IV. — Equilibre d'un fil flexible

156. Considérons un fil inextensible homogène dont tous les éléments sont sollicités par des forces de même ordre que ces éléments, et proposons-nous de déterminer les conditions d'équilibre de ce fil.

Rapportons-le à trois axes rectangulaires ox^ oy^ oz\ soient jc, y^ z les coordonnées de l'un quelconque M de ses points ; soit ds la longueur d'un élément compté à partir du point M, et e la masse de l'unité de longueur du fil. Si l'on coupait le fil au point M, l'équilibie se trouverait rompu, mais on le rétablirait à l'aide d'une force T appliquée en M, et à laquelle on donne le nom de tension au point M.

Il est facile de voir que la tension doit être tangente à la courbe affectée par le fil. En effet, considérons un arc infiniment petit MN, les forces qui le sollicitent sont : 1° les tensions exercées en M et en N 5 tP les forces extérieures dont l'intensité est de l'ordre de MN; si alors on suppose l'élément MN solidifié, ce qui ne trouble pas l'équilibre, et si l'on prend les moments par rapport à un axe passant en N, les moments des forces extérieures seront du second ordre, car leur intensité est infiniment petite et leur bras de levier l'est également, le moment de la tension en N est nul \ donc le moment de la tension en M doit être du second ordre 5 or ceci ne peut avoir lieu que si la tension se trouve à une dislance du second ordre du point N, car la tension est une force finie, puisqu'elle doit faire équilibre à la résultante de toutes les forces qui sollicitent la portion du fil située d'un même côté de M; ceci revient à dire que la tension est tangente au fil.