs sont déterminés par les valeurs des moments d'inertie relatifs aux divers axes qui passent par ce point. Pour chacun de ces ellipsoïdes, les longueurs des droites menées du centre aux divers points de la surface nous fournissent une image très-nette des rapports de grandeur qui existent entre les moments d'inertie relatifs aux différents axes qui se croisent à ce centre.

M6 APPENDICE. — TRÊORfcMtS (;ÉOMÉTRI0rES.

PropoNilioB tr«li$lêBie.

177. —Par tout point de l'espace, on peul toujoars mener trois axes d*inertie rectangulaires tels qu'en appelant x, y, 2 les coordonnées d'un point matériel quelconque du systèfne, par rapport a ces axes, on fasse évanoair les sommes des rectangles Imry^ ItnrZy Imyz.

En effet, choisissons pour les axes en question les trois droites rectangulaires qiron nomme en gëonëtrie axti friMCêpaux de lellipsoïde représenté par réqnation V. Ou sait que ces lignes jouissent de la propriété, qn'en les primant |>our axes de coordonnées de la surface^ les reclangks des coordonnées de celte snrface disparaissent do l\S|Wiliou qai la représente : c'est-à-dire que leurs coelfi- «^*^l« s^^t sèpan^ulettl nuls. Mais, puisque ces axes de coor- Amu^^'s «te rellip(<<^le Mj^tt sup|w)^.r> être pris aussi pour 5i\es «iW t\Hi^',ViHiu^'^f< du système. îl en résuhe que les eoeffi- ^'Wnis ^W^ <«sjiis rwtandiK dans rét:{uaiion >] déviennenl y«vvt:s4Hittk*«C Krs v«u:ï»tités Imjrtf^ -«y-- Imxz. tk?nv ces

Ces a\<f^ $vv«ii>-'<i:^uKS f^nKfpaax «le THIiiRMHde central r»«< «»,»*»ttK'S viwrvi» TtnittxffMmLf é^imirwtie^ Ils jowssent de k* jrtvwîn,'^' ;;.\^^ s. :ir ^f^ ^rtfo^i ç^oar a\«?s de eoonlonnées

vi|Mi»:$vHi< ulUtfI^ a x-!>lf*fr Ai: mmeiK «foKttM- par r^iport à HM >Jtvr >(<iv'^^:von«ic ■!" rsc f jiî!t!iirs n^sî^fc' «fae ces axes y««^^iAtM.\ /*ii!k'r«?i/ >^;iic l*^^ ^-«iih> ou^ Tiior EU MMBe poiot ^N !;v«ha*vVv >ctfr>iaîî5sv»u* i ;ttaM ruintiiiiiaL çœ î5«f»e, pour un #i;VK' AAiii .. ri IX : (tifte^ ^straj: itlîniftiùâ; «nncrri. et que

que sera ainsi fonciion des moments d'inertie pris par rapport aux axes principaux. Si Ton désigne ces moments respectivement par A, 15, C, la valeur de L sera fournie par lu relation :

(m) L == A cos'a 4- B cos^o -f- C cos^y ,

dans laquelle a, 6, y représentent désormais les angles formes par Taxe quelconque avec les trois axes d'inertie principaux.

Par analogie, les moments A, B, C ont reçu le nom de niofnen ts (V inertie prin cipaux.

Quant à l'équation de l'ellipsoïde central, elle se simplifie également avec ce choix de coordonnées, et prend la forme :

(e) Ar--hB-/i^ + Cr" = l;

et il ne faut pas perdre de vue que les coordonnées H, /i, Ç sont prises actuellement par rapport aux axes principaux.

Conséquences,

V Quand les trois moment^s principaux sont égaux entre eux, tous les autres sont égaux aussi au moment principal. Car, si A=B=C, il en résulte L=A (cos'^a-l-cos'^S-h cos^7)=A.

L'ellipsoïde central est alors une sphère, représentée par

l'équation i^-hYr'\-K^^-j-, et dont le rayon est égal a r7~.

2» Quand deux des moments principaux sont égaux entre eux, toutes les droites qui forment le même angle avec l'axe du moment inégal donnent lieu à des moments égaux. Car si, dans la valeur de L, on suppose A= B, il vient L = A(cos-a4-cos2ê)-|-Ccos'-7=Asin-7+Ccos'v. La valeur de L ne dépend plus que de celle de 7.

Dans ce cas, rellipsoide central est de révoluUon, et il y a une infinité d'axes priucipanx pour un même point de Tespace. Seulement tous ces systèmes d'axes principaux ont un axe commun, qui est Taxe du moment inégal.

ProposllioB quatrième.

178. — Parmi tous les moments d'inertie, pris par rapport à des axes quelconques qui se croisent en uu même point de l'espace, le plus grand et le plus petit possible sont toujoui's deux des moments d'inertie principaux.

La démonstration ne peut porter sur le cas où les moments principaux seraient égaux : car on sait qu'alors tous les autres moments seraient aussi égaux. Supposons donc les moments principaux inégaux, et, par exemple, A>B>C. Je dis que A sera le moment maximum, entre tous les moments possibles, relatifs au même centre, et C le moment minimum.

La relation (m) du n" précédent peut s'écrire :

L = A — (A — B) cos^g — (A — C) cos^y.*

Les deux derniers termes étant essentiellement négatifs, d'après les hypothèses faites sur les trois moments principaux, il en résuie L < A. Ainsi A est un maximum.

Nous ferons voir de la même manière que L est toijyours moindre que C, ou que C est un minimum. Nous n'avons qu'à écrire la relation sous la forme :

L = C -h (A — C) cos^a -h (B — C) cos^é ,

dans laquelle les deux derniers termes sont essçntiellenieut positifs.

Cette propriété des moments d'inertie peut servir à démontrer qu'il n'y a qu'un seul système d'axes principaux.

AXES ET MOMENTS DTNERTIE. Ui^

Car, s'il pou\ait y en avoir deux, on répéterait les mêmes raisonnements pour chacun d'eux, et Ton prouverait ainsi qu'il y a, de part et d'autre, un moment d'inertie qui est le plus grand de tous : résultat dont l'absurdité ne cesse que si ces deux moments sont égaux, c'est-à-dire si les deux axes principaux correspondants se confondent.

Remarque, — La propriété du maximum et du minimum fournit un moyen algébrique de trouver les axes principaux que nous avons déterminés par des considérations géométriques.

Reprenons, en eflct, la valeur générale d'un moment d'inertie quelconque, en fonction des coordonnées, et sans présupposer les moments principaux. Cette valeur trouvée au n° 176 est :

Cherchons les directions des lignes par rapport auxquelles doit être pris le moment L, pour que sa valeur soit un maximum ou un minimum. On connaîtra ces directions t)ar ce caractère, que la valeur L ne variera pas, quand on fera varier très-peu dans l'équation ci-dessus les valeurs a, ê, y. C'est la théorie connue des maxima et des miniuia. Différentions donc successivement, par rapport à a, 6, y, cette équation mise préalablement sous la forme :

L (cos'a 4- cos'ê -f- cos'y) = a cos'a -\- b cos^S 4- c cos^y — — 2/* cos « cos S — 2</ cos a cos y — 2/t cos S cos y,

en représentant, pour abréger, par /*, </, // les sommes des rectangles. La différentiation, efleetuéc en regardant L comme constant, fournit les trois relations :

(L — a) cos a -h /* cos c -I- ^ cos y = o , /"cosa -h (L — é) cos c 4- ^ ces y ^= o , g cos Cf. -+- Il cos c -h (L — c) cos y = o ,

auxquelles doivent satisfaire les valeurs de a, 6, y et L qui répondent au maximum et au minimum. On tire de là, par une élimination convenable, Téquation suivante, qui ne contient que L, et qui est du troisième degré par rapport à cette inconnue :

(2) (L-a)(L — 6)(L— c)-(L-.a)A^— (L-ft)^»— (L— c)/2 4-2/5fA==o.

L*une des trois racines donnera le maximum, Tautre le minimum, et la troisième, qui ne peut être, conséquemment, ni un maximum ni un minimum, sera intermédiaire enti*e les deux. Chacune de ces racines correspondra à un ceitain système de valeurs pour les angles a, 6, y : car il serait facile, au moyen des relations (1), d'exprimer leur cosinus en fonction de L. Ainsi chacune des trois valeurs du moment, fournies par Téquation du troisième degré, déterminera une direction d*axe correspondante.

Remarquons qu'on pourrait supposer que les directions dont il s'agit coïncident avec les axes coordonnés, si Ton admettait dans l'équation (2) :

Car il est bien visible qu'alors cette équation serait satisfaite en donnant à L une quelconque des trois valeui-s a, by c. Ainsi, la condition pour que trois axes de coordonnées rectangulaires soient des axes principaux , est exprimée par :

2 mxy = o , ^ nucz = o , 2 inyz = o .

C'est justement là ce qu'on a déjà trouvé par l'autre méthode.

Propositinii einqaiènie.

179. — Les points de l'espace pour lesquels les axes principaux d'un système sont parallèles chacun à chacun sont symétriquement placés par rapport au centre de gravité. Soit un point de l'espace, et OA, OB et OC les trois axes principaux d'un système matériel, relativement à ce point.

Prenons pour axes de coordonnées trois droites GX, GY et GZ, parallèles aux axes principaux, et placéesau centre de gravité du système. Soit /), g, r les coordon- 7V nées du point 0, et Xy y, z celles d'un point quelconque M du système. Les coordonnées , par rap- X port aux axes principaux, seront

Les conditions qui expriment que Fig. M. les axes OA, OB et OC sont prin-

cipaux , sont , comme on sait , les suivantes :

2m (x — p) (y — <7) = G , lm{x — p) {z ^r) = o j 2m (y — <7) (z— r) =0.

Développons et mettons en dehors du signe 1 les quantités />, ç, r, qui sont les mêmes pour tous les points. Soit d'ailleurs M la masse totale du système. Les relations ci-desfsus deviendront :

iMpq -+- ^mxy — qlmx — plmy = o ,

(1) JMpr-l- linxz — rlmx — plmz = o ,

(i\I^r -h Imyz — rlmy — qlrtiz = o.

Mais, puisque est au rentre de gravité, les quantités ^mxylmy^ Imz sont séparément nulles. Ceséguations se réduisent donc aux suivantes :

VLpq -{-linxy = o y }i\pr + ^10x2^=0 ^ M9r-|-2wy2:=o,

clans lesquelles la masse totale et les sommes des rectangles sont entièrement indépendantes de la position du point 0. On ne peut évidemment y satisfaire que par les valeui^s actuelles de^, g, r, ou par des valeurs égales et de signes contraires, dont les produits deux à deux seront les mêmes.

Donc, les deux systèmes d'axes principaux parallèles sont relatifs à deux points de Tespace tels que la droite qui les joint est divisée en deux parties égales par le centre de gravité.

ProposltloD sixième.

180. — Si, par un point quelconque pris sur l'un des axes principaux relatifs au centre de gravité, on mène deux droites parallèles aux deux autres 4ixes, ces deux droites, avec le premier axe choisi, constitueront un système d'abcs principaux relatifs au point considéré.

Reprenons, en effet, les relations (1) du numéro précédent, qui expriment les conditions des axes principaux pour un point quelconque de l'espace.

Dans le cas où les axes de coordonnées GX, GY etGZ sont les axes d'inertie principaux relatifs au centre de grfl* vite G, les sommes des rectangles, 2mxyy Itnxzy Imytj sont séparément nulles. En sorte que les relations (1) se réduisent à celles-ci :

Mpq:=Oy Mpr=o, M7r==o,

lesquelles sont identiquement satisfaites, pourvu que deux des trois quantités />, g, r, soient nulles à la fois, c'est-àdire pourvu que le point soit pris sur Tuu des axes principaux. — Il est d'ailleurs visible que celte condition, qui est suffisante, est en mi^me temps nécessaire.

Pmpofiltiiiii septième.

181. — Loi^sque deux des moments d'inertie principaux, relatifs au centre de gravité, sont égaux entre eux et moindres que le troisième, il y a toujours dans l'espace deux points pour lesquels les trois moments principaux sont égaux entre eux. Ces deux points sont d'ailleurs situés sur Taxe principal correspondant au moment inégal, et à égale distance, d'un côté et de l'autre, de ce centre de gravité.

Pour le démontrer, je dis en premier lieu que tout point pour lequel les trois moments d'inertie principaux sont égaux est nécessairement placé sur l'un des axes principaux relatifs an centre de gravité. En effet, on peut, par le point en question, mener trois droites parallèles aux axes principaux du centre; mais ces droites seront elles-mêmes des axes principaux pour le point où on les a menées : car, les trois moments d'inertie principaux ayant été supposés égaux en ce point, il en résulte que toute ligne qui y passe est un axe principal. Ainsi, nous voyons d'abord que les trois droites menées par le point parallèlement aux axes principaux dit centre de gravité sont elles-mêmes des axes principaux relatifs à ce point. D'un antre côté, le parallélisme de ces axes principaux avec ceux du centre implique, d'après la proposition précédente, que le point est situé sur Tun des axes relatifs au centre.

En second lieu, je dis que, si les trois moments d'inertie sont égaux pour le point dont nous parlons, il y en aura né«

U2k APPENDICE. — THÉORÈMES GÉOMÉTRIQUES.

oessairement deux égaux aussi pour le centre do gravité. En effet, soit A, B, C les moments principaux du centre. Remarquons que le point donné est sur Tun des axes principaux du centre, surFaxe relatif au moment A, par exemple. Par conséquent, si A' est la valeur commune des trois moments pour ce point, on a tout d'abord A' = A. Mais, on outre, si Ton désigne par p la distance du point au centre de gravité, on voit qu'en vertu des relations existant enire les moments pris pour des axes parallèles ( n° 175 ) on peut écrire :

A'= A = B -f- Mp* , A'= A = C -F Mp^ ; d'où résulte :

On voit donc que, dans le cas où deux moments sont égaux et moindres que le troisième, il existe sur l'axe de ce troisième deux points symétriquement placés par rapport au centre de gravité, pour lesquels les trois moments principaux sont égaux.

Cette proposition pourrait être formulée d'une autre manière, eu disant qu'il y a deux points de l'espace dont l'ellipsoïde central se réduit à une sphère, lorsque l'ellipsoïde central relatif au centre de gravité est de révolution autour de son plus petit axe.

Conséquence. — Si les trois moments principaux du centre sont égaux, la valeur ci-dessus dep est nulle, et, par suite, les; deux points en question se réduisent à un seul, qui n'est autre que le centre de gravité lui-même.