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l46 TRAITÉ DE IféCANIQUE RATIONNELLE.
Prenons Taxe donné pour axe des z, soit m la* niasse (*)^ j:, jr^ z les coordonnées d'un point quelconque du corps ^ le moment d'inertie donné est
Le moment d'inertie pris par rapport k un axe parallèle à Taxe des r, et dont les coordonnées sont/? et q^ sera
c'est-à-dîre
2/w(x*-4-/') 4- 2/w(/?'H- q^) — 7.1éWpx — 7.^mqy,
ou bien, en désignant par M la masse totale du corps et par a^ i, c les coordonnées de son centre de gravité-,
(En effet, les coordonnées û, i, c du centre de gravité sont données par les formules
Ma = J,mx.
M6 = ^my^ Me = I,mz,
qu'on a établies plus haut (n° 112) 5 ces formules interviendront plusieurs fois dans ce Chapitre, il est essentiel de les avoir constamment présentes à l'esprit.)
Ainsi le momen t d'inertie pris par rapport au nouvel axe est égal au moment d'inertie pris par rapport à l'ancien, augmenté du moment d'inertie de la masse totale con-
(*) Bien que cette démonstration et les suivantes soient faites en adoptant une notation qui semble basée sur Thypothèse moléculaire, on se conyaincra aisément, en y regardant de près, que ces démonstrations s'appliquent aux corps géométriques. En elTet, rien n^empèche de considérer la somme 2m(^*H- «') comme une^y, pourvu que Ton y substitue mentalement pdu k m.
DEI^XIÈME PARTIE. CHÂPlTaS ▼. Ï^J
centrée sur le nouvel axe, et diminué d'une quantité qui s^annule quand rancien axe passe par le centre de gravité du corps.
Faisons passer Tancien axe par le centre de gravité, le nouveau moment dMnertiesera
Im(x^-^X^) -{-M(/?*-t-<7*).
135. Donc : i® Le moment d'inertie d'Iran corps pris par rapport à une série d^axes parallèles est minimum lorsque Vaxe passe par le centre de gravité ;
a® Les moments dHnertie d^un corps pris par rapport à des axes également distants d'un axe passait t par le centre de gravité sont égaux,
136. Le moment d'inertie d'un corps pris par rapport à un axe divisé par la masse totale du corps est ce qu'on appelle le carré du rayon de gyration du corps par rapport à l'axe. En sorte que si nous prenons
:Lni{[x -^ pY^ [y - py]=.m-'\
h et V seront les rayons de gyration du corps par rapport à l'ancien et au nouvel axe. Mous aurons ainsi
X^' ^k^-^à'-^-iap — 2 bq.
Si l'axe des z passe par le centre de gravité, on aura seulement
ce qui permet de construire A' quand on connaît h et J. Si l'on désigne par A'' le rayon de gyration, pris par rap-
lO.
l48 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.
port à un nouvel axe situé à la distance d^ de Taxe qui passe par le centre de gravité, on aura
d^où l'on conclura
ce qui permettra de construire k" quand on connaîtra
137. Problème II. — Étant donnés trots axes rectangulaires Ox, Oy, Ozy calculer le moment d^ inertie d'un corps pris par rapport à un axe 01 passant par le point de concours des trois premiers , et faisant ai^ec eux des angles respectii^ement égaux à a, (3, y.
Soient m la masse \ x^y^z les coordonnées d'un point quelconque M, la distance r de ce point à l'axe 01 est égale à OM siu (OM,OI)i on a donc
r»= {jc^^y^^ z') [i — cos»(0M,OI)],
ou
r»= {.r»-f- j2^ ^2) (j:î f^i+ z*)cos*(OM,OI),
ou bien
r^= (x^-h/^H- z^) — (oreosa H- jcosp H- ZCOS7)';
si l'on observe alors que cos*a -f- cos'/3 -h cos*y est égal à l'unité, on aura
— [xcQsoL H- jcosp H- ZCOS7)', ou
/•*= (j'-+- 2^) cos*a H- (s2+ ^»)cos*p -f- (jr»-f- j')cos*7 — 2^3cospcos7 — 2za:coS7COSa — aar/cosacosp.
