EH ^ BC "^ BF "^ DD

doue la ligne DH est la bisseciricc de l'angle EDF. On démontrerait de même que le centre de gravité cherché est sur la bissectrice des deux autres angles DE F et DFE : donc il est au point de rencontre de ces trois bissectrices. Mais il est à remarquer que ce point de rencontre est en même temps le centre du cercle inscrit au triangle EDF. On peut donc dire que le cenlre de gravité d'un contour triangulaire ABC est le centre du cercle inscrit au triangle qu'on forme enjoignant les milieux des côtés du premier.

Ligne brisée polygonale. — On cherche sans difliculté le cenlre de gravité des deux premiers côtés, puis le centre de gravité du point matériel ainsi obtenu avec le troisième côté, puis avec le quatrième; et ainsi de suite. VI Arc de cercle. — Soit

ABCl'arc de cercle. Prenons

\ pour axes de coordonnées

- - deux droites rectangulaires

^ / " menées par le centre, et dont

^ Tune OX coupe Tare eu son

Pig. i,o. milieu. Le centre de gravité

sera, à cause de la symétrie, situé sur la ligne OX : il ne

reste plus qu'à trouver sa dislance au centre. Soit x^ cette

distance. La formule générale à employer est

Lx^=^ \ x(ls= j xdx\J\-A--^,'

Les deux limites de l'intégrale sont ici les mêmes, puisque

le» o^iid» ^f%trr^mf^ C **t \ ont la mhne ^âneisse OD, que je feprmente pur 'f .

L>f{iiacûiB tin (!t«rd«» rapporté à de pareib axes de coor-

dQnneeîHîiaiit 7*^-4^ x^^r^, oa ;à -^,=— , et, par suite, ••^ 5~

Dom: nuct^grole indefiaie est éî^ak à f »>^ ^ ^ » ou bien

irlV— ;»*.

Finnoi» rintégraiie déliBie; ce q«i se fût eo remplaçant ;r pw «r ^t retrancftaAC la preanère quantité de la seconde. Cette sosstractHM se i:hamgt ea addilion, puisque 3f est négatif pour la partie aa-desso«s A B^ d*oti résulte le change- ■ent de si^ne du radicaL II fout en définitive doubler le résultat ; ce qui donne :

Lx, = 2rV/r^-aS doà x, = ^Vf- — a^ = ^;

tm désignant par e la corde, égale à 2 W^H — a^.

La distance cherdiée da centre de gravité au centre du cercle est donc une quatrième proportionnelle au rayon, à la corde et à Tare rectifié.

187. — CcBtrcn ém gravité de ^««l^aes svrfaees spéelales. — Triangle. — Soit ABC le triangle. Concevons-le décomposé en une infinité de bandes infiniment petites , au moyen de la séiie de lignes ik , tk\., parallèles à BC Chacune de ces petites bandes a évidem- /^ . - . __ r£EIzEz! ^t ment son centre de gravité en U l> C son milieu. Par conséquent, le

centre de gravité de leur ensemble ou de la surface du triangle ABC sera situé quelque

pari sur la ligne AD, menée du sommet A au milieu de la base BC. Ou démontrerail de la même manière qu'il est situé sur les deux autres lignes menées des sommets B et C aux milieux des côtés opposés. Donc ce centre est au point de rencontre des trois médianes, ou, ce qui revient au même, sur Tune des médianes, et au tiers de sa longueur à partir de la base.

11 est à remarquer qu'on arriverait au même résultat, si, au lieu du triangle ABC, on avait trois points matériels égaux, respectivement placés aux trois sommets. Car le centre de gravité des deux premiers B et C serait évidemment au milieu de la ligne BC qui les joint; et le centre de ces deux premiers avec le troisième serait quelque part sur la ligne AD.

Polygone. — Un polygone pourra se décomposer en triangles, et rien n'empêchera de trouver, par la méthode précédente, le centre do gravité de chaque triangle; puis on cherchera le centre final de tous les centres partiels ainsi obtenus.

Parallélogramme» — Si on a le parallélogramme A B D C, il sufiit de le décomposer en deux triangles par la diagonale

A ^ -pzyB BC. Le centre de gravité

de chacun de ces triangles sera sur la ligne qui joint le sommet A ou D au milieu de la base , c'est-à-dire sur Fig. 42. la deuxième diagonale A D.

Mais ces deux triangles étant symétriques , leurs centres seront à égale dislance du point I, et, par suite, le centre de gravité final sera en ce point I lui-même, c'est-à-dire à l'intersection des deux diagonales.

Trapèze. — Soit le trapèze ABC. Le raisonnement présenté ci-dessus pour le triangle prouverait d'abord que le centre de gravité est quelque part sur la ligne E F qui joint

khù APfESmCt. — THÊDftËHES GtoMfcTBIQiES.

|es milieax des deux côtés parallèles. Si l'on Teut ensaîte

détenniiier le point précis G où il se irooTe sar cette ligne, il suffit de prendre les centres g et g des deux triangles ADB, CDB, dans lesquels le [trapèze ~f Q est divisé. Le centre de gravité

^'f' ^ final devant être sur la ligne gg

est nécessairement au point G, intersection de gg' avec F, F. 11 est facile d'avoir le rappoil des den\ longueurs £G, F G. En effet, les deux triangles ayant même hauteur sont proportionnels à leurs bases A B, C D ; et le trapèze, qui en est la somme, sera proportionnel à la somme de ces bases. Exprimons que, d*après les propriétés connues du centre de gravité, le moment du trapèze est égal à la somme des moments des deux triangles par rapport au plan mené suivant A B, perpendiculairement à la figure ; et de même par rapport au plan mené suivant CD perpendiculairement à la figure. Soit h la hauteur du trapèze et x et x les distances du point G aux deux bases. Les distances de g et de g' à la base

A B seront respectivement égales à - A et ^ A ; de même les

distances de g et de g' k CD seront respectivement égales à

- A et - A. Par conséqnei

il s*agit pourront s*écrire :

(AB + CD) a: = ^. AB H- y CD .

(AB H- CD) a;' = ^ . AB + ^ CD;

doit, en divisant membre à membre :

X __ AB-F2CD a;'"~2AB + CD*

- A et - A. Par conséquent, les relations des moments dont

. SYSTÈMliS A POINTS TRÈS -RAPPROCHÉS. hki

Or le rapportée x ikx' est le même que celui de EG àFG.

Secteur de cercle, — Il est -visible, d'une part, que le centre de gravité sera sur le rayon qui divise le secteur par moitiés. D'autre part, on peut décomposer ce secteur en une infinité de petits triangles, ayant pour sommet commun le centre du cercle et pour bases les éléments consécutifs de Tare du secteur. Chacun de ces triangles ayant son centre de gravité aux deux tiers du rayon , le centre général s'obtiendra en composant tous ces centres partiels, ce qui revient ù chercher le centre de gravité de l'arc de cercle décrit avec un rayon égal aux deux tiers de celui du secleur. En sorte que, si c, r etL sont la corde, le rayon et la longueur de Tare qui sert de base au secteur, la distance du centre de gravité au centre du cercle sera égale à

3 3 2 rc

Segment de cercle, — Le segment est la différence entre le secteur et le triangle qui a pour base la corde. Les aires de ces trois surfaces sont respectivement égales à :

D'ailleurs, leurs centres de gravité étant tous sur le rayon médian, on peut appliquer la relation des moments, pris par rapport au centre du cercle, pourndétcrminerla distance du centre de gravité du segment. Cette relation donne :

X X [ 0*L — ac) = - -j- X i rL — ^ a X ï oc.

On en déduit :

3 rh — ac 6(rL— ac)

. — Pmé/e/ipépt^e. — H «»i€ èviiieat que tous les fktim tûi^Diiainc «m li» pian» iBOTen». Piv rooséqnent, le «mim 'ie i^mriie « amnFe a Leur imefKctkNir cmi, ce qui remji c m OMDP. jn poini: de noHOMMre de todes les diago-

Primme. — Q eat am&i ««▼ident «pK le centre de gravité se mm^é^nt MIT la ligne <pit ]oac tes centres de gravité des dnni b iwftn ^ ec an milien de cette Hgne. Cela résulte de ce 00^m pent démaip«Mer le âolide en nne infinité de prismes i nân i m g n t peths par one série de pians paralièies aux bases.

P^amide. — Le plan aené par le sommet et la ligne médiane de la base est éndemment nn plan moyen : car on pent décomposer la pyramide en nne série de prismes infinimi^nt petiri^ par des plans infiniment rapprochés parallèles k la l'HSf?, Le même raisonoement pouvant se répéter pour un commet quelconque et la base opposée, il s'ensuit que le centrer de gravité de la pyramide est au point d'intersection de Un\% ces plans moyens. Il est d'ailleurs facile de conclure, de la similitude des triangles ainsi formés, que ce centre se Irativn nitué, au-dessous de la base, à une distance égale au qimrt de la hauteur de la pyramide.

Ou peut din^ aussi que le centre de gravité est au milieu de lu ll|tne(|ui Joint deux arêtes opposées.

Moim UYOUK tacilemont admis que la pyramide était trian- ||MlMllt«,

S) p\\%^ t^ltiil polygonale, on vendait aisément qne le centre if^\ ^\\\»S »Mr lii ligue qui joint le sommet an centre de gra- \ilo du )Hik|\)s\Mii> de la bas^s et à une distance, au-dessus sh^ vvMv l^^H^t iif$\s> ^u quart iW la hauteur.

i V^*W* <^ . ir^Hif. - Leurti^ centres de gravité se concluent ^^\'^H^t^ vtv vvu\ du (>ri!snie cl iW la pyrunide, en cons^VvK^A^m VN\v H^iUK'ts vvtUttM^ A» pràmes on des pyramides

SYSTÈMES À POINTS TRÈS-RAPPROGHÊS. ft&S

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce genre de recherches. Les figures que nous venons d'examiner, et pour lesquelles on peut la plupart du temps déterminer la position du centre par des procédés géométriques fort simples qui dispensent des procédés plus compliqués de l'analyse, suffisent presque entièrement aux besoins pratiques. Quant aux autres corps, qui ne sont pas compris dans la précédente énumération, on pourra, lorsque les considérations géométriques n'y pourvoiront pas, employer les méthodes générales que nous avons exposées. Nous admettrons donc dès maintenant que le problème des centres de gravité est complètement résolu pour tous les corps réels que le rapprochement de leurs molécules permet d'assimiler à des corps pleins, et qui sont d'ailleurs susceptibles par la nature de leurs formes d'être exprimés par des formules analytiques.

Avant de quitter ce sujet, nous démontrerons un théorème important, dit théorème de Guldin, du nom de son inventeur, et qui fournit un moyen précieux pour mesurer les surfaces ou les volumes de révolution par la connaissance des centres de gravité des lignes ou des aires planes qui les engendrent.

THÉORÈME DE GULDIN.

189. — L'aire de la surface engendrée par une courbe plane tournant autour d'une droite quelconque située dans son plan est égale à la longueur de la courbe génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Le volume engendré par une surface plane tonrngnt autour d'une droite quelconque située dans son plan est égal à l'aire de la surface génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Rapportons la courbe génératrice à deux axes de coor-

éuuum^ rctcxâuijniuuit?K. uuui luiu otûm desx^ par exemple, lauiiiciLh ;i\eL in aruiLi uuuiui de liiqutyit* la rêvolutioo s ef-

iiSCtIK:.

Uii }*eiii cuiâi^t'Viiii ^iiL- tai fioriiiae isàiÇfmàrte soit dëconi' IMiMH t!L iiut iiitulilt' ik 2uiit> Ji^iûiDtiut petites, aa moyen ée |iiaiiit> }fe^}•eudu:uiaire^ ;i Iiikt- ik^ x. Lk «arCaice élémeotaiirt l' mit quehuiiiqiK ùt c^es ziiues ajim pôor mesui*e la ciiruukît'fiiK^e gui lui !»en de iiatic muJii}Alit^ par 1 elêmeut À' hi eiiuriM. ('<*si-ii-din' trn/Al*. La suHacc totale sobûendni diiuc eL ]ir(*uaiii I iuie^^raik'

/ I-^ f.v ou -- J .%ii/^,

4«U'iidiie ;iu\ ijuiilir> de ia iuiniiK' ^rtTfiei:;ili*ioe.

Maif^ eu ^t^itit do thetHYHiK de» noneat^, si l'on repre- M3UU- fiai L la idicfrtte&i ée la coui^, el par y, la distauce et um <xfliii^ de smvkht a lue des x^ ob awa :

Ulmk Isi MirfiK^ eu qiMSiioD sera <*^le a ?zy,.L, ce qui est prt^iseiDeiil la fi*rmiile ani»aiic(*<'.

Onaot aa T<i)iise eageodiv par nae aire plane, ou |>eul Iw appliqvcT un râîsoBi»enK*Dt analogue. En effet, supposous d'abord qne Taire geaératrîce soit comprise entre uuc ciMvbe H la droite aotow de laqneile la roution s effectue. Le vi^lome pent être décomposé en one infinité de petits cylindres, aa moyen de plans pefpendktilaires à lue des je. CluKruu de ces cy lîndres élémentaires aara pour mesnre le cerch^qni lui sert de Uase multiplié par la hauteur, c'est-àdire TTjr.iLr. Le volume total >oiMiendra doue en pivuaiit llntégrale

étendue aux limites de l'nire, que nous supposerons terminée par deux coordonnées.

Mais, en vertu du théorème des moments, si A désîp^ne Taire génératrice et y, Tordonnée de son cenire de gravité, on a :

ydx X !,y=^\y^

Donc le volume en question peut être mis sous la forme annoncée 27:1/1.. \.

Si Taire génératrice est absolument quelconque, c'est-àdire comprise, par exemple, entre deux parties de courbe el deux ordonnées, une démonstration semblable s'appliquera encore. Car décomposons-la en une infinité de rectangles élémentaires par deux systèmes de lignes parallèles aux X et aux y. Chacun de ces rectangles aura pour expression dxdy. et en tournant il décrit un anneau infiniment petit, dont le rayon est y, qui est, par conséquent, égal à 'Hr.ydxdy. Le volume lotal sera donné par Tintf^grale double

M ^Tzy.dxdy,

étendue aux limites, dans les deux sens, de Taire génératrice. Mais, d'après les moments, on a :

f fydxdy = Sy, ,

donc le volume considéré est représenté par27ry,.A.

Si la révolution de la courbe ou de Taire n'est pas complète, on pourra toujours avoir la surface ou le volume correspondant à la fraction de tour effectuée, en multipliant la courbe ou Taire génératrice par la fraction de circonférence décrite par le cenire de gravité.

l^*" Conséqvence. — Dans la rotation infiniment petite

Ué AHHWil, — IBÉOSfeHES GiOtflBiQrBS.

#«Be ifMr <« d'âne ftvfMe sMâmr de soa axe instanuné, raire o« le Tolaoke ÎLinineat pefit ençnidré se mesure par b ligBe CM b MiKace e« iioaTeaeat maitipUëe [>ar Tare ■Jaiii «t petit décrit par le ccaire de gravité.

^ CùmsêqMenétt. — Lorsque, réciproquement , on connaît à friori la surlace on le Tolnme de réTolution engendré par b ligne ou par l'aire, ainsi que b longuenr de cette ligne ou de cette aire, on en peut conclure la distance du centre de graTîté a la droite autour de laquelle b rotation s'effectue.

Bcdierelie des ■i> Mi cate d^lsertle et dies axes priaelpavs.

190. — Les considérations déTeloppées aux n*"' 184 et suivants, pour la recherche générale des centres de gravité, doivent trouver ici leur application. Seulement les fo^ mules qu*on en déduira seront moins simples, puisque, au lieu d*avoir à opérer sur le produit de la masse de chaque point par sa distance à un pian, il s'agira du produit de la masse par le carré de la distance à une droite, de telle sorte que les intégrales porteront sur r^dm.

Occupons-nous donc des formules relatives aux moments dlnerlie.

Corps solides. — Proposous>nous de trouver les moments d'inertie par rapport à trois axes rectangulaires. Celte recherche suffira évidemment pour chaque corps donné, puisque la connaissance de ces trois moments permet de déduire celle d'un moment quelconque pour une droite passant par le même point, et de là pour toute droite parallèle située comme on voudra dans l'espace.

Prenons les trois axes d'inertie en question pour axes de coordonnées. Décomposons comme précédemment le volume du corps en une inflnité de petits parallélipipèdes rectan-

SYSTÈMES A POINTS TRÈS-RAPPR0GHÊ8. ^47

gles, au moyen de plans parallèles aux plans coordonnés. Soit p la densiié variable, en un point quelconque. La masse d'ufi de ces parallélipipèdes élémentaires ainsi formés sera égale à fdxdydz. Le carré de sa dislance à Tun des trois axes, celui des Xj par exemple, sera égal à y*+^^ : par suite, son moment d'inertie, par rapport au même axe, sera piy^-{-z^)dxdydz. L'intégrale de cette quantité, étendue au corps tout entier, c'est-à-dire dans les trois sens, représentera la somme, à la limite, des moments d'inertie de toutes les particules matéiielles infiniment petites entre lesquelles on peut concevoir le corps décomposé. Si l'on appelle A le moment d'inertie du corps, par rapport à l'axe des a?, on aura donc :

A = n^r^T'o {y^ + z^) dxdydz.

On obtiendrait de même, pour les deux autres moments BetC:

B = / ""'r^r^p {x^ + z^) dx dy dz ,

C = / \'\p {x^ + y^) dx dy dz .

JxoJyQjzQ

Lorsque le corps est homogène, les formules précédentes peuvent se simplifier. En effet, p sort de sous les signes d'intégration, et, si nous considérons , par exemple, la valeur de A, nous voyons que x n'y figure que par sa différentielle. On peut commencer par intégrer par rapport à cette coordonnée; car l'ordre des trois intégrations successives es( tout à fait arbitraire. Mais si on intègre par rapport à x^ en regardant y ti z comme constantes, l'intégrale indéfinie

' dx sera représentée par x^—^x^^ quantité dans laquelle, bien entendu, x^ et x^ sont des fonctions de y et de z^ four-

UkS APPENDICE. — THÉORÈMES GÉOMÉTRIQUES,

nies par IVqualion de la surface sous laquelle est compris le corps, et qui inteniendront couséquemoient pour les intégrations uUcriouros prises par rapport à y et à r. La valeur de A, et-pareillement celles de 6 et de C peuvent ainsi se mettre sous la forme :

A = f rT\^i - ^o) iy' 4- ^') rfy dz ,

C = p P' r\z, — z,) (.r* 4- if) dx dy .

Il n\ a pas lieu, comme pour le contre de gravité, d'élandre aux surfaces cl aux ligues la recherche que nous venons d'exposer pour les solides : car, les massses des surfaces et

des lignes étant infiniment petites, l'intégrale / r^dm est

elle-même infmiment petite, et, par suite, le moment d'inerlie n'a plus aucun sens. Au contraire, pour les centres de gravité la position du point cherché ne dépend pas de Tinté-

grale j xdm, mais du rapport de cette intégrale à la masse

totale / dm, rapport qui n'est pas infiniment petit, et qui,

conséquemmeni, assigne des coordonnées géométriques au centre de gravité

Les moments d'inertie une fois trouvés pour trois axes rectangulaires menés par un point quelconque, on déterminera sans difficulté, d'après les théorèmes démontrés dans la première partie de cet appendice, la position des axes principaux relatifs à ce point, ainsi que la valeur des moments principaux. De là on passera, au moyen des mêmes théorèmes, à la connaissance des momenls et des axes principaux relatifs à tout autre point du solide, et spécialement à

SYSTÈMES A POINTS THÈS-RAPPROOHÊS.

Uh9

la connaissance de ces quantités prises pour le centre de gravité lui-même.

Appliquons la méthode générale ci-dessus à quelques solides particuliers.

191. — Moments dMaertle d an p«r«llélipipè4e par rapport à sea trola arétca contigaèa. Soit ABC un

parallétipipède rectangle * pour lequel nous nous proposons de trouver les trois moments d'inertie correspondant aux arêtes OA, OB, OC. Prenons ces arêtes pour axes rectangulaires de coordonnées, et divisons le . parallélipipède en une infinité d'éléments, au moyen de trois séries de plans respectivement parallèles aux F'8. w. faces OAB, OAC, OBG.

Soit M un de ces éléments dont la masse sera exprimée par ùdxdydz.

Si nous voulons avoir le moment d'inertie du solide par rapport à Taxe OA, il faut former le moment du point matériel M, et intégrer suivant les trois dimensions. Or le moment de M est égal à ç(^y^-\-2^)dxdydz. Cherchons donc l'intégrale triple

pfff{y^-{-z^)dxdydz.

laquelle, comme on sait, se ramène immédiatement à l'intégrale double

paJJ(y^ + z')dydz,

en intéd^nt d*abord par rapport à Xy depuis x = o jusqu'à ^=0 A=a. Nous intégrerons ensuite successivement : i'^par rapport à y, depuis y = o jusqu'à y = 0B = 4; 2" par rapport à tj depuis z=o jusqu'à z=OC^c. Ces opérations n'offrent aucune difficulté, et Ton obtient pour le moment dnrché :

ilemarquons que pabc représente la masse totale M du parallélipipède : désignons respectivement par A, B, C, les moments relatif^ à OA, OB, OC; les valeurs de ces trois moments seront les suivantes :

On vérifie aisément : i° que , de ces trois moments, le plus grand etii celui qui est pris par rapport à la plus petite arête, et vice versa; T que le plus grand des trois est en même temps le maximum de tous ceux qui pourraient être formés pour les diverses droites menées par le point O, et que le plus petit des trois est un minimum. D'où il suit que

ces trois moments A, B, C sont les trois moments ^ principaux du point O; et

les trois arêtes OA, OB, 7^r-4r OC, les trois axes principaux relatifs à ce point.

Moment d'inertie d'un ellipsoïde par rapport à ses axes ge'ometriques ^'8* •^^ principaux. — Soit a,

bj e, les longueurs des demi-axes de figure de rellipsoïde.

En les prenaut pour axes de coordonnées, l'équation de la surface «era celle-ci :

Donc, dans Tintégrale triple générale,

pjjj (y*+ ^*) dx dy dz,

il faudra intégrer d'abord par rapport à j^, entre les valeurs extrêmes — a et + a, et remplacer x^ et x^ par leurs expressions, fonction de y et de z^ fournies par l'éqfuation de la surface. On obtient pour le résultat de cette première intégration :

2ap jj(y*-f-z*)^l -|^ - Ç, dy dz,

ou bien, en séparant les deux parties correspondant au facteur (y* -f-^r'-) :

(2) 2apffz'dz]Ji |1 ^ ^ rfy -H

^apfJy'dy^^/i^Ç - ^ dz.

Pour effectuer l'intégration de la première partie, on emploie un des artifices connus de l'analyse : on représente la

quantité b^ -j- par le carré d'une inconnue auxiliaire r,

et alors l'intégrale de cette première partie peut être écrite ;

les quantités — r et + r étant les limites extrêmes de la va-

kS7 AFPEKUCE. — THÉOBtaiES GÉOMÉTRIQUES. ^

leor dr y. Ces deuiL limites résalleoi, en effet, de FiDspectioR

4e r«|«ation —. -H fr= 1 , laKfiielle est rehitiTe à la section de

l^dlipsoide par le plan des yr.

Mais Ion sait que j VV— f'rff, dans laquelle y est

mde regardée oomme raiiable, représente la moitié de Taire £mn cercle d^n ra^on égal à r, dont la valeor est

Llntégrale précédente se réduit à

La valeur de la première partie de Texpressiou (2) est donc

égale à ——-j — - La valeur de la seconde partie s*en de-

duit immédiatement, en remarquant que, pour passer de Tune à Tantre, il suffit de remplacer z par y et e par b. Cette

seconde valeur est \ — .

Finalement, le moment d'inertie par rapport à Taxe OA

Désii;nons respectivement par A, B, C les trois moments par rapport à OA, OB, OC, et remarquons que la masse to-

taie M de l'ellipsoïde est exprimée par tt Tipaifre. Les valeui*s

des moments seront les suivantes :

Comme conséquence, on voit <iiie le moment d'inertie d'une sphère homogène, par rapport à Tun quelconque de ses diamètres, est représenté par

en appelant r le rayon de la sphère.

D'après cela, le moment d'une couche sphérique comprise entre les deux surfaces de rayons R et r, aura pour valeur :

-r-^ (R^ — r*) , si la couche est homogène ;

-«- I pr*ar, si la couche est hétérogène dans le sens du *^^ rayon, tout en étant homogène sur une

même surface.

Remarque, — On aurait pu trouver directement le moment d'inertie d'une sphère, sans passer par celui de Tellipsolde, en décomposant son volume eu une infinité de couches concentriques infiniment minces. C'est la même méthode qui fournit le moment d'inertie d'une couche finie, dont nous venons précisément de donner la valeur quelques lignes plus haut.

192. — Moment dHnertie des solides de révolution par rapport à leur a^e. On peut obtenir très-aisément et par une seule intégration le moment d'inertie d'un solide de révolution par rapport à son axe, et conséquemment aussi par rapport à toute droite parallèle à cet axe. C'est un des cas qui se présentent le plus souvent dans la mécanique ap*pliquée.

Commençons par chercher le moment d'inertie d'un cylindre à base circulaire AB, et dont l'axe, perpendiculaire en au plan de la figure, a une hauteur quelconque h. On

JkX

et Tolsnies aDoninllniiiient «a ^ b w i Cat€ intérieure de cet auieaa. Son vo- Lone sera égal à iizxdx.h, ^ maà&e à iKùk.xdx. et Mil Bonent dlnertie , par rapfkort à Taxe 0, à

Pour avoir le moment d'i- ■ertie total, il faudra prendre 1 Intégrale

2iipA I jc^dx^

^ *•- entre les limites a? = o et

mmm-^r , r étant le rayes OA de la base. Ce momait sera donc égal à

^TTpAr*.

Artuallanent considérons un solide de révolution quelaanqui^i engendré par la courbe EF tournant autour d'un