DEUXIEME PARTIE. CHAPITRE VII. 2l

OU bien, r désignant une constante,

Les points (x^j^ z) et (^\y\ z'), pris fcspectivement sur les ellipsoïdes (i) et (2), seront dits correspondants si Ton a

Théorème I. — La distance $ de deux points [Xyjj z) et (\', r/, ^') pris respectii^ement sur chacun des ellipsoldes homofocaux (i) et [1) est égale à la distance A de leurs correspondants (x\ j', z') et (Ç, r„ Ç).

En effet, on peut poser

^ j J: = a cosoLy j=r^cosp, z =1 c cosy y

|Çz=ûcosX, Yi = bcosii, Ç = ccosv,

pourvu que Ton pose en même temps

^ .^ ( cos^a -4- cos-'B -+■ cos'7 == I ,

( COS^X 4- COS^fA -f- COS'v == I .

On aura alors, en vertu des formules (4),

ix'=: a'cosoLy j'=: //cosp, z' ^=i c' cosy , Ç' = «'C0SX, 7i^= b' COSliy Ç'znrc'cOSv,

• §^= (,r -^'Y^ {y ^ yy^ [z ^ z')\

c'est-à-dire, en vertu des formules (5) et ( j),

ê''= «'cos'a -4- rt"cos^X — naa'cosu cos>. -f- . . . , et de même

A^= a^cos^'k H- û'^cos'a — 2ârc'cosa cosX -f- . . . .

On en déduit

S'— A»= (a''— a*)(cos»a — cos'X) + . . ., OU bien ^

i^ — ^^=T (cOS*a -4- COS'P -f- C0S*7 r- COS'X — - COS^fA — cos'v),

c'esl-à-dire, en vertu de (6),

d'où l'on conclut $ =;= A.

Théorème d'Ivory. — L* attraction d*un ellipsoïde sur un point extérieur se ramène à V attraction de V ellipsoïde homofocal passant par le point attiré sur le point correspondant.

En efifet, les composantes de l'attraction de Tellipsoïde (i) sur le point extérieur [x^j^ z) sont données par les formules

, X n^^ dt

ou, si l'on veut,

(8) X=: -— 2//î7rAûJ7 I . ==,

Dans ces formules^ t désigne la racine positive de l'équation

(9) TTTTi ■^■^^^;"^7n^:;-~''

Cette équation, dans laquelle j*, j^ z sont les coordonnées du point attiré, peut être considérée, en vertu des relations (3), comme représentant un ellipsoïde homofocal