DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE IV. l^i

pîr rapport à l'axe des a:, des poîd^des éléments flxdy de la surface et A y? est le moment total de la, surface. Le volume engendré STiyjA est bien le produit de la circonférence 27177 que décrit le centre de gravité de l'aire par la surface A de cette aire.

Ces deux théorèmes portent le nom de théorèmes de Guldin. On peut généraliser le second comme il suit :

Si, au lieu de faire tourner Taire A de manière à lui faire engendrer un solide de révolution complet, on la fait seulement tourner d'un angle d9^ il est clair que le volume engendré sera au volume de révolution total 27ry; A comme dO est à 2 7r, en sorte que ce volume aura pour expression yjArfô, ou bien, en désignant par ds Tare ndO décrit par le centre de gravité, Ads.

Ceci posé, considérons le solide engendré par une surface plane A qui reste toujours normale aux trajectoires que décrivent ses points. Si Ton considère la portion du volume engendré compris entre deux positions infiniment voisines de la surface A, cette portion de volume pourra être engendrée par la rotation du plan de la surface A autour de sa caractéristique. En désignant alors par ds l'arc décrit par le centre de grafvité de la surface A, le petit volume en question aura pour expression Ads^ et le volume total engendré dans un mouvement fini sera fAds ou As» Donc :

132. Théorème III. — Le volume engendré par une surface plane qui reste normale aux trajectoires de ses divers points est égal à la surface génératrice multipliée par la ligne que décrit son centre de gravité.

l44 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RÀTIOBKELLE .