DEUXIÈME PARTIE. CHÀPITBB IV. l^Q

mené par le sommet, xdjr.y désignera le moment d'une tranche infiniment mince du cône comprise entre deux plans parallèles à la base. En égalant le moment du cône tout entier à la somme des moments de ses tranches, on a

Bh r^ .

or, on a

En portant cette valeur de x dans la précédente formule, on a

Bh r

^Bj'dy

^ o OU

Ainsi, le centre de granité d^un cône est aux ^ de la ligne qui joint le sommet au centre de granité de la base, cette longueur étant comptée à partir du sommet,

129. Centre de granité d^un cylindre tronqué, — Supposons le cylindre droit et reposant par sa base sur le plan des j^; soient

l'équation de la base; ^, yj, ^ les coordonnées du centre de gravité;

X COSa -f- x COS p -h z COS7 = p

Téquation du plan de troncature : a^ ^^ y désignant lès angles que la normale au plan fait avec les axes. On aura

, , ^ fffxdxdrdz

^ ' * JJJdxdydz

l4o TRAITÉ DE MÉGÀ^riQUE KATIO^Tl^fELLE.

Commençons par évaluer Tintégrale qui figure en dénominateur et qui représente le volume du cylindre tronqué ; cette intégrale est égale à

ffzdxdy,

zdxdj représente le moment de l'élément dxdy de la base pris par rapport au plan de troncature, du moins à un facteur près, qui est la sécante de l'angle que le plan de base fait avec le plan de troncature-, si alors on désigne par B la base du cylindre, par h la parallèle aux arêtes qui passe par le centre de gravité de la base, on aura

ffzdzdyz=zBh'^

d'où Ton peut conclure que :

Le volume d'un cylindre tronqué est égal à sa section droite multipliée par la droite parallèle aux génératrices qui passe par les centres de gravité des sections droites.

Si l'on observe que la projection du centre de gravité d'une aire plane est le centre de gravité de la projection de cette aire (facile à démontrer), on pourra dire que :

Le volume d'un cylindre tronqué est égal au produit de la section droite par la ligne droite qui joint les centres de gratuité de ses plans de troncature.

Revenons aux formules (i), nous pouvons les mettre sous la forme

(2) '&hl=:fffxdxdxdz,

(3) ^hr^=jfjydxdydz,

(4) BhK=:fffzdxdjrdz.

En effectuant l'intégration par rapport à z^ dans la pre>

DEUXIÈME PÀHTIE. — CHAPITRE IV. l^l

inière de ces formules, on a

sî Ton place alors l'orîgîne au centre de gravité de la base, le facteur de p sera nul et l'on aura

B//Ç = — I I Jî* axar — I I .vr axar,

J J cosy J J COS7

Nous verrons plus loin que Ton peut toujours diriger les axes de telle sorte que Ton ait (n® 139)

ffxjrd.xffx = o;

dans ce cas, ffx^dxdj^ Sfj^^^^J sont ce que Ton appelle les moments dHnertie principaux de la base B par rapport aux axes des y et des x\ si l'on désigne ces quantités par i et a, on aura

T*»v , cosa ^, cosS

COS7 ces 7

Téquation (4) donne

bj.^ I r rp^-hx^cos'^a, + j'cos'P — 2/7^ cosa — 2/?jrcosp -1- 2a:/cosacosp

""a J J cos'7 ^*

ou, en ôlant les termes nuls, 1 J J cos*7

OU) enfin,

« , ^ ï P^B ^ cos^a -t- a cos^ô

2 cos''7 cos^7

Vni. — Théorèmes de Guldin.

130, Théorème I. — Vaire engendrée par une ligne plane qui tourne autour d ^un axe situé dans son plan

est égale à la longueur de cette ligne multipliée par la circonférence que décrit son centime de gras^ité.

En effet, si l'on prend l'axe de révolution pour Taxe des a:, l'expression de la surface engendrée par la courbe sera

ds désignant un élément de l'arc de courbe et y la distance de cet élément à l'axe de révolution ; mais si y? désigne l'ordonnée du centre de gravité de la conrbe, on a

JiT^yds ■=. l'a J yds •=. stttîj;

2 7ry) est bien la circonférence décrite par le centre de gravité : le théorème est donc démontré.

131. Théorème II. — Le volume engendré par une aire plane qui tourne autour d'un axe situé dans son plan est égal à la surface de cette aire multipliée par la circonférence que décrit son centre de gj^auité.

En effet, prenant l'axe de rotation pour axe des x et une perpendiculaire à cet axe menée dans le plan de l'aire plane pour axe des j^ l'expression du volume engendré

est

ffr.[{x-\-dxy — y^]dx,

ou bien

'^'^ffydxdy.

Cette expression est égale à aTryjA, A désignant la surface de l'aire génératrice, et y; l'ordonnée de son centre de gravité. En effet ffjdxdy est la somme des moments