VI. — Centre de gravité de quelques aires planes

125. Centre de grauité d^un segment et d'un secteur circulaires, — Soit a le rayon du secteur 5 on peut décomposer le secteur en une infinité de petits triangles au moyen de rayons suffisamment rapprochés; les centres de gravité de ces triangles se trouveront sur une circonférence concentrique à celle du secteur et de rayon égal à ~a. On peut supposer ces triangles égaux, et alors on voit que les poids appliqués aux éléments égaux du secteur pourront être remplacés par des poids égaux appliqués à des éléments égaux de Parc de cercle décrit du centre du secteur comme centre, avec un rayon égal à | a et limité aux côtés du secteur, le centre de gravité du secteur sera donc le centre de gravité de l'arc en question.

Lorsque Ton connaît le centre de gravité d'un secteur, il est facile d'en déduire le centre de gravité du segment correspondant, en observant que ce centre de gravité est le point d'application de la résultante de deux forces \ l'une est le poids du secteur appliqué à son centre de gravité; l'autre, prise en sens contraire, est le poids du

t36 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIOITIfELLE .

triangle, qui, ajouté au segment, complète le secteur ; cette force est appliquée au centre de gravité du triangle en question.

126. Centre de gravité de la cycloïde. — Nous allons chercher le centre de gravité de la surface comprise entre un arc de cycloïde limité à deux points de rebroussement consécutifs et la corde qui joint ces deux points. Prenons cette corde pour axe des x et la perpendiculaire élevée en son milieu pour axe desj"; soit ri l'ordonnée du centre de gravité cherché, qui, évidemment, se trouve sur l'axe des r> on aura '

SJdxdy Jydjc

Or on a, en désignant par a le rayon du cercle générateur et par cp un angle convenablement choisi,

J=:fl(l — cosç),

.-r = « (tt — vp -h sin y) ,

d'où l'on conclut

en remplaçante^ et dx par leurs valeurs, la formule (i) donne

- I û*(l — COSy)^^f

OU bien

' fl2(l — cosy)*rfç o

' (i— 3cos<p-f- Scos^^f — cos^(ï>)rf(p

X37r ( I — *ï. cos(ï) -I- cos^ (p) dtsf