VI. — Moments d'inertie de quelques solides

148. Moment dHnertie du parallélépipède rectangle par rapport à une de ses arêtes, — Prenons l'arête en question pour axe des z \ supposons le parallélépipède homogène et de densité égale à Puni té. Soient a, £, c les arêtes de ce solide; prenons-les respectivement pour axes

DEUXIÈME PAUTIE. CHAPITRE V. I Sp

des X, des j" et des z. Le moment d'ineriîe cherché sera

fff

c'est-à-dire

abc

Si Ton demandait le moment d'inertie de ce parallélépipède par rapport à un axe quelconque parallèle à son arête c, en appelant a et j3 les distances de Farètc c aux plans desyz et desxzy le moment cherché serait égal au moment d'un parallélépipède ayant pour arêtes a -ha, & + |3, c, diminué du moment de deux parallélépipèdes ayant pour arêtes a -|- a, j3, c et a, i + (3, c, et augmenté du moment d'un parallélépipède ayant pour arêtes a, |3, c, les moments de ces parallélépipèdes étant pris par rapport à leur arête c.

Le moment d'inertie d'un parallélépipède rectangle, dont les dimensions seraient 2 a, 2&, 2e, pris par rapport à un axe parallèle à l'arête c passant par le centre de gravité, serait

.a,b,2c, , - . 8abc , ^ ,,.

149. Moment d^ inertie d'un cylindre par rapport à son axe. — Soit R le rayon, h la hauteur de ce cylindre*, nous prendrons pour élément de volume un prisme dont les arêtes seront parallèles à l'axe et dont la base sera un trapèze curviligne, limité d'une part à deux circonférences de rayons r et r-\-dr ayant leurs centres sur l'axe etjeurs plans perpendiculaires à Taxe, et d'autre part à deux rayons vecteurs issus de l'axe et faisant entre eux l'angle d9] la hauteur de ce prisme sera dz^ en sorte

l6o TBAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

que son volume sera rdQdrdz^ et son moment d'inertie i^rdQdrdz ou r^dBdr\ le moment d'inertie total cherché sera donc

»« = A /»Ô = 2îr /»r=R

gss.0 J$'=o t/r=o

c'est-à-dire

Si l'on demandait le moment d'inertie d'une couche cylindrique de rayons R et R -4- e et de hauteur h par rapport à son axe, le moment serait

- (R -I- cYk — - R< /i = - // (e' + 46'»R -+- 6e^R^ H- i^RM.

150. Moment d^ inertie dhui ellipsoïde homogène pris par rapport à Vun de ses axes, — Soit

ir' r^ z* a' b^ c^

l'équation de cet ellipsoïde; supposons que l'on demande

le moment pris par rapport à l'axe des z : ce moment

sera

I zzzjffdxdydz (^' -+-7^)

ou bien

(0 I =fSS<i^dydz x^ -^JSJdxdydzf,

Occupons-nous d'abord de la première intégrale

J J Jdxdydz x^.

Si nous iuiégions par rapport à z entre les limites