DE GRAVITÉ

117. Théorème I. — Le centre de grav^ité d'une ligne droite est évidemment au milieu de cette droite^ ety en général, lorsqii une figure homogène a un centre de sjmétiiey ce centre de symétne est le centre de gra^ i^ité de lajigure.

Pour s'en convaincre, il suffit de prendre le centre de figure pour origine, et il est facile de voir que les quantités ^mXy Xmy^ ^mz^ dont il a été question dans le paragraphe précédent, sont nulles; car à un point dont les coordonnées sont .r, y^ z correspond un autre point dont les coordonnées sont — .r, — j^, — z\ par suite, le centre de gravité a ses coordonnées égales à zéro, et coïncide avec le centre de figure.

ia8 TKAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Cette remarque fournît immédiatement le centre de gravité de la circonférence, des polygones réguliers, etc.

Théorème H. — Lorsqu* une Jlgure a un plan dia^ métrai, le centre de grai^ité de cette figure, supposée homogène y se troui^e dans le plan diamétral en question.

En effet, si l'on désigne toujours par m un élément de la figure et par x^j^ z les coordonnées de cet élément, les coordonnées du centre de gravité seront

limx ^niy I.mz

ç = -f; j ri — -^1 » 1^=:-=

2i/7i Zm Zrn

Or, dans l'intégrale 2 wx, par exemple, on peut grouper les éléments deux à deux, de telle sorte que la

somme m[x + x^) ou a w ^ -^ soit le double pro-

duit d'un élément de volume par Tabscisse d'un point du plan diamétral, eu sorte que si l'on prend ce plan diamétral pour plan desyz^ on aura

2tmx

par suite, le centre de gravité se trouve bien dans le plan diamétral.

Nous aurions pu démontrer ce théorème à l'aide des principes de la statique, en le généralisant même un peu, et en faisant observer que, si les atomes d'un corps sont distribués régulièrement, de telle sorte qu'à un atome de masse m corresponde un autre atome de même masse diamétralement opposé, la résultante des poids de ces atomes aura son centre dans le plan diamétral; par suite, la résultante de tous les poids des atomes aura aussi son centre dans le même plan. Or ce centre est ce que nous avons appelé le centre de gra\fité du corps; le théorème est donc démontré.