a tension est constante dans toute la longueur du fiL
En introduisant celte hypothèse deï = const. dans les
formules (i), elles deviennent
(4) ^Y + Tg: = o.
Eu faisant passer eX, eY, eZ, dans les seconds membres, en élevant au carré et eu ajoutant, on trouve
ou bien, en désignant par p le rayon de courbure de la courbe,
F désignant la force qui sollicite le fil, on en conclut
Le rayon de courbure varie donc en raison inverse do la réaction normale de la surface.
Nous avons vu que la force F était située dans le plan osculateur de la courbe; il en résulte que^ la force F étant normale à la surface,
160. Le plan osculateur de la courbe affectée par le fd est en chaque 'point normal à la surface^ et, par suite y la force F est dirigée suivant le rayon de courbure ; elle varie^ comme nous avons vu^ proportionnellernent à la courbure,
\,es équations différentielles de la courbe s'obtiennent
DEUXIEME PiRTIE. CHAPITRE VI. I7J
en éliminant T entre les équations (4) ; on a ainsi
X'd^^Y~ds^~^Z~d?'
Or la force F étant normale à la surface, X, Y, Z sont proportionnels aux cosinus des angles que la normale à
la surface fait avec les axes, c'est-à-dire à -—î ■—-» ~^«
dx dy dz
En remplaçant alors dans les formules précédentes X, Y,
df'dfdf Li par -r- < -r-9 -T-j il vient
* dx dy dz
^ ds^ * dx ds^ ' djr ds^ ' dz
161. L'intégration de ces équations est un problème difficile, et en général au-dessus des forces de l'analyse. Toutefois on peut démontrer qu'elles définissent une ligne géodésique de la surface, c'est-à-dire une ligne qui est la plus courte possible^ entre deux quelconques de ses points.
Soient, en effet, oc^^y^^ z^ elx^^ju ^t deux points pris sur la surface, la longueur S de l'arc qui joint ces deux points sera donnée par la formule
S = Ssjdx^ H- dy^ -H dz\
On déduit, en faisant varier les deux membres,
-^ rdxSdx -{- dyêdy -h dzSdz oS=z i . ?
\jdx^ H- dy^ H- dz OU
*dx§^dx H- d/Sdy -h dzSdz
SS
__ rdxB^a
ds
En intégrant par parties, il vient en observant que la quanti té qui sort de dessous le signe f est nulle aux limites.
^S = — j(sxd -^ -4- ^yd
^ -+. ^zd -^ ).
ds ds
On doit avoir pour la ligne minima
6) 8xd — -f- $Yd -^^$zd -- — o.
^ as as as,
équation à laquelle il faut joindre Téquation (3). En faisant varier cette équation, on a
Il faut maintenant éliminer Tune des variations ix^ ^j^ âz^ et égaler à zéro les coefficienls des variations restantes^ mais on peut aussi employer la méthode des multiplicateurs. A cet effet on multipliera (6) par X, on ajoutera à (7) et on égalera à zéro les coefficients de Sx y $),, c^z, on aura ainsi
^ ,dx df ^ ,dy df ^ , dz df
ds duc ds dy ds dz
d'où Ton déduira les formules (5) par Télimination de X. On remarquera, du reste, l'identité de ces dernières formules avec les équations (4)9 dans lesquelles on a substi-
tué -f^ -—5 ~> à eX, êY, eZ ^l'kds à T. Les constantes dx dy dz
d'intégration se détermineront, dans tous les cas, en
exprimant que la courbe passe par deux points donnés
(j?o,Xo^ ^0) et (x,,7-i, Zi).
