III. — Ellipsoïde central
138. Théorème. — Considérons une série de rayons vecteurs issus d\in point jixe de t espace, et sur chacun de ces rayons vecteurs portons des longueurs proportionn elles à Viny^erse de la racine carrée du moment d^ inertie d'un corps donnée relatif à ce rayon vecteur y le lieu des extrémités des rayons vecteurs ainsi menés sera un ellipsoïde.
l5o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.
En effet, si par le point fixe nous menon» trois axes rectangulaires Ox, Ojr^ O2, le moment d'inertie i du corps par rapport à un axe 01 faisant avec Ox, Qy, Oz les angles a, j3, y sera donné par la formule du n° 137
{ i =zA cos^ a -f- B cos^ p -H C cos'y (i) \
{ — 2Dcosp COS7 — 2Ecosacos7 — 2Fcosacos p.
A, B, C, D, E, F désignant des constantes déGnies au paragraphe précédent, les coordonnées de Textrémité du rayon vecteur compté sur 01 seront
X=— =cosa, Yr= —=: cosS, Z=— =0057;
k désignant une constante, on en déduit
COSa = --X0', COSSrrr-rYv'/, COS7 = 7Zv/77 A* 'A- A'
en portant ces valeurs dans (i), on a
(2) / = AX» H- BY» + CZ= — 2DYZ — 2EXZ — 2FXY.
Celte équation représente bien un ellipsoïde, ainsi que nous l'avions annoncé. En effet, la surface du second degré quelle représente est évidemment limitée de toutes parts. On peut du reste s'en assurer directement. La surface (2) est rapportée à son centre, et Ton peut choisir les axes de teHe sorte que D, E, F soient nuls, on a alors simplement
>t — AX^-+-BY*-4-CZ^
Or les quantités A, B, C sont essentiellement positives, puisqu'elles représentent les moments d'inertie du corps par rapport aux axes; donc la surface cherchée est bien un ellipsoïde.
Cet ellipsoïde, dans lequel on peut supposer A-= i, a
DEUXIÈME PA.RT1E. — CHAPITRE Y. l5l
élé appelé^ par Poînsot ellipsoïde central; on Tappelle aussi quelquefois ellipsoïde d'inertie,
139. Lorsque le corps se réduit à une surface plane, la section de cet ellipsoïde par lé plan de la surface porte le nom à* ellipse d'inertie.
D'après ce que nous venons de voir, il existe iroîs directions autour d'un *même point pour lesquelles les sommes ^mjz^ ^nixz^ ^mocy sont nulles*, ces trois directions, qui sont celles des axes de l'ellipsoïde central, portent le nom de directions principales ou à^axes principaux d'inertie.
Il résulte de ce qui précède que le moment d'inertie d'un corps par rapport à une série d'axes passant par un point fixe e^ en général susceptible d'un maximum et d*un minimum.
