DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE VII. igZ

Théorème I. — L'attraction exercée par une sphère homogène sur un point extérieur est la même que si toute la masse de cette sphère était réunie à son centre.

Si le point attiré est intérieur à la sphère, l'intégrale G,

G = ^rn^J J Jdr sin cos OdQd-^^

ne peut plus s'évaluer de la même façon; on intégrera d'abord, par rapport à v(/, entre o et 27:, et l'on aura, comme plus haut,

G = 2 TT / /w pffdr sin G cos dQ,

Il faut actuellement intégrer depuis r = o jusqu'à l'une des racines de l'équation de la sphère, c'est-à-dire jusqu'à

/ COS0 H- s/a^ — P sin' ;

on trouve alors

G=: in Ampf{lcosB -h s/^' — l^ sin'0) sin0cos0^/0,

et l'intégration devra se faire, par rapport à 0, de o à tt;

on a donc enfin

G = -^ Tzhmpi.

Théorème II. — L^ attraction d'une sphère sur un point intérieur est proportionnelle à la distance de ce point au centre de la sphère.

Lorsque le point attiré est sur la sphère, on a l = a, la sphère passe par l'origine, G est toujours donné par la formule

(jz=: mk pffjdr cos sin B d^d^-y

en intégrant par rapport à (p, on a

G = lit mkpf fdr co%B sin dB, I. i3

Il faut mainlenant intégrer depuis r = o jusqu'à r = 2acos0, ce qui donne

et en intégrant enfin de o à -? on trouve

G = --Tt mtrpa ou ^Tr/w/p/.

Dans la théorie de F attraction ^ on donne le nom de potentiel d'un point par rapport à un corps attirant A, à l'intégrale

dans laquelle m désigne la masse du point attiré, jx la

masse d'un élément du corps attirant A, et r la distance

du point m à l'élément [i. Le signe Z s*étend au volume

entier du corps attirant.

Proposons-nous de calculer le potentiel d'un point m

par rapport à une sphère; en faisant usage des mêmes

coordonnées que tout à l'heure et des mêmes notations,

on aura

11 = pr^dr siii BdBd^, et, par suite,

U =fffkm prdr sin BdBd'^.

On voit ainsi que U a une valeur finie et déterminée.

En intégrant, par rapport à <|/, depuis o jusqu'à 2 7r,

on a

U = 2 TT A m pffr dr sin dB ,

1° Si le point est extérieur, on a />• a, et l'on intégre

depuis /cos6 — y/a* — l*sm*d jusqu'à Zcos6-|-y/a' — l*sm*0] on trouve ainsi

U = TT/ii A- p/(/*cos'G — n sin'0 -hû*-f- 2 /cos ^û»— /'sin'ôj sin d9 — itm X p/<^/'cos*d — /»sin*ô-|-û'— 2/cosô^fl*— /*sin*e)sinÔrfô,