D'INERTIE DES SYSTÈMES A POINTS MATÉRIELS

TRÈS-RAPPROCHÊS.

182. — Nous avons déjà indiqué, au n" 12G, comment on procédait théoriquement pour trouver le centre de gravité d'un nombre quelconque de points matériels. La méthode générale consiste à former pour chaque point le produit analogue a mx^ et à diviser ensuite la somme de tous ces produits par la masse totale, pour avoir lu distance du centre de gravité au plan par rapport auquel les distances x sont évaluées. On peut aussi ramener la recherche à celle de deux points matériels seulement, en commençant par déterminer le centre de deux points, puis le centre d'un troisième avec les deux premiers réunis à leur centre ; et ainsi de suite.

On procède d'une manière analogue pour les moments d'inertie. On forme tous les produits wr^, r désignant la distance de chaque point à Taxe d'inertie. La somme de ces quantités donne la valeur du moment total par rapport à cet axe.

Mais il est visible que cette méthode, tant pour les centres de gravité que pour les moments d'inertie, toujours siifii-

W5 APPENDICK. — THÉORÈMES GÉOMÉTRIQUES.

sanfo en théorie, est vérilablement illusoire en pratique. Car, clans les cas réels qu'on est amené à considérer, on ne connaît ni le nombre des points matériels ni leur situation exacte. Ils échappent, en effet, par leurs faibles dimensions, à toute investigation directe. Le procédé ne serait applicable qu'à des corps finis, envisagés séparément comme des points matériels par rapport à Tensemble du système qu'ils constituent, et pour chacun desquels on connaîtrait déjà le centre de gravité ou le moment d'inertie, suivant les cas. Ces corps étant, en effet, en nombre très-limité dans un même système, et leur position étant nettement discernable, on pourrait, au moyen de la méthode générale, trouver le centre de gravité ou le moment d'inertie de l'ensemble. Mais ce n'est là, comme on voit, qu'un accessoire qui nécessite la connaissance préalable relative à chacun de ces corps isolément, pour lequel le procédé général est totalement inapplicable.

Cette difficulté disparaît pour tous les corps théoriques conçus commç absolument continus, c'est-à-dire dans lesquels on supposerait que la matière s'étend sans aucune séparation, sans aucuns vides ou pores interposés entre les parties matérielles. La question est alors ramenée à de pures recherches de calcul intégral, comme nous le montrerons amplement par la suite. II est donc très-naturel d'examiner si l'on ne pourrait pas utiliser ces résultats pour les corps réels, qui sont tous discontinus ou constitués en systèmes dynamiques dans lesquels les points matériels se trouvent toujours séparés les uns des autres. Les distances qui existent entre eux sont d'ailleurs, dans tous les cas, extrêmement petites, ce qui ne veut pas dire qu'elles sont négligeables par rapport aux dimensions des particules : on admet au contraire qu'elles sont du même ordre ; seuleniénf les unes et les autres sont très-faibles devant lés dimensions totales du système.

SYSTÈMES A POINTS TRfcS-RAPPROCHÊS. f\2l

L'analyse a établi cette vérité bien importante, que les centres de gravité et les moments d'inertie peuvent, dans les corps réels, être recherchés par les mêmes procédés de calcul intégral que dans les corps continus fictifs. C'est ce que nous allons démontrer, au moyen d'une proposition plus générale, qui convient non-seulement aux centres de gravité et aux moments d'inertie, mais encore à toute recherche dans laquelle on est amené à fîiire une somme de termes obtenus en multipliant la masse de chaque point matériel par une certaine fonction de ses coordonnées.

Proposition.

i8S. — Lorsqu'un système est formé de points matériels très-rapprochés, on peut le traiter comme un corps absolument plein, dans toutes les questions où Ton a à considérer les produits des masses des points par certaines fonctions de leurs coordonnées respectives.

En effet, supposons un corps absolument plein, et concevons-le décomposé en fin certain nombre de volumes t?, v\ v"... Soit p, p',p"... la densité moyenne dans chacun de ces volumes : les masses seront respectivement égales à pr, p'i?', pt?...

Actuellement, imaginons que chacune de ces parties soit remplacée par un point matériel de même masse qu'elle et placé à son centre de gravité : l'ensemble de tous ces points matériels constituera un système dans lequel les vides seront en rapport des dimensions de ces volumes v, v\v",..

Soit U une certaine fonction des coordonnées d'un point quelconque du corps.

Pour la solution d'une question telle que la recherche du centre de gravité, du moment d'inertie, ou pour toute autre analogue, on sera conduit, dans le système composé des points matériels pt?, pV, p'V,... à effectuer une somme de

termes ^prlJ, dans laquelle p, v et U varieront de valeur d'un point matériel à l'autre.

La même question, relative au corps absolument plein,

conduira à effectuer une intégrale / pdv. U , étendue à tout

le volume du corps, et dans laquelle p et U varieront, nonseulement d'une partie à l'autre, comme dans le système, mais aussi d'un point géométrique à l'autre dans une même partie.

La différence entre l'intégrale / prfrU et la somme IpvV

représente l'erreur commise en considérant le système comme un corps plein. Il s'agit de montrer que cette erreur est négligeable, lorsque les points matériels du système sont très-rapprocliés.

L'intégrale / pUrfr est égale à l'intégrale définie, prise

entre les limites correspondant à la première partie, plus l'intégrale prise de même pour la seconde partie, plus celle de la troisième; et ainsi de suile pour chaque partie.

Pour une partie quelconque, soit U, la valeur de la fonction U quand les coordonnées y sont celles du centre de gravité de cette partie. Dans toute l'étendue d'une même pallie, on peut toujours développer U suivant une série de termes U|-f-aw-|-cw' +.... où a représente une certaine fonction, au premier degré, des différences qui existent entre les coordonnées du centre de gravité et celles du point considéré, ê une fonction, au second degré, des mêmes différences...; M, !#'..., des fonctions des coordonnées elles-mêmes du centime de gravité. Si nous négligeons les termes affectés des différences au second degré, vu leur petitesse par rapport à ceux du premier degré, l'intégrale

f^ydry étendue à la partie considérée, sera égale à

pl'U, -f- / fio^ttdv.

Le terme analogue de la somme relalive au système des points matériels sera simplement :

prU,.

La quantité i ^oLudv est donc Texpression de Terreur commise, en ce qui concerne la partie v. Cette erreur sera évidemment accrue si Ton donne le même signe à a, dans toute rétendue de la partie, et si, en outre, on lui attribue constamment la plus grande valeur a^ qu'elle puisse y atteindre.

L'erreur exacte est donc moindre que / ^oi(udv ou que

L'intégrale / ^udv est d'ailleurs elle-même une quantité

de la forme ^vu^y i/, étant une certaine valeur moyenne de la fonction u dans toute l'étendue de la partie. De sorte que, finalement, l'erreur susdite est moindre que

En raisonnant pour les autres parties comme nous venons de le faire pour l'une quelconque d'entre elles, on voit que l'erreur totale commise dans l'assimilation du système avec le coi^ps plein sera moindre que :

«^pt?M, -h ajpVw; 4- a;'p"t?X' + ....;

somme de termes qui sera évidemment moindre que celle qu'on obtiendrait en y donnant partout à ol^ et à u^ les plus

430 APPENDICE. -^THÉOUEMES GÉOMÉTRIQUES.

grandes valeurs «/'^^ et i/,^"' qu'elles y reçoivent efifecliveineiit. Or Ton aurait ainsi :

«;"'Ml"^(pt,^-pV^-pV'-^ ),

ou M «>;-';

en représentant par M la masse totale du corps ou du système.

Mais M est une quantité finie : de même t//"' est nécessairement fini, puisque c'est une certaine valeur qu'acquiert la fonction te, qui est toujours finie. Au contraire, a^^"' qui est une fonction au premier degré, des différences qui existent entre les coordoimées de deux points d'une même partie, peut avoir une valeur indéfiniment décroissante, si les parties sont prises de plus en plus petites.

Ainsi, quand on traite un corps plein comme un corps discontinu, on commet une erreur dont la grandeur dépend des dimensions des parties entre lesquelles on le conçoit séparé ; et réciproquement, si Ton traite un corps discontinu comme un corps plein, on commet une erreur qui dépend des dimensions des parties renfermant de la matière, qu'on peut considérer dans ce corps. D'où il suit que le degré d'approximation est marqué par les dimensions au-dessous desquelles les parties rtublies dans le corps cesseraient de contenir de la matière. En d'autres termes, l'approximation dépend de l'espacement réel qui existe entre les points matériels du système.

Dans les corps naturels soit liquides, soit solides, etc., l'espacement des points matériels paraît être extrêmement faible, par rapport aux dimensions des corps eux- mêmes. Il y aura donc lieu d'appliquer à la recherche de leurs centres de gravité et de leurs moments d'inertie les procédés de calcul intégral dont nous nous serons servis pour les corps pleins.

Renvarque, — La démonstration repose sur ce que la

SYSTÈMES A POINTS TBÈS-RAPPROGHÊS. &31

valeur de w, en passant d'un point à un autre de laincnie partie, est toujours finie. Cela signifie que les variations de U, pour d'assez faibles variations des coordonnées, ne sont Jamais très-grandes. Il pourrait y avoir telles fonctions des coordonnées pour lesquelles cela n'eût pas lieu; mais ces fonctions ne sont évidemment pas du genre de celles qui correspondent aux questions que nous avons eu vue, lesquelles se réduisent à la masse multipliée par certaines puissauces des coordonnées.

Reeherehe des eenlres de gravilé,

184. -r- Corps solides* -r- Concevons qu'on décompose le volume du corps en une infinité de petits parallélipipèdes rectangles obtenus en faisant passer une infinité de plans parallèles aux trois plans coordonnés.

La densité du corps sera généralement variable d'un point à rautre, et soit p cette densité qui est une fonction des coordonnées. La masse d'un des petits parallélipipèdes ainsi formés sera exprimée par pdxdydzj en représentant par doff dtfj dzy ses trois dimensions infiniment petites. Le moment de cette masse par rapport aux trois plans coordonnés sera : orp dx dydzj pour le plan des yz,yp dx dy dz pour le plan des xz y et zpdx dy dz pour le plan des xy.

Les intégrales de ces trois quantités, étendues au corps tout entier, et prises par conséquent dans les trois sens, représenteront les sommes, à la limite, des moments de toutes les particules matérielles infiniment petites, entre lesquelles on peut concevoir le corps décomposé. En divisant ces intégrales définies par la masse totale du corps, on obtiendra les distances du centre de gravité aux trois plans coordonnés, c'est-à-dire les coordonnées de ce centre. Elles seront donc fournies par les trois relations suivantes :

452 APPEN01C£. — - TBiORÈMES GÉOMÉTRIQUES.

5Lr, .= / I / ùxdxdydz^ %!=/ I \\ydxdydz, Mz, = ( ( I ^ûzdxdydz;

dans lesquelles jt^ et j^i , y^ et y, , r^ et z^ , désignent respectivement les limites, dans les trois sens, entre lesquelles doivent être étendues les triples intégrales définies, pour comprendre la masse entière du corps donné. Ce sont les mêmes intégrations que celles qu'on a vues en géométrie pour trouver le volume d*un coi*ps. Les quantités à intégrer diffèrent d'ailleurs en ce qu'ici elles contiennent de plus p et ;r, on p et y, ou p et Zj dont Tune est relative à la densité et exprime par conséquent qu'on s'occupe de la masse au Heu du volume, et dont l'autre exprime qu'il s'agit du moment par rapport aux plans coordonnés.

Quant à la masse totale M, qui figure dans les relations précédentes, on peut supposer ou qu'elle est connue a priori, ou qu'elle résulte de la connaissance de la densité et du volume. Dans ce dernier cas, sa valeur est évidemment exprimée par :

I I ùdxdydz.

Lorsque le corps considéré est du nombre de ceux qu'on nomme homogènes, c'est-à-dire lorsque la densité est constante dans toute son étendue, les relations précédentes se simplifient, parce que p peut sortir de sous les signes / . Si l'on représente abréviativemcnt par V le volume total du corps.

qui est égal à 1 / 1 dxdydz, on a

f^oJVoJt^

SYSTÈMES A ronns nÊs-Kipptoaifs. hZZ

La méthode que nous Tenons de présenter est absoloment générale, ponr tons les corps on anas qnetcooqnes de ma* tière dans lesquels les particnles sont sufiisamaient rapprochées. La déteimination dn centre de grarité ne dépendra que de la connaissance de la loi suivant bqnelle varie la densité, et de la connaissance des limites entre lesquelles devront être prises les intégrales ci-dessus, limites qui seront évidemment Ibumies par la forme de la surfiice dn corps. Quant à Fétat physique dn corps, solide, liquide ou autre , il n'a aucune influence sur la position du centre de gravité.

On ne devra pas perdre de vne que, d'après les propositions démontrées an commencement du livre III, la recherche pourra, dans bien des cas, être abn'*gée, lorsque la configuration du corps décèlera immédiatement un ou plusieurs plans moyens, dans lesquels, par consr'^quent, le centre devra se trouver.

185. — Avant de poursuivre nous parierons de ce qu*on nomme centres de gratité des surfaces ou des lignes, dont la connaissance facilite beaucoup celle des centres de gravité des volumes.

Quelques explications sont nécessaires à cet égard. On ne se rend pas bien compte, en effet, de ce que peut être le centre d'une ligne ou d'une surface, puisque, d'après leur définition géométrique, ces objets sont immatériels, et que, conséquemment, la notion du centre de gravité, invinciblement liée à celle de masse, n'a plus aucun sens immédiat.

UZk APPENDICE. — THÉORÈMES GÉOMÉTRIQUES.

Voici ce qu'on doit entendre par de semblables expressions: Le centre de gravité d'une surface n'est autre que celui d'un solide infiniment mince compris entre la surface donnée et une autre égale et parallèle qui en serait infiniment voisine. La question se trouve donc ramenée à celle des solides euxmêmes, et on la résoudra par des intégrations semblables, mais plus simples en ce (|u'elles ne seront étendues qu'à deux sens au lieu de l'être à trois. Les relations s'établissent d'ailleurs sans la moindre difficulté. En effet, soit e l'épaisseur infiniment petite du corps superficiel, p la densité constante. Si l'on décompose la surface en éléments par une série de plans infiniment rapprochés, parallèles à deux des plans coordonnés, ceux des xz et des yz, par exemple. Taire de chacun de ces éléments sera exprimée, comme on Ta vu en géométrie, par dzdy l^l-f-p^H-g*, où p et g désignent les dérivées partielles de z par rapport à a? et par rapport à y dans l'équation de la surface z=:/'(^, y). La masse comprise sous l'élément superficiel considéré, qui a pour épaisseur e , sera égale à pe dx dy i^i 4-/)* -f- ç* ; et son moment par rapport à chacun des trois plans coordonnés s'obtiendra en multipliant cette expression successivement par 4?, y et z. La masse totale sera égale à l'aire totale multipliée par pe : soit A cette aire, x, y, z les coordonnées du centre de gravité, on aura, en efiTaçant p£ commun aux deux membres :

' I xdxdyY^i-^p^+ ^*,

Kz, = r^T'zdxdy l/l-hp»-+ f.

Quant à l'aire A, on peut supposer ou qu'elle est conaue

SYSTÈMES A POINTS TRÈSRAPPROGHÊSt. &95

à priori ou qu^eile résulte de Téquation de la surface ; dans ce dernier cas, la formule qui Texprîme est, comme on sait :

A = r^T'àx dy v/TTyTY .

Disons maintenant quelques mots des centres de gravité des lignes.

On arrive à cette conception d'une manière tout à fait analogue, en imaginant que le corps soit non-seulement compris entre deux surfaces infiniment voisines, mais même qu'il se réduise à un simple filet obtenu en faisant passer deux nouvelles surfaces, également très-voisines et normales aux précédentes. On fait alors abstraction de deux dimensions du corps, et, en raisonnant comme précédemment, on voit que les formules qui déterminent les coordonnées du centre de gravité sont les suivantes :

Lx^= xds = \ xydx^ + dy^ + dz^ ,

Ly, = r^yds = r'yVdx^ + dy^^dz^,

hz^ = r'zds= f% Vdx" -4- dy^ -\- dz" ;

Jx^ JXq

dans lesquelles L , qui représente la longueur totale de la ligne, est fourni par la relation :

L = r^ds = rVdx''^dy'-\-dz\

Jx^ JXq

Les différentielles dy et dz sont, bien entendu, connues en fonction de dx^ puisque, d'après les équations de la ligne, on doit avoir y = /*(a?), 2^=çj>(a?).

Lorsque la surface ou la ligne considérée sera conte-

h» AïWMiia:. — Titëoiù:ii£s GtoMÉrworES.

dam; wn ]ibn. la rf*dM*rolio prémk^t^ se rëdwira à drtcrmiiier fîeiil<*iii(*iil dt^u\ roordaiiiK^ : <^r il est bien f''vid**iil qiraU>T*s le (•cuire dt- [nnivité sei-n sitiK- dans le plm.

Oh w iviid rimqiU' utsciiicul de ce que la coiioaissance du (tniiif de*. sii!iîic<»s. ]ini cxcmjilc, p(^ii! aider à celle des vokme^ CtA ce qui an-îve satamiiieiit pc«r tous Us voloines pTit»aiaiiqu(^. Caf il isl visihW' que le plan parall» le an irèu*s cj patiKaui ^ojt le ceawe ôv p:avîié du polygone 4e la hkkt eia tiu jilan moyen do i.(itiâe. Il est donc utile de MPiHiii- dêieniiiiKT d alKit'd le c^'utre de cette base.

5otts r<*?«iiDdrof»s les pndilèjiies {Ofticuliers sur les cen- IK»* djui^ l'urdiv suivant : 1* ceolnps de gravilê des lignes; T cflBirei» dfs snKac^'S; S" centres des volumes. Xous emfioierciss. sbîi-idi les cas, soit la mcHliode générale, soit des procédt^ ntKHDHrïques directs.

fMtfOcalicr».

1^ ^ Cmlrec die ^im^ilê de ^«ei^aes li^naes sfé-

99mU r^ — /'«V^^ érffife. — Il est évident que le centi-e de

gra>iîe d^uoe drcûit^ est en son milieu.

Li^M^ iristr finrmmiff mm triangle. — Soit ABC le

tiiaiigle. Les centres de gi-nvilé

di*s trois cùii^ sont respect ivemeiU

en D, E, F, milieux de ces mêmes

cAtés. En chacun des centres on

D» ^ E peut concevoir un point matériel,

^ de masse proportionnelle an côté

H ^. correspondant: il ne reste pins qu'à

/ ^ 2. chercher le centre de gravité de

^ y Q, ces trois masses. Soit H le centime

^^^' ^^' de gravité des deux masses E et F.

Le centre de gravité définitif sera nécessairement sur la ligne

SYSTÈMES A POIMS TRËS RAPPROCHÉS. 637

DH. Or, le point II divisant la ligne E F d'une manière invei'^ sèment proportionnelle aux deux masses E et F, et eelles-ci étant elles-mêmes proporlionnelles aux deux côlés AC et BC, on aura :