DEUXIEME PARTIE. CHAPITRE V. l6l

qui correspondent à des valeurs constantes de a: et j^ et satisfaisant à l'équation de l'ellipsoïde, nous réduisons notre intégrale à

si maintenant nous laissons x constant et si nous intégrons par rapport à y, nous devrons faire varier y entre des limites fonctions de a:, que nous obtiendrons en faisant z = o dans l'équation de l'ellipsoïde 5 nous effectuerons ainsi la somme des moments d'une série de prismes compris entre deux plans parallèles au plan des zy situés à la distance dxVun de l'autre 5 les limites dey sont

or on a

dy y/H — y'^ r=r - 7rr%

ainsi que l'on peut s'en assurer eu observant que l'inié" grale précédente représente l'aire d'un demi-cercle de rayon r. Si dans cette formule on fait

on a

l'intégrale (2) devient alors

(3) TTÔC jdxx'll — ^]'^

il reste à faire maintenant la somme des moments d'iner- I. Il

tie de toutes les tranches analogues à celle dont nous venons de calculer le moment d'inertie, et comprises entre les plans parallèles au plan des j^z situés aux distances — a et -f~a du plan des yz^ c'est-à-dire qu'il faut prendre rintégrale (3) entre les limites — a et + a; on a alors

dxdydza? zm — Tza^bc;

on trouverait de même,

dxdydzy^ = —p izb^ac.

et la formule (i) donne

si Ton fait a = i == c = R, on obtient le moment d'inertie d'une sphère par rapport à l'un de ses diamètres, ou

i5 On peut traiter le problème d'une autre façon*, posons

X = ^iecos\|/ sind, y = bs sin\p sinô,

Z =: CgCOsO.

Ces valeurs pour e = i satisfont à l'équation de l'ellipsoïde, et si Ton fait varier e entre o et — i, entre o et TT, ^ entre o et 2 7r, on obtiendra une fois, et une fois seulement, les coordonnées de tous les points de Tintérieur et de la surface de l'ellipsoïde. En prenant alors e, 6, ^ pour variables, l'intégrale (i) devient

j dsdQd^î^{a^cos^^sm^B -h b'sm''-]fS\n^B)e,

DEXJXlàME PARTIE. CHAPITRE V.

désignant, pour abréger, le déterminant

rfO'

de'

di'

= rt6rs'sinô,

On a donc

ait plTZ j «W9f/r|;^/«sinG(«*cos»4»sin'ô-f-^'sin^>psin'0) */o

En intégrant par rapport à e, on a

abc r^' r'^'^

É^ôû?4»sin*ô(fl»cos*4» -f- ^'sin»>p)

En intégrant par rapport à ({^ et en observant que

' C0S'>I<É^I; i=r 1 sin'\|»û/îj/ =: TT,

on a

ou, enfin.

Les variables e, 0, 4* dont nous venons de faire usage sont irès-uliles dans un grand nombre de questions d'analyse et de mécanique •, les courbes tracées sur la surface de Tellipsoïde, et qui ont pour équations : = const. et 4 = const. sont des courbes conjuguées, c'est-à-dire tangentes en leur point de croisement à deux diamètres conjugués de Tindicalrice (voir JVole I).

l64 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

151. Moment d^ inertie d^un solide de révolution par rapport à son axe, — Considérons le cylindre d'épaisseur dr compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe, son moment d'inertie est, d'après ce que nous

avons vu, -R*r/r, R désignant son rayon. Le moment

d'inertie de tout le solide sera donc

Application au cône de ré^folution. — Soient p le vayon de base du cône, h sa hauteur, le rayon R correspondant à la hauteur z comptée à partir du sommet est donné par la formule

le moment d'inertie cherché est donc