DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE Y. l

143. Problème IV. — Trouy^er les points de Vespace pour lesquels V ellipsoïde central est de rév^olutioni en d^aufres termes, pour lesquels deux moments principaux sont égaux.

Prenons pour axes coordonnés les axes d'inertie principaux relatifs au centre de gravité; soient $, n, ^ les coordonnées de l'un des points cherchés : transportons l'origine au point (^, tj, Ç) en laissant les directions des axes, parallèles aux directions principales relatives au centre de gravité, l'équation de l'ellipsoïde d'inertie relatif au point (^, >}, ^) sera

(2) i = X'Im{jr\ -f-zj)-f-... — 2YZ2/w^,«,— ...,

^\9 Jx'i ^i désignant les coordonnées du point m prises par rapport aux nouveaux axes; or, en désignant par or, j^, z les coordonnées du point m par rapport aux anciens axes, on a

et, par suite,

Si l'on observe alors que Swj:, ^mj sont nuls, et si l'on désigne par M la masse totale du corps, on a

(3) 2/w(j;-4-z;) = AH-M(V-+-2;^)...,

A, B, C désignant les moments d'inertie principaux relatifs au centre de gravité. On a de même

2m7,z,= lm(x — ri) (z — Ç),

l54 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

c'est-à-dîre

(4) 2wj,z, = M>ïÇ,.. .

Si Ton a égard aux relations (3) et (4)9 Téquation (3) pourra s'écrire

I = X' [A -f- M (>]' + Ç»)] -f- 2YZM>3Ç —

Si Ton exprime alors que cet ellipsoïde est de révolution, on trouve

A -f- M (ï3'+ ^^) — 2MÇ»= B ^- M(Ç»-l- ?2) ^ 2M>î»

Telles sont les équations du lieu des points qui jouissent de la propriété cherchée 5 on peut les écrire comme il suit, en désignant par /, y, k les rayons de gy ration relatifs aux axes de coordonnées :

ou bien

Le lieu des points cherchés est donc l'intersection de deux cylindres hyperboliques : ces cylindres se rencontrent, car les équations précédentes sont satisfaites lorsque l'on pose

l = ±/f, n=±J^ et ç = ±x|.

144. Problème V. — Tromper les points de V espace pour lesquels V ellipsoïde central se réduit à une sphère.

Pour trouver ces points, on aura encore recours à l'é-