X -f- const. = - y I — k^7} — y log nep. —r

Pour z=. -T'i X doit s'évanouir; on aura donc

const. = o, et, par suite,

o: = - v'i — A^z» — ~ log nep. j-^

On voit que pour ^ = 00 on a a: = 05 la tractrice a donc pour asymptote J'axe des x\ du reste son ordonnée, d'après la manière dont elle est construite, reste positive, et l'équation précédente montre que x croît en valeur absolue quand z décroît.

167. Parmi toutes les courbes planes qui passent par deux points fixes et qui tournent autour d^un même axe situé dans leur plan, la chaînette est celle qui engendre Vaire minima.

L'expression de l'aire engendrée par les lignes qui passent par les points donnés est

V= iTcJ'zds'y on en tire

'fi'

$Y=iiz I ( 8zds-hz-- Sdx-JfZ -^Sdz]-

as as

En intégrant par parties et en observant que les limites sont fixes, on a

^V=r27r//j $zds — d (z -J-j^^ — '^i^-T-]^'^ '

l88 TRAITÉ DE MÉCANIQUE EATIONHELLE

Pour quMl y ait minimum il faut que

ds — d\z--\ = o,

Ces équations donnent

. . as

dx z — = cl ds '

a et c désignant deux constantes, la dernière équation

peut s'écrire

fdzY z"

OU bien

1= dx\

d'où Ton tire, en désignant la constante d'intégration par /r,

c*est l'équation d'une chaînette. Les constantes c et A: se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés.

On peut observer que le travail d'un système de forces est une différentielle exacte $9, la fonction (f est maxima ou minima dans la position d'équilibre. Or,

DEUXIEME PAKTIE. GHÀPITEE VI. 189

dans le cas où les seules forces extérieures sont les poids des divers éléments du système, le travail $cp est égal à la quantité d^, dont le centre de gravité se déplace, multipliée par le poids total du système^ donc, dans la position d'équilibre, on doit avoir $^ = o, c'est-à-dire que le centre de gravité est le plus haut ou le plus bas possible.

Il résulte de là que de toutes les courbes de longueur donnée, celle qui a le centre de grai^ité le plus bas poS" sible est la chaînette ^

En vertu du théorème de Guldin^ la surface engendrée par une courbe tournant autour d'un axe situé dans son plan est égale à la longueur de la courbe multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité; donc, la courbe qui aura son centre de gravité le plus bas engen> drera Taire minima; donc :

De toutes les courbes planes ayant une longueur donnée et passant par deux points donnés tournant autour d^un axe situé daiis leur plan, celle qui engendre Paire minima est une chaînette.

Le calcul des variations conduit au même résultat,

VU. — Courbe des ponts suspendus.

168. Si l'on admet que les divers éléments de la chaîne d'un pont suspendu tendent vers zéro, on pourra assimiler cette chaîne^ un fil, dont chaque élément serait chargé d'un poids proportionnel à sa projection.

Il est facile alors de calculer la forme de la courbe affectée par le fil. Les équations d'équilibre d'un fil sont

dT dx ds ds

ds^

dX ds

dz ds