I. — Attraction des sphères

169, Les corps de la nature s^attirent, ainsi que le prouvent les phénoinènes astronomiques et certains phénomènes physiques. Nous admettrons que deux éléments infiniment petits s'attirent proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré de leur distance.

Ceci posé, proposons-nous de déterminer Fattraction totale exercée par une sphère homogène sur un élément de masse m. Soit p la densité de la sphère, a son rayon, / la distance du point attiré au centre de la sphère.

Prenons pour axe des z la droite qui joint le point attiré m au centre de la sphère et pour origine le point attiré m. Soient r, 6, ^ les coordonnées polaires d'un élément de sphère, le volume de cet élément sera r* dr sin 6 dO di^*^ sa masse sera p r' dr sin Q d6 d^. Si Ton désigne par k l'attraction que l'unité de masse exerce sur l'unité de masse à l'unité de distance, l'attraction exercée par l'élément de sphère sur m sera

' =- ou Avw p dr sm d a9 a\p ;

la composante de cette attraction suivant Taxe des z sera

km p dr sin cos9 dO d-^ ;

Ipa TRAITÉ ÙE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

les composantes normales à Taxe des z se détruisent

deux à deux; par suite, l'attraction totale G de la sphère

sera

G = km ^fffdr sin ces ^d^d-i^^

Tintégration par rapport à ^ doit se faire entre les limites o et (p et donne

G = 27t Am pffdr sin ces dB.

Si le point m est situé hors de la sphère, on aura l^a^ et il faudra intégrer par rapport à r entre des limites qui seront racines de Téquation de la sphère

û* z=: r^ -h /' — ilr cos 0, c'est-à-dire entre les limites

/cos0 — sjo" — /^ sin»0, /cos0 4- ^a* — /Hin»0; on trouve ainsi

G = 4'^^'^p/sin0cos0 yja^ — /'sin^0 dB.

Les limites de B sont o, et le demi-angle du cône circonscrit à la sphère ayant son sommet à l'origine, c'està-dire

o et arcsin-j9

on a donc

arc sin -r

G =: — 47r Xwp -^^ \[a^ — /» sin»0)M

ou

On peut écrire cette expression ainsi

On peut donc énoncer le théorème suivant :