DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE IV

H 8. Théorème III. — Lorsquun corps a un diamètre y le centre de grav^ilé de ce cot*ps se trouve sur le diamètre.

En effet, un diamètre est rinlersection de deux plans diamétraux dans lesquels le centre de gravité doit se trouver à la fois.

Théorème IV. — Le centre de gravité d'une figure plane se trouve dans le plan de cette figure, <

Car le plan de la figure est un plan de symétrie.

IV. — Centre de gravité de certaines figures que l'on peut ortenir sans le secours du calcul intégral.

119. Centre de gravité d^un triangle et de son pé* rimètre, — Chacune des médianes du triangle est un •diamètre \ donc : i° le centre de gravité se trouve à l'intersection de ces médianes; 2^ ces médianes se rencontrent au même point, puisque le centre de gravité est un point unique.

Le centre de gravité d'un triangle coïncide avec le centre de gravité de ses trois sommets assimilés à trois points matériels de masses égales, car les trois médianes sont des diamètres par rapport aux trois sommets. Soient A, 6, C les sommets; la résultante des poids de B et de C est un poids double appliqué au milieu M de BC; en composant ce poids avec le poids placé en A, on trouve un poids triple appliqué sur la médiane AM et aux deux tiers de cette médiane comptés k partir ■du sommet A. Donc, les médianes d^un triangle se coU" pent aux j de leurs longueurs comptées à partir des sommets.

Considérons maintenant le périmètre du triangle, son

l3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONKELLE.

centre de gravité est le même que celui de trois poids placés au milieu des côtés en M, N, P [fig. 3i) , et proportionnels

Fig. 3i.

à ces côlés, ou, si Ton veut, proportionnels aux côtés du triangle MNP; or, si l'on commence par composer les poids N et P, leur résultante passera en un point H tel^

UN MN Que —7- = — ;r : donc HM est la bissectrice de ranglePMN. ^ HP MP ^

Or le centre de gravité cherché se trouve sur MH, car il est le point d'application de la résultante des forces placées en H et M. Ainsi, le centre de gravité doit se trouver sur les bissectrices des angles du triangle MNP*, on peut donc énoncer le théorème suivant :

Le centre de granité du périmètre dUui triangle est le^ centre du cercle inscrit dans le triangle qui a pour som^ mets les milieux des côtés du triangle proposé,

120. Centre de grav^ité du quadrilatère, — Lorsque l'on veut trouver le centre de gravité d'un polygone quelconque, on le décompose en triangles, et l'on n'a plus qu'à chercher le centre de gravité de poids proportionnels aux surfaces de ces triangles et appliqués à leurs centres de gravité respectifs. Cette construction se simplifie un peu dans le cas du quadrilatère; en effet, con-