DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE V. l

quation (a) et Ton posera et

c'est-à-dire en vertu de (3) et (4)

>î^=0, ÇÇ = 0, Ç>î=:0.

Les dernières formules montrent que les points cherchés se trouvent sur les axes principaux relatifs au centre de gravité ; car elles sont satisfaites en posant yj = o, ^ = o. Les premières donnent alors

ce qui exige quel'on ait B = C. L'ellipsoïde central relatif au centre de gravité doit être de révolution, et dans ce cas on a

ce qui montre que, suivant Taxe de révolution, Tel-, lipsoïde en question doit être allongé. Ainsi les points cherchés n'existeront que dans des cas très-particuliers, et quand ils existeront ils seront au nombre de deux. Ils se confondront en un seul si Ton a A = B = C.

V, — Moments d'iwertie de quelques surfaces planes.

La recherche des moments d'inertie des surfaces planes est très-importante, et se présente dans un grand nombre de questions de Mécanique appliquée, principalement dans la théorie de la résistance des matériaux. Nous allons passer en revue les cas qui se présentent le plus fréquemment.

l56 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RÀTION19ELLE.

145. Moment d* inertie (Tun rectangle pris par rapport à un axe parallèle à Vun de ses côtés. — Soient a et b les dimensions de ce rectangle. Prenons pour axes de coordonnées deux côtés contîgus^ nous supposerons le rectangle homogène et nous prendrons sa masse spécifique égale à l'unité. *

Le moment d'inertie de ce rectangle pris par rapport à l'axe des x (qui, pour fixer les idées, sera le côté a) est

Si Ton désire maintenant le moment d'inertie du même rectangle par rapport à un axe parallèle au côté a et situé à la distance J de ce côté, on observera que ce moment d'inertie est la différence des moments d'inertie de deux rectangles ayant pour base a et pour hauteurs J et i -I- J, en sorte que la quantité cherchée sera

146. Moment d^ inertie d'* un cercle par rapport à Vun de ses diamètres. — Le moment d'inertie d'un élément du cercle est le produit de cet élément par le carré de sa distance à l'axe; or si nous désignons par r la distance de cet élément au centre, et par 9 l'angle que le rayon vecteur r fait avec l'axe, l'élément de surface du cercle pourra être pris égal à rdOdr (c'est l'expression d'un élément de surface en coordonnées polaires); la distance de l'élément à Taxe est rsinO, en sorte que le moment d'inertie de l'élément est égal à r* sin^BdQdr] si donc on désigne par a le rayon du cercle, son moment d'inertie total sera

r^sïn^BdQd/.

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